八年级数学下册《平行四边形》期中复习高频考点核心知识清单（含pdf可直接打印）

平行四边形知识清单 一、核心复习知识（必背） (一)平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记为如ABCD)。 性质： ·边：对边平行且相等(AB∥CD,AD∥BC;AB=CD,AD=BC); 。 角：对角相等，邻角互补（∠A=∠C,∠B=∠D:∠A什∠B=180°）； ·对角线：互相平分(OA=OC,OB=OD)。 判定(4种，重点掌握)： ·两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）： ·一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ·两组对边分别相等的四边形是平行四边形： ·对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (二)矩形（特殊平行四边形） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 性质（平行四边形性质+自身特殊性质）： ·四个角都是直角（∠A=∠B=∠C-∠D=90°）： ·对角线相等且互相平分(AC=BD,OA=OC,OB=OD)。 判定(3种)： ·有一个角是直角的平行四边形是矩形： ·三个角是直角的四边形是矩形： ·对角线相等的平行四边形是矩形。 (三)菱形（特殊平行四边形） 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质（平行四边形性质+自身特殊性质）： ·四条边都相等(AB=BC=CD=AD): ·对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角(AC⊥BD,OA=OC,OB=OD;AC平分∠A、∠C, BD平分∠B、∠D)。 判定(3种)： ·有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义)； ·四条边都相等的四边形是菱形： ·对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (四)正方形（特殊矩形+特殊菱形） 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质（矩形+菱形所有性质）： ·四条边相等，四个角都是直角： ·对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。 判定(3种，重点)： ·有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形： ·有一组邻边相等的矩形是正方形： ·有一个角是直角的菱形是正方形。 (五)中点四边形（高频考点） 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 规律（必记)： ·任意四边形的中点四边形是平行四边形： 。 矩形的中点四边形是菱形： ·菱形的中点四边形是矩形： ·正方形的中点四边形是正方形。 (六)常用辅助线技巧（期中必考） ·平行四边形矩形/菱形：连接对角线，将四边形转化为三角形（全等三角形）求解： ·中点相关：构造三角形中位线（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）； 菱形正方形：利用对角线垂直的性质，结合勾股定理求边长、面积。 二、核心典例（含解题技巧、易错点拨） 典例1：平行四边形的判定与性质（基础必考题） 己知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF.求证： D (I)△ADF≌△CBE: (2)DF∥BE. 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点 是解题的关键.(I)由平行四边形的性质，得AD∥BC且AD=BC,易推得∠DAF=∠ECB,AF-CE,即 可判定△ADF≌△CBE(SAS);(2)由(I)可得∠DFA=∠BEC,即可判定DF∥BE. 【解析】(1)，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC且AD=BC,.∠DAF=∠ECB, 又，AE-CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE, ∴.△ADF≌△CBE(SAS): (2),'△ADF≌△CBE, ∴.∠DFA=∠BEC, ∴.DF∥BE」 【解题技巧】判定平行四边形相关的全等三角形，优先利用“平行四边形对边平行且相等“对角线互相平分” 的性质，找全等的条件(S4S、AS4为主)；证明两直线平行，可通过全等三角形对应角相等推导。 【易错点拨】忽略“AD∥BC?推出的内错角相等，导致无法找到全等条件；忘记“AE-CF'需转化为 “AF=CE',直接用AE、CF作为全等的边。 典例2：菱形的性质与计算(（中档题) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,P是对角线BD上的一动点，且 PM⊥AB于点M,PN⊥AD于点N.有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=V3OA;③∠MPN=60°； ④PMHPN-JBD..其中正确的有(）个. N D B C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解答】解：在菱形ABCD中，AB=BC, :∠ABC=60°，，△ABC为等边三角形，故①正确： :四边形ABCD是菱形，AC⊥BD,∠ABO=∠CBO=30°，.OB=√3OA,故②正确： :PMLAB,PNLAD,.∠AMP=∠ANP=90°， ,AD∥BC,∠ABC=60°，∠BAD=120°，.∠MPN=60°，故③正确： 如图，延长P交BC于点G, ,AD∥BC,PN⊥AD,.PG⊥BC, .'PM⊥AB,BP平分∠ABC,∴.PM=PG,∴.PPN=PG+PN=NG, ∠PBG=∠PDN=30°，∴.PB=2PG,PD=2PN, ∴PAPN=PG+PN-PB+PD(PB+PD)BD,∴PMPN-BD,故④正确， 综上所述：正确的有4个，故选：D 0 M B G 【解题技巧】菱形问题常结合“等边三角形“直角三角形'求解，记住“菱形对角线互相垂直平分，且平分一 组对角”，遇到30°角，优先利用直角三角形的特殊性质；涉及“动点到两边距离和”，可通过辅助线转化为 线段长度（如本题延长NP)。 【易错点拨】忘记菱形邻角互补，无法求出∠BAD的度数；忽略角平分线的性质（角平分线上的点到角两 边距离相等)，导致无法证明PM-PG:计算PM什PN时，不会将PB、PD的关系转化为PMPN的关系。 典例3：矩形的性质与中位线（中档题） 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=4,AD=5,点E为BC一点，连接DE,F为DE的中点， 若OF=1,则CF的长为2.5· D B E 【答案】2.5. 【解答】解：，四边形ABCD是矩形，∴.BCD=90°，OD=OB,AD=BC=5,DC=AB=4, ,F为DE的中点，∴.OF是△DBE的中位线，∴.BE=2OF=2, CD=4,BC=5,∴.CE=BC-BE=5-2=3,,DE-VCD2+CE=42+3=5, :F为DB的中点，CP却B=25, 故答案为：2.5. 【解题技巧】矩形对角线互相平分，中点连线可构造三角形中位线，利用中位线定理求线段长度；直角三 角形中，“斜边中线等于斜边的一半”是高频考点，需熟练运用。 【易错点拨】忘记矩形对角线互相平分，无法判断O是BD中点，进而无法利用中位线定理：忽略直角三 角形斜边中线的性质，计算CF时重新用勾股定理，增加计算量且易出错。 典例4：中点四边形（高频考点） 如图，已知E,F,G,H分别是▣ABCD各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的 口ABCD依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由， 【分析】连接AC,BD,由三角形中位线定理可得EF=AC,EF∥AC,GH-AC,GH∥AC,EHBD, EH∥BD,根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可. 【解析】解：如图，连接AC,BD :B,F分别为AB,BC的中点，∴EF产-AC,EF∥AC 同理可得GH=AC,GH∥AC, ,'.EF=GH,EF∥GH .四边形EFGH是平行四边形 :E,H分别为AB,AD的中点，：EFBD,EH//BD. 当四边形ABCD为矩形时，AC-BD,∴，EF=EH, ∴四边形EFGH是菱形. 当四边形ABCD为菱形时，AC⊥BD,.EF⊥EH, .四边形EFGH是矩形 当四边形ABCD为正方形时，AC=BD,AC⊥BD, ∴.EF=EH,EF⊥EH, ∴.四边形EFGH是正方形. 【解题技巧】中点四边形的形状由原四边形的对角线决定（与原四边形的边无关）：对角线相等→中点四 边形是菱形；对角线垂直→中点四边形是矩形；对角线相等且垂直→中点四边形是正方形。 【易错点拨】不会连接原四边形的对角线，无法利用三角形中位线定理推导：混淆原四边形与中点四边形 的关系，误将原四边形的边的性质当作中点四边形的判定条件。 典例5：四边形综合计算（压轴题） 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,延长CD至点E,使得CE=2BC,连接BE交AD边于 点P,点D、F分别是CB、BE的中点，DF=AD. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AC=6,OB+BC=9,求四边形ABCD的面积. 【解答】(I)证明：：点D、F分别是CB、BE的中点，DF-AD, ∴BF=EF,AF=FD,CD=DE, 又，∠AFB=∠DFE, (AF-DE 在△AFB和△DFE中， ∠AFB=∠DFE BE-EF ∴.△AFB≌△DFE(SAS), ∠ABF=∠DEF,AB=DE=CD, AB∥DE,即AB∥CD, ∴，四边形ABCD是平行四边形， .CE=2BC,CE=2CD,..BC=CD, .四边形ABCD是菱形： (2)解：，四边形ABCD是菱形，AC=6, ∴A0-0C-4AC-3,ACLBD, ,OB+BC=9,∴.设OB=x,则BC=9-x, 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：OB+OC2=BC2, ∴x2433=(9-x)2,解得：x=4,∴.0B=4, ,四边形ABCD是菱形， S四边形4BcD4SAoc-4K2×0B×OC4×左×4×3=24. 【解题技巧】菱形面积有两种求法：①底×高：②1/2×对角线乘积（高频考点）：涉及菱形对角线的计算， 优先构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。 【易错点拨】忘记菱形对角线互相平分，误将AC当作AO的长度：计算面积时，混淆“对角线乘积的一半 与“对角线乘积”，导致结果翻倍或减半。 三、期中复习易错点汇总（必看） 。 混淆平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件，如“对角线相等的四边形是矩形？（错误，应为 “对角线相等的平行四边形是矩形”)： 易错典例：判断对角线相等的四边形是矩形'是否正确，若错误，请举反例。 解析：错误；反例：等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形；正确判定应为“对角线相等的平行四 边形是矩形。 ·忽略菱形、正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，导致角度、边长计算错误： 易错典例：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O,∠AOB=60°，AO=2,求菱形的边长，若忽略对角线 平分对角，误将∠AOB当作菱形的内角，导致计算出边长出现错误。 ·三角形中位线定理应用错误：忘记“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，或找错中位线对应的 第三边： 易错典例：在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，连接EF,若EF-=5,求BC的长度，若忘记“中位 线等于第三边的一半”，误将EF当作BC的长度，得出BC-=5,或找错第三边，将EF对应到AB,导致计 算错误。 。 计算菱形面积时，误用对角线乘积”代替“对角线乘积的一半”： 易错典例：菱形ABCD中，对角线4C=6,BD=8,求菱形的面积，正确解法：菱形面积=】×AC×BD =上×6×824，易错点：混淆菱形与矩形的面积公式，矩形面积是对角线乘积的一半（特殊情况，矩形对角 线相等，也可直接用长×宽)，菱形面积必须是对角线乘积的一半。 。 辅助线添加不恰当：不会连接对角线、构造中位线，导致无法转化问题： 易错典例：己知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点，求证四边形EFGH是平行四边形，若不 会添加辅助线，无法利用中位线定理，无法找到平行且相等的线段，导致证明无法进行。 。忽略“特殊角(30°、60°、90°)”的性质，导致解题思路卡顿； 易错典例：菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为4，求对角线BD的长度，若忽略60°角带来的等边三角形， 无法快速求出AC的长度，只能盲目用勾股定理，增加计算量，甚至无法得出结果。 四、复习建议 1.先熟记核心知识（性质、判定），尤其是矩形、菱形、正方形的特殊性质，做到看到图形，想到性质： 看到条件，想到判定”； 2.重点练习典例对应的题型，掌握辅助线添加技巧（连接对角线、构造中位线）： 3.整理错题，重点标注易错点（如判定条件混淆、面积公式误用），反复巩固； 4.结合文档中的基础巩固题、能力提升题，分层训练，先掌握基础，再突破中档、压轴题。 平行四边形 知识清单 一、核心复习知识（必背） （一）平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记为▱ABCD）。 性质： • 边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）； • 角：对角相等，邻角互补（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°）； • 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD）。 判定（4种，重点掌握）： • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； • 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （二）矩形（特殊平行四边形） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 性质（平行四边形性质+自身特殊性质）： • 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）； • 对角线相等且互相平分（AC=BD，OA=OC，OB=OD）。 判定（3种）： • 有一个角是直角的平行四边形是矩形； • 三个角是直角的四边形是矩形； • 对角线相等的平行四边形是矩形。 （三）菱形（特殊平行四边形） 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质（平行四边形性质+自身特殊性质）： • 四条边都相等（AB=BC=CD=AD）； • 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角（AC⊥BD，OA=OC，OB=OD；AC平分∠A、∠C，BD平分∠B、∠D）。 判定（3种）： • 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）； • 四条边都相等的四边形是菱形； • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （四）正方形（特殊矩形+特殊菱形） 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质（矩形+菱形所有性质）： • 四条边相等，四个角都是直角； • 对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。 判定（3种，重点）： • 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； • 有一组邻边相等的矩形是正方形； • 有一个角是直角的菱形是正方形。 （五）中点四边形（高频考点） 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 规律（必记）： • 任意四边形的中点四边形是平行四边形； • 矩形的中点四边形是菱形； • 菱形的中点四边形是矩形； • 正方形的中点四边形是正方形。 （六）常用辅助线技巧（期中必考） • 平行四边形/矩形/菱形：连接对角线，将四边形转化为三角形（全等三角形）求解； • 中点相关：构造三角形中位线（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）； • 菱形/正方形：利用对角线垂直的性质，结合勾股定理求边长、面积。 二、核心典例（含解题技巧、易错点拨） 典例1：平行四边形的判定与性质（基础必考题） 已知：如图，是平行四边形的对角线上的两点，且．求证： (1)； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）由平行四边形的性质，得且，易推得，，即可判定；（2）由（1）可得，即可判定． 【解析】（1）四边形是平行四边形， 且， ， 又 ， ，即， ； （2） ， ， ． 【解题技巧】判定平行四边形相关的全等三角形，优先利用“平行四边形对边平行且相等”“对角线互相平分”的性质，找全等的条件（SAS、ASA为主）；证明两直线平行，可通过全等三角形对应角相等推导。 【易错点拨】忽略“AD∥BC”推出的内错角相等，导致无法找到全等条件；忘记“AE=CF”需转化为“AF=CE”，直接用AE、CF作为全等的边。 典例2：菱形的性质与计算（中档题） 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OBOA，故②正确； ∵PM⊥AB，PN⊥AD，∴∠AMP＝∠ANP＝90°， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，∴∠MPN＝60°，故③正确； 如图，延长NP交BC于点G， ∵AD∥BC，PN⊥AD，∴PG⊥BC， ∵PM⊥AB，BP平分∠ABC，∴PM＝PG，∴PM+PN＝PG+PN＝NG， ∵∠PBG＝∠PDN＝30°，∴PB＝2PG，PD＝2PN， ∴PM+PN＝PG+PNPBPD（PB+PD）BD，∴PM+PNBD，故④正确， 综上所述：正确的有4个．故选：D． 【解题技巧】菱形问题常结合“等边三角形”“直角三角形”求解，记住“菱形对角线互相垂直平分，且平分一组对角”，遇到30°角，优先利用直角三角形的特殊性质；涉及“动点到两边距离和”，可通过辅助线转化为线段长度（如本题延长NP）。 【易错点拨】忘记菱形邻角互补，无法求出∠BAD的度数；忽略角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等），导致无法证明PM=PG；计算PM+PN时，不会将PB、PD的关系转化为PM、PN的关系。 典例3：矩形的性质与中位线（中档题） 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4，AD＝5，点E为BC一点，连接DE，F为DE的中点，若OF＝1，则CF的长为 　2.5　 ． 【答案】2.5． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BCD＝90°，OD＝OB，AD＝BC＝5，DC＝AB＝4， ∵F为DE的中点，∴OF是△DBE的中位线，∴BE＝2OF＝2， ∵CD＝4，BC＝5，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，∴DE， ∵F为DE的中点，∴CFDE＝2.5， 故答案为：2.5． 【解题技巧】矩形对角线互相平分，中点连线可构造三角形中位线，利用中位线定理求线段长度；直角三角形中，“斜边中线等于斜边的一半”是高频考点，需熟练运用。 【易错点拨】忘记矩形对角线互相平分，无法判断O是BD中点，进而无法利用中位线定理；忽略直角三角形斜边中线的性质，计算CF时重新用勾股定理，增加计算量且易出错。 典例4：中点四边形（高频考点） 如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【解析】解：如图，连接，． ∵，分别为，的中点，∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点，∴，． 当四边形为矩形时，，∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，，∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【解题技巧】中点四边形的形状由原四边形的对角线决定（与原四边形的边无关）：对角线相等→中点四边形是菱形；对角线垂直→中点四边形是矩形；对角线相等且垂直→中点四边形是正方形。 【易错点拨】不会连接原四边形的对角线，无法利用三角形中位线定理推导；混淆原四边形与中点四边形的关系，误将原四边形的边的性质当作中点四边形的判定条件。 典例5：四边形综合计算（压轴题） 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长CD至点E，使得CE＝2BC，连接BE交AD边于点F，点D、F分别是CE、BE的中点，． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝6，OB+BC＝9，求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵点D、F分别是CE、BE的中点，， ∴BF＝EF，AF＝FD，CD＝DE， 又∵∠AFB＝∠DFE， 在△AFB和△DFE中，， ∴△AFB≌△DFE（SAS）， ∴∠ABF＝∠DEF，AB＝DE＝CD， ∴AB∥DE，即AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CE＝2BC，CE＝2CD，∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴，AC⊥BD， ∵OB+BC＝9，∴设OB＝x，则BC＝9﹣x， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2， ∴x2+33＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴OB＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴． 【解题技巧】菱形面积有两种求法：①底×高；②1/2×对角线乘积（高频考点）；涉及菱形对角线的计算，优先构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。 【易错点拨】忘记菱形对角线互相平分，误将AC当作AO的长度；计算面积时，混淆“对角线乘积的一半”与“对角线乘积”，导致结果翻倍或减半。 三、期中复习易错点汇总（必看） • 混淆“平行四边形、矩形、菱形、正方形”的判定条件，如“对角线相等的四边形是矩形”（错误，应为“对角线相等的平行四边形是矩形”）； 易错典例：判断“对角线相等的四边形是矩形”是否正确，若错误，请举反例。 解析：错误；反例：等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形；正确判定应为“对角线相等的平行四边形是矩形”。 • 忽略菱形、正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，导致角度、边长计算错误； 易错典例：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB=60°，AO=2，求菱形的边长，若忽略对角线平分对角，误将∠AOB当作菱形的内角，导致计算出边长出现错误。 • 三角形中位线定理应用错误：忘记“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，或找错中位线对应的第三边； 易错典例：在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，连接EF，若EF=5，求BC的长度，若忘记“中位线等于第三边的一半”，误将EF当作BC的长度，得出BC=5，或找错第三边，将EF对应到AB，导致计算错误。 • 计算菱形面积时，误用“对角线乘积”代替“对角线乘积的一半”； 易错典例：菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，求菱形的面积，正确解法：菱形面积=×AC×BD =×6×8=24；易错点：混淆菱形与矩形的面积公式，矩形面积是对角线乘积的一半（特殊情况，矩形对角线相等，也可直接用长×宽），菱形面积必须是对角线乘积的一半。 • 辅助线添加不恰当：不会连接对角线、构造中位线，导致无法转化问题； 易错典例：已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点，求证四边形EFGH是平行四边形，若不会添加辅助线，无法利用中位线定理，无法找到平行且相等的线段，导致证明无法进行。 • 忽略“特殊角（30°、60°、90°）”的性质，导致解题思路卡顿； 易错典例：菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为4，求对角线BD的长度，若忽略60°角带来的等边三角形，无法快速求出AC的长度，只能盲目用勾股定理，增加计算量，甚至无法得出结果。 四、复习建议 1. 先熟记核心知识（性质、判定），尤其是矩形、菱形、正方形的特殊性质，做到“看到图形，想到性质；看到条件，想到判定”； 2. 重点练习典例对应的题型，掌握辅助线添加技巧（连接对角线、构造中位线）； 3. 整理错题，重点标注易错点（如判定条件混淆、面积公式误用），反复巩固； 4. 结合文档中的基础巩固题、能力提升题，分层训练，先掌握基础，再突破中档、压轴题。 学科网（北京）股份有限公司 $平行四边形知识清单 一、核心复习知识（必背） (一)平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记为口ABCD)。 性质： ·边：对边平行且相等(AB∥CD,AD∥BC;AB=CD,AD=BC); 。 角：对角相等，邻角互补（∠A=∠C,∠B=∠D:∠A什∠B=180°）： ·对角线：互相平分(OA=OC,OB=OD)。 判定(4种，重点掌握)： ·两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）： ·一组对边平行且相等的四边形是平行四边形： ·两组对边分别相等的四边形是平行四边形： ·对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (二)矩形（特殊平行四边形） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 性质（平行四边形性质+自身特殊性质）： ·四个角都是直角（∠A=∠B=∠C-∠D=90°）： ·对角线相等且互相平分(AC=BD,OA=OC,OB=OD)。 判定(3种)： ·有一个角是直角的平行四边形是矩形： ·三个角是直角的四边形是矩形： ·对角线相等的平行四边形是矩形。 (三)菱形（特殊平行四边形） 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质（平行四边形性质+自身特殊性质）： ·四条边都相等(AB=BC=CD=AD): ·对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角(AC⊥BD,OA=OC,OB=OD;AC平分∠A、∠C, BD平分∠B、∠D)。 判定(3种)： ·有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义)； ·四条边都相等的四边形是菱形： ·对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (四)正方形（特殊矩形+特殊菱形） 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质（矩形+菱形所有性质）： ·四条边相等，四个角都是直角： ·对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。 判定(3种，重点)： ·有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形： ·有一组邻边相等的矩形是正方形： ·有一个角是直角的菱形是正方形。 (五)中点四边形（高频考点） 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 规律（必记)： ·任意四边形的中点四边形是平行四边形： 。矩形的中点四边形是菱形： ·菱形的中点四边形是矩形： ·正方形的中点四边形是正方形。 (六)常用辅助线技巧（期中必考） ·平行四边形矩形/菱形：连接对角线，将四边形转化为三角形（全等三角形）求解： ·中点相关：构造三角形中位线（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半) ·菱形/正方形：利用对角线垂直的性质，结合勾股定理求边长、面积。 二、核心典例（含解题技巧、易错点拨） 典例1：平行四边形的判定与性质（基础必考题） 己知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF.求证： D (I)△ADF≌△CBE; (2)DF∥BE. 典例2：菱形的性质与计算（中档题） 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,P是对角线BD上的一动点，且PM ⊥AB于点M,PN⊥AD于点N.有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=V3OA;③∠MPN=60°： ④PM+PN=-BD.其中正确的有()个. A N D P C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 典例3：矩形的性质与中位线（中档题） 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=4,AD=5,点E为BC一点，连接DE,F为DE的中点， 若OF=1,则CF的长为 B E 典例4：中点四边形（高频考点） 如图，已知E,F,G,H分别是口ABCD各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的 口ABCD依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由. H E C 典例5：四边形综合计算（压轴题） 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,延长CD至点E,使得CE=2BC,连接BE交AD边于 点R,点D、F分别是CB、BE的中点，DF=AD: (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AC=6,OB+BC=9,求四边形ABCD的面积. AF D 三、期中复习易错点汇总（必看） 。 混淆平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件，如“对角线相等的四边形是矩形”（错误，应为 “对角线相等的平行四边形是矩形”)： 易错典例：判断对角线相等的四边形是矩形”是否正确，若错误，请举反例。 解析：错误；反例：等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形；正确判定应为对角线相等的平行四 边形是矩形。 ·忽略菱形、正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，导致角度、边长计算错误： 易错典例：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O,∠AOB=60°，AO=2,求菱形的边长，若忽略对角线 平分对角，误将∠AOB当作菱形的内角，导致计算出边长出现错误。 。三角形中位线定理应用错误：忘记“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，或找错中位线对应的 第三边： 易错典例：在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，连接EF,若EF=5,求BC的长度，若忘记“中位 线等于第三边的一半”，误将EF当作BC的长度，得出BC-5,或找错第三边，将EF对应到AB,导致计 算错误。 。 计算菱形面积时，误用“对角线乘积”代替“对角线乘积的一半”： 易错典例：菱形ABCD中，对角线AC-6,BD-8,求菱形的面积，正确解法：菱形面积=ACxB亚 ×6<$24,易错点：混淆菱形与矩形的面积公式，矩形面积是对角线乘积的一半（特殊情况，粗形 线相等，也可直接用长×宽)，菱形面积必须是对角线乘积的一半。 ·辅助线添加不恰当：不会连接对角线、构造中位线，导致无法转化问题； 易错典例：己知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点，求证四边形EFGH是平行四边形，若不 会添加辅助线，无法利用中位线定理，无法找到平行且相等的线段，导致证明无法进行。 ·忽略特殊角(30°、60°、90°)”的性质，导致解题思路卡顿： 易错典例：菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为4，求对角线BD的长度，若忽略60°角带来的等边三角形， 无法快速求出AC的长度，只能盲目用勾股定理，增加计算量，甚至无法得出结果。 四、复习建议 1.先熟记核心知识（性质、判定），尤其是矩形、菱形、正方形的特殊性质，做到看到图形，想到性质： 看到条件，想到判定”； 2.重点练习典例对应的题型，掌握辅助线添加技巧（连接对角线、构造中位线）； 3.整理错题，重点标注易错点（如判定条件混淆、面积公式误用)，反复巩固； 4.结合文档中的基础巩固题、能力提升题，分层训练，先掌握基础，再突破中档、压轴题。 平行四边形 知识清单 一、核心复习知识（必背） （一）平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记为▱ABCD）。 性质： • 边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）； • 角：对角相等，邻角互补（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°）； • 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD）。 判定（4种，重点掌握）： • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； • 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （二）矩形（特殊平行四边形） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 性质（平行四边形性质+自身特殊性质）： • 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）； • 对角线相等且互相平分（AC=BD，OA=OC，OB=OD）。 判定（3种）： • 有一个角是直角的平行四边形是矩形； • 三个角是直角的四边形是矩形； • 对角线相等的平行四边形是矩形。 （三）菱形（特殊平行四边形） 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质（平行四边形性质+自身特殊性质）： • 四条边都相等（AB=BC=CD=AD）； • 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角（AC⊥BD，OA=OC，OB=OD；AC平分∠A、∠C，BD平分∠B、∠D）。 判定（3种）： • 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）； • 四条边都相等的四边形是菱形； • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （四）正方形（特殊矩形+特殊菱形） 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质（矩形+菱形所有性质）： • 四条边相等，四个角都是直角； • 对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。 判定（3种，重点）： • 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； • 有一组邻边相等的矩形是正方形； • 有一个角是直角的菱形是正方形。 （五）中点四边形（高频考点） 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 规律（必记）： • 任意四边形的中点四边形是平行四边形； • 矩形的中点四边形是菱形； • 菱形的中点四边形是矩形； • 正方形的中点四边形是正方形。 （六）常用辅助线技巧（期中必考） • 平行四边形/矩形/菱形：连接对角线，将四边形转化为三角形（全等三角形）求解； • 中点相关：构造三角形中位线（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）； • 菱形/正方形：利用对角线垂直的性质，结合勾股定理求边长、面积。 二、核心典例（含解题技巧、易错点拨） 典例1：平行四边形的判定与性质（基础必考题） 已知：如图，是平行四边形的对角线上的两点，且．求证： (1)； (2)． 典例2：菱形的性质与计算（中档题） 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 典例3：矩形的性质与中位线（中档题） 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4，AD＝5，点E为BC一点，连接DE，F为DE的中点，若OF＝1，则CF的长为 　 　 ． 典例4：中点四边形（高频考点） 如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 典例5：四边形综合计算（压轴题） 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长CD至点E，使得CE＝2BC，连接BE交AD边于点F，点D、F分别是CE、BE的中点，． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝6，OB+BC＝9，求四边形ABCD的面积． 三、期中复习易错点汇总（必看） • 混淆“平行四边形、矩形、菱形、正方形”的判定条件，如“对角线相等的四边形是矩形”（错误，应为“对角线相等的平行四边形是矩形”）； 易错典例：判断“对角线相等的四边形是矩形”是否正确，若错误，请举反例。 解析：错误；反例：等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形；正确判定应为“对角线相等的平行四边形是矩形”。 • 忽略菱形、正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，导致角度、边长计算错误； 易错典例：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB=60°，AO=2，求菱形的边长，若忽略对角线平分对角，误将∠AOB当作菱形的内角，导致计算出边长出现错误。 • 三角形中位线定理应用错误：忘记“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，或找错中位线对应的第三边； 易错典例：在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，连接EF，若EF=5，求BC的长度，若忘记“中位线等于第三边的一半”，误将EF当作BC的长度，得出BC=5，或找错第三边，将EF对应到AB，导致计算错误。 • 计算菱形面积时，误用“对角线乘积”代替“对角线乘积的一半”； 易错典例：菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，求菱形的面积，正确解法：菱形面积=×AC×BD =×6×8=24；易错点：混淆菱形与矩形的面积公式，矩形面积是对角线乘积的一半（特殊情况，矩形对角线相等，也可直接用长×宽），菱形面积必须是对角线乘积的一半。 • 辅助线添加不恰当：不会连接对角线、构造中位线，导致无法转化问题； 易错典例：已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点，求证四边形EFGH是平行四边形，若不会添加辅助线，无法利用中位线定理，无法找到平行且相等的线段，导致证明无法进行。 • 忽略“特殊角（30°、60°、90°）”的性质，导致解题思路卡顿； 易错典例：菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为4，求对角线BD的长度，若忽略60°角带来的等边三角形，无法快速求出AC的长度，只能盲目用勾股定理，增加计算量，甚至无法得出结果。 四、复习建议 1. 先熟记核心知识（性质、判定），尤其是矩形、菱形、正方形的特殊性质，做到“看到图形，想到性质；看到条件，想到判定”； 2. 重点练习典例对应的题型，掌握辅助线添加技巧（连接对角线、构造中位线）； 3. 整理错题，重点标注易错点（如判定条件混淆、面积公式误用），反复巩固； 4. 结合文档中的基础巩固题、能力提升题，分层训练，先掌握基础，再突破中档、压轴题。 学科网（北京）股份有限公司 $