专题04 八年级下册期中热考17种题型梳理（含几何模型）（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材人教版

专题04 八年级下册期中热考题型梳理 题型清单 解 分母有理化（共3小题） 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，________（填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·期中）观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 根式和的几何最值（共2小题） 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·周测）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 基本不等式求代数最值（共3小题） 【例3】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【变式1】（24-25九年级下·四川内江·期中）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 二次根式的化简求值（共4小题） 【例4】（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知，． (1)求和的值； (2)请直接利用（1）的结果． ①求的值； ②求的值． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． (1)则的值是______． (2)请利用上述方法，求的值． (3)若，求n的值． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 赵爽弦图（共4小题） 【例5】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 【变式3】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形． (1)如图1，M是的中点，若，求的长． (2)如图2，M是的中点，连结交于点O，连结． ①求证： ②如图3，若，取的中点N，连接，若，求的值． 勾股定理与折叠问题（共小题） 【例6】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·全国·月考）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为_______． 【变式3】（24-25八年级下·山东德州·期末）活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，求证：四边形是正方形； 【操作探究】 （2）如图③，将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠，使点、分别落在，上的、处，，分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点分别落在点与点处，恰好点在边上，与相交于点，且，若，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．、分别在边上，，点从点单向运动到点的过程中，将矩形纸片沿着折叠，点分别落到点与点处．若边与边交于点，在此过程中，直接写出： ①的最大值为___________；②点运动的路径长为___________． 勾股差模型（共4小题） 【例7】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在等腰中，，是边上的高．若，，则______． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房，到公路的距离为米，为米，为米．一辆公交车以米秒的速度从处出发，沿公路向处行驶．若公交车鸣笛声会使以公交车为中心米范围内受到噪音影响，则公交车在公路上行驶时，至少___秒不鸣笛才能使在城市书房中看书的读者不受噪音影响． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【变式3】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 见特殊角，作垂线（共4小题） 【例8】（24-25九年级上·北京通州·期末）小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是______． 【变式1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ____________________． 【变式2】（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为______． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，则的面积为______. 平行四边形之“双角平分线”（共3小题） 【例9】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点；若，，则的长是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点． (1)求证：； (2)设与的延长线相交于点，若，直接写出点到的距离为___________． 构建三角形中位线（共3小题） 【例10】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【变式11】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，分别是边的中点，连接与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知分别是的中点，，求的长． 【变式12】（24-25八年级下·河北承德·期末）【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 平行四边形中各图形面积的等量关系（共4小题） 【例11】（23-24八年级下·全国·单元测试）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【变式1】（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图，点E在平行四边形的边上，的面积记为，的面积记为，的面积记为，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D．以上结论都不对 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，点E、F是平行四边形的边上两点，点G是边上一点，若平行四边形的面积是，则与以及的面积之和为_______． 利用特殊四边形对称性求解（共3小题） 【例12】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【变式1】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于______． 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段上，且，则____________，的最小值为____________．    中点四边形模型（共3小题） 【例13】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，在四边形中，，四边的中点分别是，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形一定是________形．   【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是_____． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 半角模型（共3小题） 【例14】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【变式1】（22-23九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 十字架模型（共3小题） 【例15】（福建省厦门市同安区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题）纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形．      (1)请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） (2)如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 【变式1】（（教研室）广西壮族自治区南宁市武鸣区2024-2025学年八年级下学期期末监测数学试题）如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 【变式2】（江西省宜春市第八中学2024-2025学年下学期期中阶段性练习八年级数学试卷）已知在正方形中，点E、F分别为边上两个动点． (1)①如图1，连接相交于点O，若，则和的数量关系为　　　　　； ②如图2，在①的条件下，若点E是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点G，交于点F． ①若，，求的长； ②如图4，连接，若，四边形面积的取值范围是　　　　　． 正方形风车模型（共3小题） 【例16】（河北省石家庄市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【变式1】（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论． 【问题发现】（1）①图中线段、之间的数量关系是______； ②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程． （3）如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【结论应用】（4）如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 垂美四边形（共3小题） 【例17】（25-26九年级上·广东清远·月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号） ①平行四边形       ②矩形  ③  菱形           (2)如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； (3)如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，证明四边形是矩形； (4)如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，垂美四边形的性质：垂美四边形对边的平方和相等．如图，四边形是垂美四边形，则 证明： ，， ，， ， ， 我们已经通过证明掌握了垂美四边形的性质，接下来我们可以直接使用了，同学们加油！ (1)已知垂美四边形，，，，，则_____． (2)在矩形中，，则的长为多少？ (3)中，，，，以和为直角边作等腰直角和等腰直角，连接、相交于点，连接，则的长为_____． 【变式2】（2025·河南南阳·一模）综合与实践： 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．    (1)定义理解 图中，、、三点均在格点上，请在格点上确定点，使四边形为对等垂美四边形． (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点，且，，将绕点逆时针旋转（旋转角），、的对应点分别为、，如图3，请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 八年级下册期中热考题型梳理 题型清单 解 分母有理化（共3小题） 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，________（填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·期中）观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是掌握分母有理化． （1）利用分母有理化的方法进行求解即可； （2）先化简，根据，求得的值，进而代入代数式求解即可； （3）分析所给的式子的特点，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③． （2）解：∵，， 的整数部分是，的小数部分是， ∵，， ∴， ∴ （3）解： ． 根式和的几何最值（共2小题） 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·周测）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①见解析，；② 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． 基本不等式求代数最值（共3小题） 【例3】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）解：① 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 时取等号，即时，原式有最小值4． ② 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 【变式1】（24-25九年级下·四川内江·期中）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，函数取到最大值，最大值为 (3) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，所以当时，函数取到最大值，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)2 (2)当时，有最小值，为8 (3)当时，有最小值，为4 (4)25 【分析】本题考查了配方法在二次根式，分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）将原式变形为，可利用公式计算的形式，计算即可； （4）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为 2 ； （2）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为8 ． （3）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为4． （4）解：设， ∵与同高，与同高， ， 由题知， ， ， ， ， ， ∴四边形面积的最小值为 25 ， 故答案为：25 ． 二次根式的化简求值（共4小题） 【例4】（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题例解答即可； （）由已知求出，再利用完全平方公式可得，进而即可求解； （）由已知得，进而可得，把代数式转化为，代入即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，正确对所求式子进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知，． (1)求和的值； (2)请直接利用（1）的结果． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式以及分式的加减运算．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则即可求出，根据二次根式的乘法法则即可求出； （2）①先根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可 ②先通分，得到，再代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． ∴的值为，的值为． （2）①∵，， ． ∴的值为． ② ． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． (1)则的值是______． (2)请利用上述方法，求的值． (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)32 【分析】本题考查二次根式的运算和性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用二次根式的性质求解即可； （2）仿照题干方法，利用二次根式的运算法则和性质求解即可； （3）仿照题干方法，给等式两边乘方，再利用二次根式的运算法则和性质求解即可． 【详解】（1）解：由二次根式性质得， 故答案为：； （2）解：设，两边平方得：， 即，， ． ∵， ； （3）解：给两边平方， 得， ∴， 整理，得， ∴，解得． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 赵爽弦图（共4小题） 【例5】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据正方形的性质以及四个大三角形全等，证明，故①正确；根据三角形全等得到三角形的面积相等，根据对应边相等，得到，再利用三角形和四边形的面积差得到结论，故②错误；根据勾股定理得到，根据，继而根据完全平方公式得到，继而得到，，故③正确；根据，，两式相加，得到，故④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在正方形中，，． ∴， ∴，故①正确； ，， ∵， ∴， ∴， ，即，故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ∴，故④正确. 故①③④正确，②错误． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键． 由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点， ， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，整式的混合运算，利用二次根式的性质化简等，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形． (1)如图1，M是的中点，若，求的长． (2)如图2，M是的中点，连结交于点O，连结． ①求证： ②如图3，若，取的中点N，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，平行四边形的判定与性质，构造三角形全等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理即可求解； （2）①连结，证明四边形是平行四边形，得到，再证明，易得B，O，D三点共线． 易证是的中位线， 即可证明结论；②证明是的中位线．推出． 设与交于点K，作的高，的高，证明，推出，根据，得到．设，则，求出，，，即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角三角形，点M是中点，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：①连结， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B，O，D三点共线． ∵点M是中点， ∴是的中位线， ∴； ②∵，M是中点， ∴是的中位线． ∴． 设与交于点K，作的高，的高， ∵点N是的中点， ∴， 由①知，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ． 勾股定理与折叠问题（共小题） 【例6】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·全国·月考）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）由折叠得，，再由勾股定理得，可得，最后由勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得，， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （2）解：由折叠得，， 在中，， ， ， 在中，， ； （3）解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为_______． 【答案】（1）；（），理由见解析；（）四边形是正方形，理由见解析；． 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由如下: 如图，过点作交于点，交于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·山东德州·期末）活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，求证：四边形是正方形； 【操作探究】 （2）如图③，将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠，使点、分别落在，上的、处，，分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点分别落在点与点处，恰好点在边上，与相交于点，且，若，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．、分别在边上，，点从点单向运动到点的过程中，将矩形纸片沿着折叠，点分别落到点与点处．若边与边交于点，在此过程中，直接写出： ①的最大值为___________；②点运动的路径长为___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②点运动的路径长为． 【分析】（1）由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，则可证明是等腰直角三角形，得到，据此可证明结论； （2）先证明四边形是矩形，得到，，则；可证明，得到，，则，；由折叠的性质可得，，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）①可证明，得到，则，故当时，有最小值，即此时有最大值，可证明此时四边形是矩形，则，即； ②当点E与点N重合时，同理可得，设，则，由勾股定理得，解方程可得；如当点P恰好与点重合时，由折叠的性质可得，则，据此可得答案． 【详解】证明：（1）四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， 四边形是矩形，是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形； （2）四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， 四边形是矩形， ， ； 由折叠的性质可得， ， 又， ， ， ， ； 由折叠的性质可得， ， 设，则， 在Rt中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）①如图3-1所示，由折叠的性质可得， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 当最小时，有最大值， 当时，有最小值，即此时有最大值， 此时四边形是矩形， ， ； ②如图3-2所示，当点与点重合时，同理可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； 如图3-3所示，当点恰好与点重合时， 由折叠的性质可得， ， 点运动的路径长为． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等待，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 勾股差模型（共4小题） 【例7】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在等腰中，，是边上的高．若，，则______． 【答案】8 【分析】设中点为，连接，根据等腰三角形的性质求出，接着利用等面积法求出高，再由勾股定理求即可． 【详解】解：设中点为，连接， ， ， ， ，， ， 是边上的高， ，，解得， ． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房，到公路的距离为米，为米，为米．一辆公交车以米秒的速度从处出发，沿公路向处行驶．若公交车鸣笛声会使以公交车为中心米范围内受到噪音影响，则公交车在公路上行驶时，至少___秒不鸣笛才能使在城市书房中看书的读者不受噪音影响． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在 上取一点，连接，使米，由勾股定理得（米），又米，米米，所以公交车在段不能鸣笛， 由勾股定理得：（米），则有（米），然后通过即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，在 上取一点，连接，使米， ∵， ∴， ∴（米）， ∵米，米米， ∴公交车在段不能鸣笛， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 因为（秒）， 所以公交车在公路上行驶时，至少秒不鸣笛才能使在城市书房中看书的读者不受噪音影响， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【答案】3.5 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 【变式3】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 (2)原来的路线的长为千米 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； （2）解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 见特殊角，作垂线（共4小题） 【例8】（24-25九年级上·北京通州·期末）小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是______． 【答案】或 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分为钝角和锐角，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∴， 在中，； 当为钝角时，则：； 当为锐角时，则：； 故答案为：或． 【变式1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ____________________． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点E，从而可得，在中，利用含的直角三角形的性质及勾股定理可得，然后利用证明，从而可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得是等腰直角三角形，进而可得，最后利用线段的和差关系可得，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点E， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵是的一个外角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，过作于点，则，，故，，然后由勾股定理和线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，则的面积为______. 【答案】或 【分析】本题考查了分类讨论思想以及勾股定理的运用，熟练进行分类讨论和运用勾股定理求线段是解题的关键. 图形不确定，需要分钝角三角形及锐角三角形进行讨论，利用勾股定理进行计算出的长度，代入三角形面积公式即可. 【详解】解：当是钝角时，过A作于D， ∴ ∵，， ∴ 在中， ∴ ∴ 当是锐角时，过A作于D， ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴的面积为或 故答案为：或 平行四边形之“双角平分线”（共3小题） 【例9】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点；若，，则的长是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，根据平行四边形的性质得，再根据平行线的性质和角平分线定义得，则，进而得，同理可得，则，然后根据即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点． (1)求证：； (2)设与的延长线相交于点，若，直接写出点到的距离为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据平行四边形的性质得，即可得证； （2）根据角平分线的定义，平行四边形的性质得出，，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ． ． 平分平分， ， ， ， ， ，即． （2）解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∴ 平分平分， ∴， ∴ ∵，平分， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设点到的距离为 ∴ ∴ 故答案为：． 构建三角形中位线（共3小题） 【例10】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式11】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，分别是边的中点，连接与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知分别是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明是的中位线． （1）根据正方形的性质证明，得，进而可以解决问题； （2）连接并延长交于点P，连接，证明，是的中位线，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． 又分别是边的中点， ∴，, ． 在和中， ， ， 又， ， 则， ； （2）解：连接并延长交于点，连接，如图． 在中，是的中点， ， ， 又， ， ， 是的中点，又是的中点， 是的中位线，则． 是的中点， ， 又， ， ． 【变式12】（24-25八年级下·河北承德·期末）【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 【答案】中位线定理：；应用：；拓展：证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 三角形中位线定理：根据三角形中位线定理即可得到结论； 应用：连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； 拓展：取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：【三角形中位线定理】； 理由：∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【应用】连接，如图所示， ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【拓展】证明：取的中点H，连接． ∵M、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 平行四边形中各图形面积的等量关系（共4小题） 【例11】（23-24八年级下·全国·单元测试）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，，，，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，，， ， A、C、D正确，B不正确； 故选：B． 【变式1】（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图，点E在平行四边形的边上，的面积记为，的面积记为，的面积记为，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】A 【分析】分别表示出三个三角形的面积，再根据平行四边形的性质得出答案． 【详解】解：设和之间的距离是h，根据题意，得，，． ∵四边形是平行四边形， ∴． 可知． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，理解各三角形面积之间的关系是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是______． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式=底×高是解题的关键． 过E作，交于M，交于N，的面积+的面积=，即可得出平行四边形的面积，再根据和的面积之和是平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ，， ∵阴影部分的面积是3， ∴， 和的面积之和是． 故答案为：3． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，点E、F是平行四边形的边上两点，点G是边上一点，若平行四边形的面积是，则与以及的面积之和为_______． 【答案】/10平方厘米 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等高三角形，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质得出、、、、是等高三角形，设等高三角形的高为，进而推出阴影部分面积和空白部分面积相等，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 、、、、是等高三角形， 设等高三角形的高为， 则，， ， 四边形的面积是， ， 故答案为：． 利用特殊四边形对称性求解（共3小题） 【例12】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定，矩形的性质与判定等等，连接，当时，即时，的最小值等于，即可判定①；延长交于点，由，，即可判定②；连接交于P，此时最小，最小值为长，则周长最小，利用勾股定理求出的长，即可求出周长最小值，即可判定③． 【详解】解：连接， ∵正方形 ∴，， ∴ ∵于点E，于点F， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴当最小时，最小， 则当时，即时， 的最小值等于，故①错误； 延长交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 在和中，，， ； 在和中，，， ，故②正确； 连接交于P，如图， ∵正方形， ∴点A与点B关于对称， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短可得，此时最小，最小值为长， ∵周长，， ∴最小时，周长最小， 在中，， ∴周长最小值． 故③正确． 故答案为：②③． 【变式1】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于______． 【答案】/ 【分析】先根据正方形的性质找到F的对称点，再根据垂线段最短找出最短路径，最后根据正方形的面积公式求解． 本题考查了轴对称最短路径问题，掌握正方形的面积公式和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵在正方形中，为对角线， ∴正方形关于对称，，， 如图，设F的对称点为Q，过Q作于E，交于P， 则四边形为矩形，， ∴的最小值为的长度， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段上，且，则____________，的最小值为____________．    【答案】 【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 中点四边形模型（共3小题） 【例13】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，在四边形中，，四边的中点分别是，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形一定是________形．   【答案】菱 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，菱形的判定，掌握菱形的判定是关键． 根据中位线的判定和性质得到，则四边形是平行四边形，由，，则，结合菱形的判定即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，点是中点， ∴， 同理，在中，点是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：菱 ． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【详解】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】选择图2：利用三角形中位线性质证明，即可得出结论； 选择图3：利用三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，再根据，利用平行线的性质证明，即可得出结论； 选择图4：先证明四边形为菱形，再证明，即可得出结论． 【详解】解：选择图2； 提出猜想：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是菱形； 证明∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 选择图3； 提出猜想：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 选择图4； 提出猜想：对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， ， 求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线，平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定．熟练掌握三角形中位线性质和菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 半角模型（共3小题） 【例14】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，， ． ； （2）证明：， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ∵， ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ∵为中点， ， 设，则， ． 在中，， ， 解得：． ． 【变式1】（22-23九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)．证明见解析 (2)．证明见解析 【分析】（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论； （2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论． 【详解】（1）解：．证明如下： 由旋转，可知： ∴点共线 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：．证明如下：    在上取．连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； （2）解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 十字架模型（共3小题） 【例15】（福建省厦门市同安区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题）纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形．      (1)请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） (2)如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)i．见解析；ii．，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，解一元二次方程，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接正方形的对角线，再把四个等腰直角三角形拼成矩形即可； （2）i、证明四边形是正方形即可； ii、设，（）．根据图形面积建立方程，解一元二次方程求解． 【详解】（1）解：拼剪方法如图所示： （2）i、证明：如图中，连接，，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分； ii、解：结论：． 理由：设，（）． 由题意，， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（（教研室）广西壮族自治区南宁市武鸣区2024-2025学年八年级下学期期末监测数学试题）如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质. （1）由矩形的性质得到，进而证明，即可得到； （2）由得到，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质计算即可. 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 又， 和中 （） ； （2）解：∵ ∴ 又四边形是矩形 四边形是正方形 四边形的周长 【变式2】（江西省宜春市第八中学2024-2025学年下学期期中阶段性练习八年级数学试卷）已知在正方形中，点E、F分别为边上两个动点． (1)①如图1，连接相交于点O，若，则和的数量关系为　　　　　； ②如图2，在①的条件下，若点E是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点G，交于点F． ①若，，求的长； ②如图4，连接，若，四边形面积的取值范围是　　　　　． 【答案】(1)（1）①；②见解析 (2)①3；② 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，进一步可得，所以，结论得证． ②延长交于点，证明，得到，再由直角三角形斜边中线的性质即可求证； （2）①连接，作于，，则可， 在中，由勾股定理建立方程；②作于，可得，则，而，那么，当最小时，四边形面积最小，此时点与点重合，；最大时，四边形面积最大，此时点与点重合，即可求解． 【详解】（1）（1）①解：，如图： ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． ②证明：延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图，连接，作于． ∵正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，设，则， ∴，， 垂直平分，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在中， ， ， ， ，； ②如图，作于． 垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，四边形面积最小，此时点与点重合，； 最大时，四边形面积最大，此时点与点重合，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大． 正方形风车模型（共3小题） 【例16】（河北省石家庄市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 【变式1】（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论． 【问题发现】（1）①图中线段、之间的数量关系是______； ②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程． （3）如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【结论应用】（4）如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）；（4）或． 【分析】（1）①通过正方形对角线性质，证明与全等，得出和的数量关系； ②利用正方形边长相等转化线段，结合勾股定理推导、、的数量关系； （2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用矩形性质和勾股定理证明数量关系； （3）连接辅助线，利用菱形对角线性质、中点性质，结合勾股定理分情况列方程求解； （4）利用直角梯形、中点性质，结合矩形的直角条件，分情况用勾股定理计算的长度． 【详解】解：（1）①∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴（）， ∴， 故答案为：； ②∵正方形的边长相等，即，， 由（）①得， ∴，即 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）结论：，理由如下： 延长交于点，连接，连接，则过中心， ∵是矩形的中心， ∴是的中点，即， ∵矩形中，， ∴，． 在和中， ， ∴（）． ∴， ∵矩形中，，即， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴； （3）连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴−， ∵，为直角， ∴由得， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）分两种情况讨论： 情况，当点在线段上时，连接， ∵，， ∴， 在直角梯形中，，， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ， ∴由得， ∴ 解得； 情况，当点在线段的延长线上时，过作交的延长线于，连接，，则． ， ，， 点是的中点． ． 在矩形中，，即． ． 在中，，在中， ，即， ，，， ， 即得． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握特殊四边形的性质、全等三角形的判定方法及勾股定理的灵活应用是解题的关键． 垂美四边形（共3小题） 【例17】（25-26九年级上·广东清远·月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号） ①平行四边形       ②矩形  ③  菱形           (2)如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； (3)如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，证明四边形是矩形； (4)如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，求的长． 【答案】(1)③ (2)，见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据垂美四边形的定义，结合平行四边形，矩形，菱形对角线的性质判断解答即可； （2）根据垂美四边形的定义，勾股定理，等式的性质解答即可； （3）根据三角形中位线定理，矩形的判定证明即可； （4）设与交于点M，与交于点N，连接，先证明四边形是垂美四边形，再根据正方形的性质，勾股定理，结合垂美四边形的四边关系，分类解答即可． 本题考查了新定义，菱形的性质，正方形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握新定义，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，且对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． ∴菱形是垂美四边形， 故选：③， 故答案为：③． （2）解：边，，，的数量关系为，理由如下： ∵在四边形中，对角线与相交于点，， ∴， ∴． （3）证明：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （4）解：如图，设与交于点M，与交于点N，连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∵是直角三角形，，，， ∴或，， 如图，当时， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∵四边形和四边形是正方形，，， ∴，， ∴，，， 由得， ∴（负的舍去）； 如图， 当时， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∵四边形和四边形是正方形，，， ∴，， ∴，，， 由得， ∴（负的舍去）； 综上所述：的长为或． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，垂美四边形的性质：垂美四边形对边的平方和相等．如图，四边形是垂美四边形，则 证明： ，， ，， ， ， 我们已经通过证明掌握了垂美四边形的性质，接下来我们可以直接使用了，同学们加油！ (1)已知垂美四边形，，，，，则_____． (2)在矩形中，，则的长为多少？ (3)中，，，，以和为直角边作等腰直角和等腰直角，连接、相交于点，连接，则的长为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的性质，由，代入数据计算即可求解； （2）根据矩形的性质得到，设，则，由勾股定理求出，根据垂美四边形的性质，由，代入数据计算即可求解； （3）设交于点，证明，利用三角形内角和定理易证，推出四边形是垂美四边形，利用勾股定理求出，，，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂美四边形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （2）解：∵矩形中，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：设交于点， ∵和都是等腰直角， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等是三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·河南南阳·一模）综合与实践： 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．    (1)定义理解 图中，、、三点均在格点上，请在格点上确定点，使四边形为对等垂美四边形． (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点，且，，将绕点逆时针旋转（旋转角），、的对应点分别为、，如图3，请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键． （1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可； （2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论； （3）当是直角时，当为直角时，分别求解即可； 【详解】（1）解：如图，四边形即为所作的对等垂美四边形；    （2）解：四边形是对等垂美四边形，理由如下： 连接，交于点，设与交于点，    由题意知，，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ∴在四边形中，，， ∴四边形是对等垂美四边形； （3）解：①当是直角时，如图，    ，， ； ； 当为直角时，如图，过点作的垂线，垂足为，    ，， ，， ， ， ，， 则； ； 综上所述，四边形的面积或 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $