专题03 特殊平行四边形与梯形（期中复习知识清单，18题型103题）八年级数学下学期新教材苏科版

专题03 特殊平行四边形 矩形的性质 边：对边 且 角：四个角都是 (或 )　 对角线：互相 且 对称性：既是 对称图形，又是 图形，有 条对称轴(不考虑正方形的情况) 矩形的判定 有 个角是直角(或90°)的四边形是矩形 有一个角是 的平行四边形是矩形 相等的平行四边形是矩形 菱形的性质面积： S= (a，b分别表示矩形的长和宽) 菱形的性质 边：四条边 ， 平行 角：对角相等 对角线：互相 ，每条对角线平分 对称性：既是 对称图形，又是 对称图形，对称中心是 点，有 条对称轴，对称轴是 的直线 菱形的判定 相等的四边形是菱形 有一组 相等的平行四边形是菱形 对角线 的平行四边形是菱形 菱形的面积 S＝ (m，n分别表示菱形两条对角线的长)＝ab(a，b分别表示菱形的边和该边上的高) 正方形的性质 边：四条边 ，对边 角：四个角都是 对角线：互相 ，每条对角线 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴 正方形的判定 有一组 相等的 是正方形 有一个角是 的 是正方形 对角线 的 是正方形 有一组 相等，并且有一个 的 形是正方形 相等的菱形是正方形 正方形的面积：S＝ (a表示正方形的边长)＝ (m表示对角线的长) 中点四边形 (1)定义：依次连接任意一个四边形 所得的四边形叫做中点四边形 (2)常见结论： 原图形 任意四边形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 中点四边形 形 形 形 形 利用矩形的性质求解 【例1】如图所示，矩形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【变式2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点，，取中点，连接，取中点，连接，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______． 利用矩形的性质证明 【例1】如图，在平行四边形中，． (1)用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，连接，．求证：四边形为平行四边形，并完成下列证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ，， ____①____． ，， ． 在和中，， ． ____②____． ，， ． ____③____． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为____④____． 【变式1】如图，在矩形中，的平分线交于点，作于点． (1)求证：； (2)连并延长交于．若，求的长． 【变式2】如图，在矩形中，点E是的中点，延长相交于点F，连接． (1)求证：； (2)当平分，且时，求的长． 【变式3】如图，动点E从矩形的点B沿线段向点C运动，连接，以为边作矩形，使过点D． (1)求证：矩形与矩形的面积相等； (2)若，直接写出为何值时，为等腰三角形． 矩形的证明与判定 【例1】如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【变式1】下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】如图，在中，在的同侧作正、正和正． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 ______时，四边形是矩形． 【变式3】学习完“特殊的平行四边形”章节后，安阳某初中数学小组的同学们就下面试题展开了探究，请仔细阅读并完成如下任务： 试题： 如图，在正方形和平行四边形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接，． 探究： 小明：平行四边形是矩形，我是通过定义直接确认的． 小亮：你的思路正确，在你基础上我继续进行探究：给出一个的度数，使四边形变成正方形． 任务： (1)小明得出平行四边形是矩形的判定依据是______（写出具体内容）； (2)按照小亮的探究，你给出的______°，并说明理由． 利用菱形的性质求解 【例1】如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 【变式3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 利用菱形的性质证明 【例1】如图，在菱形中，点分别在边上，连接，求证：． 【变式1】综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【变式2】如图，菱形中，E为延长线上一点，连接，，过点D作于H． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【变式3】如图，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，求线段的长． 菱形的证明与判定 【例1】已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【变式1】如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若，，求OE的长． 【变式2】如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式3】，，是分别以的、、边为一边的等边三角形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． (3)试讨论的角满足什么条件时，四边形不存在． (4)多此一问：当的角满足______时，四边形是菱形；当的角满足______时，四边形是矩形． 利用正方形的性质求解 【例1】如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 【变式1】如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【变式3】如图，在正方形中，对角线上有一点P，连接，． (1)求证：． (2)将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数． 利用正方形的性质证明 【例1】如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． (1)求证：； (2)连接，若，F是的中点，求的长； (3)在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式1】如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【变式2】如图，正方形，是对角线上一动点，点不与点、点重合，，且，连接，，． (1)求证：； (2)请直接写出与之间的数量关系； (3)若，请直接写出长度的最小值． 【变式3】已知，四边形是正方形，，它的两边、分别交、边于点M、N，连接，作，垂足为点H． (1) ； (2)如图，猜想与有什么数量关系？并证明； (3)若，，求的长． 正方形的证明与判定 【例1】正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【变式1】如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于两点，连接；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③连接并延长至点；④分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点；⑤作直线分别交于点，连接．根据作图步骤，对四边形的形状判断最准确的是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的平分线于点F． (1)说明：； (2)当点O运动到何处，四边形是矩形？说明你的结论． (3)当点O运动到何处，与具有怎样的关系时，四边形是正方形？为什么？ 【变式3】两个长为，宽为的长方形，摆放在直线上（如图①所示），，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度． (1)当旋转到顶点，重合时，连接（如图②所示），求点到的距离． (2)当时（如图③所示），求证：四边形是正方形． 正方形的重叠问题 【例1】如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【变式1】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【变式3】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 中点四边形问题 【例1】如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【变式1】如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【变式3】综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 特殊平行四边形的旋转问题 【例1】如图1，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转，得到矩形． (1)当点落在上时，则线段的长度等于_____； (2)如图2，当点落在上时，则的面积为_______； (3)如图3，连接，判断与的位置关系并说明理由； 【变式1】已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【变式2】如图，将矩形绕点旋转，得到矩形，恰好经过点，连接，若，则的度数为______ 【变式3】如图①，四边形和四边形都是菱形，其中点E在边的延长线上，点G在边的延长线上，点H在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)如图②，连接，将菱形绕点B顺时针旋转，使点E落在上，点F落在上，点G落在的延长线上，连接，．若，求的长． 【变式4】将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上，将正方形绕点逆时针旋转一周，直线与直线交于点P． (1)如图1，直接写出与的关系； (2)如图2，当点B在线段上时，求的面积； (3)连接，当时，求的值． 【变式5】解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 特殊平行四边形背景下的动点问题 【例1】如图，矩形中，对角线相交于点，点是线段上一动点（不与点重合），的延长线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，点从点出发，以的速度向点匀速运动．设点运动的时间为，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【变式1】如图，矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠，点B落在处，过点作交于E，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)点P移动过程中，是否有最小值？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【变式2】如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 【变式3】如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【变式4】如图，已知正方形的边长为4，两条对角线相交于点O，以O为顶点作边长为a的正方形，将正方形绕点O旋转． (1)旋转过程中，正方形与正方形重叠部分的面积为________； (2)连接，延长交于点H，判断与的位置关系，并说明理由． (3)连接，当以B、D、E、C为顶点的四边形是平行四边形时，求边长a的值并求此时点D到的距离． 【变式5】如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 特殊平行四边形的折叠问题 【例1】如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好邻落在对角线上，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 【变式2】如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 【变式3】如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处． (1)求证：； (2)若，求菱形的边长． 【变式4】如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【变式5】综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【变式6】【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【变式7】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法取一张矩形的纸进行折叠， (1)【探究发现】如图，具体操作过程如下： 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接，．观察所得到的，，，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (2)【类比应用】小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图，当点在上时，______，______； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，试判断的度数是否为定值，并说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的探究中，当时，请直接写出的长． 特殊平行四边形的拼接问题 【例1】同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形直角三角板互不重叠，两个直角三角形斜边上的高都为 (1)①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边结果用h表示； ②求四边形的面积． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 【变式1】数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（   ） A． B． C． D．3 【变式2】如图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，已知正方形、正方形和正方形中，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为________． 【变式3】在七年级学习实数时，我们通过裁剪和拼接说明的存在，如图1所示． (1)将五个边长为1的正方形按图2所示的方式摆放成一个矩形，沿图2的虚线裁剪，并按图3进行拼接． ①在图2中，________； ②在图3中，求证：． (2)经历了以上活动，我们猜想：大小不同的两个正方形，也可以通过裁剪拼接成一个大正方形． 如图4，已知正方形和正方形，点在一条直线上，．请你设计一种裁剪拼接方案验证上述猜想． 要求： ①在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用含的式子表示）； ②在图4中画出裁剪线，标出各个裁剪后的图形序号（类似图2）； ③在图5的方框中画出拼接后的大正方形的示意图（标上各个图形的序号，类似图3）． 说明： ①裁剪前和裁剪后拼接地不重叠、无缝隙、无剩余； ②本题将综合考虑“裁剪次数”给分，裁剪次数最少的才能得满分． 【变式4】【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” (1)求证：四边形为矩形； (2)试说明矩形的面积和正方形的面积相等； (3)【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； (4)如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【变式5】综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【变式6】综合与实践——数学拼图活动 问题情境：图1是一张菱形纸片，其中，．点是对角线上的一点，且，剪去（阴影部分）得到如图2所示的不规则多边形纸片．    数学思考： （1）图1中线段的长为______； 实践操作： （2）在图2中，以连接某两个顶点的线段为裁剪线，使经过裁剪后的两部分纸片可拼接为图3所示的五边形．在图2画出裁剪线，在图3中画出拼接线．（要求：拼接时，两部分纸片无终隙、不重叠且没有剩余）； （3）图4是一个与图3全等的五边形．请你在图4中画一条裁剪线，使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后，可以拼得一个矩形．要求：只能用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，标明裁剪线，并直接写出所拼得的矩形的周长． 【变式7】问题：数学活动课上，老师出示了一个问题：将一个四边形沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形． 操作：如图1，已知平行四边形K．小明按以下操作得到了新四边形． （1）过点A作，垂足为； （2）直线把平行四边形分割成两部分，将沿平移得到． 证明：连接，，小明发现．请根据上述操作中得到的条件，证明小明发现的这个结论． 应用：如图2，已知矩形，．请拼接出一个菱形． （写出操作过程，画出裁切线和拼接后的四边形，并标注必要的字母） 特殊平行四边形背景下的尺规作图问题 【例1】如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 【变式1】如图，在矩形中，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、交于点、，连接、．若，．则四边形的周长为（　　） A．5 B．10 C．16 D．20 【变式2】如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作边上的高． 【变式3】如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式4】如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 【变式5】如图，在菱形的边上有一点（不与点，重合），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中的菱形的边上找一点，作线段，使． (2)在图②中的菱形的边上找点，，使，并作出等腰三角形． 79．如图，正方形的边长为4，点在边上，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)在图中作出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)当点，，三点共线时，求线段的长． 特殊平行四边形背景下的最值问题 【例1】如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【变式1】已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【变式2】如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【变式3】如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 【变式4】如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 【变式5】如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【变式6】如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【变式7】如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F，将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为______． 特殊平行四边形与一次函数的综合问题 【例1】如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1】已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【变式2】在平面直角坐标系中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．如图②，已知点A的坐标为． (1)若点B的坐标为，则点A，B的“相关矩形”的面积为 ； (2)若点C在y轴上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线的表达式； (3)若点D的坐标为，当直线与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，直接写出k的取值范围； (4)若点P在直线上，且点A，P的“相关矩形”为正方形，直接写出点P坐标． 【变式3】如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 【变式4】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【变式5】在平面直角坐标系中，如果一个点运动所形成的图象是一条直线，那么这条直线叫做这个点的“踪线”．特别的，当形成的图象是线段时，我们把这条线段的长叫做这个点的“踪线长”．例如：点的踪线为直线，直线是点的踪线，点的踪线为直线． (1)试判断点的踪线是否为，并说明理由； (2)若点，求O到点B踪线的距离； (3)如图，正方形的边长为4，点M从点O出发向点C运动，同时点N从点C出发向点D运动，在整个运动过程中，始终保持，连接，设的中点为G，求点G的踪线长． 【变式6】如图，已知矩形的顶点A，C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段，的长度满足等式，直线分别与x轴，y轴交于M，两点，将沿直线折叠，C恰好落在直线上的点D处． (1)求点B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)将直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线扫过矩形的面积S关于运动的时间的函数关系式． 【变式7】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线上，使，求点的坐标; (3)点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标． 试卷第152页，共153页 份有限公1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊平行四边形 矩形的性质 边：对边平行且相等 角：四个角都是直角(或90°)　 对角线：互相平分且相等 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴(不考虑正方形的情况) 矩形的判定 有三个角是直角(或90°)的四边形是矩形 有一个角是直角(或90°)的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 菱形的性质面积： S=ab (a，b分别表示矩形的长和宽) 菱形的性质 边：四条边相等，对边平行 角：对角相等 对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，有两条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线 菱形的判定 四条边相等的四边形是菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形的面积 S＝mn(m，n分别表示菱形两条对角线的长)＝ab(a，b分别表示菱形的边和该边上的高) 正方形的性质 边：四条边相等，对边平行 角：四个角都是直角 对角线：互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴 正方形的判定 有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角(或90°)的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角(或90°)的平行四边形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 正方形的面积：S＝a2(a表示正方形的边长)＝m2 (m表示对角线的长) 中点四边形 (1)定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 (2)常见结论： 原图形 任意四边形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 利用矩形的性质求解 【例1】如图所示，矩形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，求出，进而求解即可； （2）根据矩形的性质得到，然后利用等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长． 【变式2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点，，取中点，连接，取中点，连接，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明是等边三角形，结合点是中点，得出，然后结合点是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点是中点， ∴， ∵点是中点， ∴． 【变式3】如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图——作垂线及矩形的性质，正确得出是的垂直平分线是解题关键．由作图可知，，是的垂直平分线，根据矩形的性质得出，，，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，，是的垂直平分线， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴． 故答案为： 利用矩形的性质证明 【例1】如图，在平行四边形中，． (1)用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，连接，．求证：四边形为平行四边形，并完成下列证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ，， ____①____． ，， ． 在和中，， ． ____②____． ，， ． ____③____． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为____④____． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④平行四边形； 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法作图即可； （2）先利用平行四边形的性质证明，，再证明，得出，再证明，即可证明四边形为平行四边形；同理得出结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中，， ． ． ，， ． ． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为平行四边形． 理由如下：如图，四边形是矩形，于点，于点， 四边形为矩形， ，， ． ，， ． 在和中，， ． ． ，， ． ． 四边形为平行四边形． 【变式1】如图，在矩形中，的平分线交于点，作于点． (1)求证：； (2)连并延长交于．若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）证明，由全等性质即可得证； （2）利用三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质，由角度出发得到，从而求出的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 在矩形中，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在矩形中，平分，，则， 由（1）知，则， ， ， ， 则， ， 在中，，，则， ， ， 在中，，则， ， 则， ， ， 则． 【变式2】如图，在矩形中，点E是的中点，延长相交于点F，连接． (1)求证：； (2)当平分，且时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据矩形的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据角平分线的性质证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵点E是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵平分， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵点E是的中点， ∴． 【变式3】如图，动点E从矩形的点B沿线段向点C运动，连接，以为边作矩形，使过点D． (1)求证：矩形与矩形的面积相等； (2)若，直接写出为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)2或3或4 【分析】（1）连接，根据矩形的性质和三角形的面积公式可得，结合，，可证明结论； （2）分三种情况：、、，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，则； 当时，又∵，则， ∴； 当时，同理可得， ∴； 综上所述，当的值为2或3或4时，为等腰三角形． 矩形的证明与判定 【例1】如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【变式1】下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，无法判定其为矩形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为矩形； ③∵，四边形是平行四边形， ∴为矩形； ④∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴为矩形； 综上，能够判定为矩形的有个． 故选：C． 【变式2】如图，在中，在的同侧作正、正和正． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 ______时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，同理，得，则，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）求出，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：、、都是正三角形， ，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【变式3】学习完“特殊的平行四边形”章节后，安阳某初中数学小组的同学们就下面试题展开了探究，请仔细阅读并完成如下任务： 试题： 如图，在正方形和平行四边形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接，． 探究： 小明：平行四边形是矩形，我是通过定义直接确认的． 小亮：你的思路正确，在你基础上我继续进行探究：给出一个的度数，使四边形变成正方形． 任务： (1)小明得出平行四边形是矩形的判定依据是______（写出具体内容）； (2)按照小亮的探究，你给出的______°，并说明理由． 【答案】(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)90，理由见解析 【分析】（1）根据矩形定义进行判断即可； （2）延长交于点H，证明，得出，证明，得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵点A，B，E在同一条直线上， ∴， ∴根据有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，可得平行四边形是矩形． （2）解：当时，四边形变成正方形，理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵正方形和平行四边形中，，， ∴， ∴，， ∵P是线段的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 利用菱形的性质求解 【例1】如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ． 【变式2】如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，先根据菱形的性质可得，，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵菱形的边长为5，且， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【变式3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 利用菱形的性质证明 【例1】如图，在菱形中，点分别在边上，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】通过证明即可求解． 【详解】证明：在菱形中，， ， ，即， 在和中， , ． 【变式1】综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长度为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． （1）数量关系：．连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， 即， ∵点为中点， 故平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 【变式2】如图，菱形中，E为延长线上一点，连接，，过点D作于H． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，由勾股定理可得，由等角对等边得出，即可得出结果； （2）作交的延长线于点，连接，则，证明，得出，，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，作交的延长线于点，连接， ， 则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，在菱形中，，可证明是等边三角形，则，，所以，进而可证明 ，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据平行线的判定得出； （3）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 在菱形中，， ，， 、是等边三角形， ，， ∴， ∴， ， ； （2）证明：∵， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ； （3）解：如图，连接，，设与相交于点， 四边形是菱形， ，， ，是等边三角形， ，， ， 由（1）可得，， ，． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 菱形的证明与判定 【例1】已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 【变式1】如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若，，求OE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，判断出四边形是平行四边形，再由即可证明四边形ABCD是菱形； （2）先求出，利用勾股定理求出，又由是直角三角形，是中点，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）·四边形是菱形，， ，， ·在中，，， ， ， ， 是直角三角形，是中点， （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． 【变式2】如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可利用证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ， ∴四边形是菱形． 【变式3】，，是分别以的、、边为一边的等边三角形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． (3)试讨论的角满足什么条件时，四边形不存在． (4)多此一问：当的角满足______时，四边形是菱形；当的角满足______时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)当时，四边形不存在， (4)， 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，得到，等量代换得到，同理可得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）如图，过点F作于点G，求出，得到，，然后利用平行四边形面积公式求解； （3）当时，点D，A，E在同一条直线时，进而判断即可； （4）根据菱形和矩形的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点F作于点G， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴四边形的面积； （3）解：当时，四边形不存在，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴， ∴当时，， ∴点D，A，E在同一条直线时，此时四边形不存在； （4）解：当的角满足时，四边形是菱形； 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 当的角满足时，四边形是矩形； 理由：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 利用正方形的性质求解 【例1】如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质，等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 【变式1】如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质证明，得到，进而即可求解； 【详解】四边形和四边形都是正方形，恰好落在正方形的对角线上， ，，， 在和中， ， ， ， ． 【变式2】已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）；（4）四边形的面积与正方形的面积相等 【分析】本题考查正方形的性质． （1）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16； （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 【变式3】如图，在正方形中，对角线上有一点P，连接，． (1)求证：． (2)将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到、，证得，根据全等三角形的性质得到； （2）设交于点M，由全等三角形的性质结合等腰三角形的性质易得到，进而得到，从而求出的度数． 【详解】（1）解：四边形是正方形，为对角线 、 ； （2）解：设交于点M， 、， ， ， ， ， 、， ， ． 利用正方形的性质证明 【例1】如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． (1)求证：； (2)连接，若，F是的中点，求的长； (3)在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）证明即可； （2）先求出的长，再利用正方形的对角线求出； （3）过点作于点，先证明，可得，从而可得，再证明，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵由（1）可知，， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形得到，再由互余关系得到，再由垂直得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解．连接，，求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，， ． 又， ． 在中，， ． 在和中， ． （2）解：正方形的边长为6，，， ． 连接， ∴． ， ， 解得． 由（1）得， ． 【变式2】如图，正方形，是对角线上一动点，点不与点、点重合，，且，连接，，． (1)求证：； (2)请直接写出与之间的数量关系； (3)若，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)最小值为2 【分析】（）利用正方形的性质可得，利用余角性质可得，结合进而即可求证； （2）由（1）知，可得，，易证，由即可得出结论； （3）当时，有最小值，进而得到有最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 由（1）知， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 当时，有最小值，进而得到有最小值， 此时，点为的中点，则， 由（2）知， ∴长度的最小值为． 【变式3】已知，四边形是正方形，，它的两边、分别交、边于点M、N，连接，作，垂足为点H． (1) ； (2)如图，猜想与有什么数量关系？并证明； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，即可得出结论； （2）证明≌，得出，，证明≌，得出，证明≌，即可得出结论； （3）设，则，，用勾股定理建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 如图，过点作交的延长线于， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （3）解：∵，， 由（2）知，， ∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴的长为． 正方形的证明与判定 【例1】正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①设，结合正方形的性质和三角形外角的性质可得，由矩形的性质可得．容易证明，则，，用三角形的内角和定理可计算出，则，命题得证； ②由可得，，进而可计算出，则，利用勾股定理计算出，进而求出的长； （2）连接，过点作的垂线，交直线于点，容易证明，则，因此是等腰直角三角形，计算得，由垂线段最短可得，就是的最小值． 【详解】（1）解：①证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 【变式1】如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于两点，连接；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③连接并延长至点；④分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点；⑤作直线分别交于点，连接．根据作图步骤，对四边形的形状判断最准确的是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】设与交于点，先求出，，，，则，据此可得，即，再根据菱形和正方形的判定即可得． 【详解】解：如图，设与交于点， 由作图可知，平分，垂直平分， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形， 综上，四边形是菱形． 【变式2】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的平分线于点F． (1)说明：； (2)当点O运动到何处，四边形是矩形？说明你的结论． (3)当点O运动到何处，与具有怎样的关系时，四边形是正方形？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当O点运动到的中点时，四边形为矩形，证明见解析 (3)当O点运动到的中点，且时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； （3）先证明四边形是矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， ， ， 同理可得：， ； （2）解：当点运动到的中点时，四边形是矩形； 证明如下：当点运动到的中点时，， ， 四边形是平行四边形， 由（1）可得， ， ，即， 四边形是矩形； （3）解：当O点运动到的中点，且时，四边形是正方形， 理由：∵O点为的中点时，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式3】两个长为，宽为的长方形，摆放在直线上（如图①所示），，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度． (1)当旋转到顶点，重合时，连接（如图②所示），求点到的距离． (2)当时（如图③所示），求证：四边形是正方形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、正方形的判定． (1)过点作于点，根据等边三角形的性质可知，可以求出，根据三角形内角和定理可知，根据直角三角形的性质可以求出的长度，即为点到的距离； (2)根据旋转角为，可证四边形是矩形，根据矩形的性质和等腰三角形的性质可证，从而可证四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点到的距离是； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 矩形是正方形． 正方形的重叠问题 【例1】如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【变式1】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 【变式2】现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 【变式3】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 中点四边形问题 【例1】如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 【变式1】如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 【变式2】小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 【变式3】综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 特殊平行四边形的旋转问题 【例1】如图1，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转，得到矩形． (1)当点落在上时，则线段的长度等于_____； (2)如图2，当点落在上时，则的面积为_______； (3)如图3，连接，判断与的位置关系并说明理由； 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）利用勾股定理求出，然后问题可求解； （2）过点B作于点M，先利用的面积求出，然后根据勾股定理得出，进而可得，最后利用三角形面积公式可求解； （3）先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理判断出，进而判断出，最后可求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：， 由旋转的性质知，， ∴； （2）解：过点B作于点M，如图2， ∴在中，由勾股定理得， 由旋转的性质知，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 设与的交点为Q，与的交点为P，如图3： 由旋转的性质知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意求得点，根据旋转的性质可得分别对应，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，矩形的周长为12， ∴， ∴，， ∵的中点为坐标原点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合， 将绕着点逆时针旋转得到， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【变式2】如图，将矩形绕点旋转，得到矩形，恰好经过点，连接，若，则的度数为______ 【答案】12 【分析】根据矩形和旋转的性质，得到，等边对等角求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵将矩形绕点旋转，得到矩形，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图①，四边形和四边形都是菱形，其中点E在边的延长线上，点G在边的延长线上，点H在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)如图②，连接，将菱形绕点B顺时针旋转，使点E落在上，点F落在上，点G落在的延长线上，连接，．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形性质得出，、、；推导得出、、，；根据“”判定； （2）作，结合判定四边形是矩形，得出；证明△是等边三角形和，得出；结合和，计算出、、的长度，再用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：四边形和四边形都是菱形， ，，，． 点在边的延长线上，， ，， ，， ． 在△和△中， ，，， ． （2）解：如图，作于点，则． ， ，． ， 四边形是矩形， ． ，， △是等边三角形， ． ， ， ． ，， ，，， ，， ． 【变式4】将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上，将正方形绕点逆时针旋转一周，直线与直线交于点P． (1)如图1，直接写出与的关系； (2)如图2，当点B在线段上时，求的面积； (3)连接，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)7 【分析】（1）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （2）先求出，进而利用勾股定理求出，进而求出，即可得出结论； （3）先求出，进而求出，再判断出，得出，，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 本题主要考查正方形的综合应用，灵活运用三角形全等的判定与性质和勾股定理求解是解题关键． 【详解】（1）结论：，． 理由：如图1， ∵四边形与四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在中， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）如图2，当B在线段上时，连接交于点O， ∴， ∴， 在中，, ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，连接， 则， 由（1）知，， ∴， ∴， 延长至H．使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴, 【变式5】解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)，与所在直线所夹锐角的度数为，理由见解析． 【分析】（1）由正方形和正方形证得，即可求得； （2）由正方形和正方形证得，即可求得； （3）由菱形和菱形证得，可求得，，延长交的延长线于点，交于点，再求出即可． 【详解】（1）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ； （2）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，与所在直线所夹锐角的度数为，理由： 四边形和四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 与所在直线所夹锐角的度数为． 特殊平行四边形背景下的动点问题 【例1】如图，矩形中，对角线相交于点，点是线段上一动点（不与点重合），的延长线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，点从点出发，以的速度向点匀速运动．设点运动的时间为，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能，运动时间t为时，四边形是菱形 【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据菱形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵在矩形中， ∴， ∴， 在和中，     ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由题意得：， 则 当四边形是菱形时，得， ∵四边形是矩形    ∴． ∵在中，    ∴    解得 ∴运动时间为时，四边形是菱形． 【变式1】如图，矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠，点B落在处，过点作交于E，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)点P移动过程中，是否有最小值？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)有，最小值是2 【分析】（1）先判断出，，再判断出，进而得出即可得出结论； （2）先判断出点在上时，最小，再利用勾股定理求出，即可得出结论； 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由： 由折叠知，，． ， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：有．理由：如图1， 连接，由折叠知，． ， 当点在上时，最小，最小值为，如图2， 四边形是矩形， ， 在中，，， 根据勾股定理得，， ； 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2】如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)t为或 (3)t为时，四边形为菱形 【分析】（1）由矩形的性质得出，，证明，得出，同理得出，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出，当对角线时，平行四边形是矩形，分两种情况：①，得出，解方程即可；②，得出，解方程即可； （3）连接、，由菱形的性质得出，，，得出，，证出四边形是菱形，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出，即可得出t的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 连接，如图， 由（1）得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，平行四边形是矩形， 分两种情况： ①当E、F相交前，，， 解得：； ②当E、F相交后，，， 解得：； 综上所述：当t为或时，四边形为矩形． （3）解：连接、，连接交于O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴t为时，四边形为菱形． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 【变式4】如图，已知正方形的边长为4，两条对角线相交于点O，以O为顶点作边长为a的正方形，将正方形绕点O旋转． (1)旋转过程中，正方形与正方形重叠部分的面积为________； (2)连接，延长交于点H，判断与的位置关系，并说明理由． (3)连接，当以B、D、E、C为顶点的四边形是平行四边形时，求边长a的值并求此时点D到的距离． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 (3)，点D到OE的距离为 ；，D到的距离为， 【分析】(1)如图，依据正方形的性质，通过判定，得到，四边形的面积=问题得解． (2)证 ，得到，通过对顶角相等和三角形内角和定理，证得，问题得以解决； (3)以为边的平行四边形有和，以为对角线的平行四边形有，根据图形分情况即可求解． 【详解】（1）如图，设分别交于M、N， 在正方形中，是等腰三角形，， ， 在正方形中， , , 又 ，即， ， 在和中 ， ， ， 四边形的面积=， 正方形的边长是4， 四边形的面积， 故答案为：4 （2）如图， ∵和是正方形， ∴ ∴ 在和中 ， ， ， ，， ， ， （3）如图，当四边形是平行四边形时， ，， 在中， ， 过点D作于，于N，则   ， ， ， 即点D到的距离为 ； 如图，当四边形是平行四边形时，， 在中， ， , 在中， ， , ，即D到的距离是 ； 当四边形是平行四边形时，如图，此时A与E重合，D与G重合，H与O重合， D到的距离即为的长， ； 综上所述，点D到的距离为：或 ． 【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转变换及点到直线距离定义等知识点的运用，全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．根据图形变换正确画出图形是解题的关键． 【变式5】如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 特殊平行四边形的折叠问题 【例1】如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好邻落在对角线上，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形性质和轴对称性质，先求出对角线的长度，再根据对称得到对应线段相等，结合勾股定理列方程求出、的长度，最后在中用勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接、， 四边形是矩形，，， ，，， ， 点关于的对称点为，点关于的对称点为， ，，，，， ，，， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， 在中， ． 【变式1】如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 【答案】/ 【分析】过点E作交于点G，先利用矩形的性质得出相关线段的长度，再由折叠的性质得到对应线段的长度，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求得的长，从而得到的长，设，则，利用勾股定理列出方程求得a的值，从而得出最终结果． 【详解】解：如图，过点E作交于点G， 在矩形中，，，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，,，，， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 在中，． 【变式2】如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 【答案】 【分析】根据题意求得，再根据矩形的性质结合勾股定理求得． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∵阴影部分的周长为 ， ∵图中阴影部分的周长为14，， ∴， ∴， 连接， ∵点是矩形的对称中心， ∴． 【变式3】如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处． (1)求证：； (2)若，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理． （1）由折叠的性质可得，由菱形的性质可得，推出，易证是等腰三角形，结合，得到，进而求出，即可证明结论； （2）由折叠的性质可得，，根据菱形的性质易证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵在菱形中，， ∴， ∵点恰好落在的延长线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得，， ∵在菱形中，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴菱形的边长为． 【变式4】如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵纸片沿、折叠，点、重合于点， ∴，， ∴，，，，， ∴，且、、三点共线． 设，则，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得． 在中，由勾股定理得． 过点作于点， ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得． ∴． 在中，由勾股定理得． 【变式5】综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理． （1）根据菱形的性质结合已知条件可得，根据折叠的性质得出，则，根据等角对等边，即可得证； （2）连接，证明是等边三角形，可得，根据菱形的性质可得，结合，即可证明，从而得证； （3）先求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解即可求解． 【详解】（1）解： 理由如下： 四边形 是菱形， ，， 由折叠得： ， ； （2）证明：如图，连接 四边形 是菱形 ， 是等边三角形 为的中点 于点 四边形是矩形； （3）解：∵为的中点，， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴，则 ∴ ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴，则 在中， 设，则， 又∵ ∴ 解得： ∴． 【变式6】【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1），证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； （3）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （4）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 【变式7】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法取一张矩形的纸进行折叠， (1)【探究发现】如图，具体操作过程如下： 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接，．观察所得到的，，，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (2)【类比应用】小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图，当点在上时，______，______； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，试判断的度数是否为定值，并说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的探究中，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)；证明见解析 (2)①，；②，的度数为定值，理由见解析 (3)或 【分析】（1）通过矩形折叠的性质，结合平行线性质与直角三角形斜边中线性质，证明三个角相等； （2）①在正方形折叠背景下，利用定理证明直角三角形全等，结合角度倍数关系求出指定角度,再通过勾股定理计算线段长度；②改变点位置后，结合折叠性质与全等三角形性质，根据角度的和差，求得的度数； （3）分点在点下方、上方两种情况，结合已知线段长度，利用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】（1）解：； 证明：如图，设与交于点， 由折叠可得：是的中点，，，， ∴是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同（1）可得：， ∴； ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：，即， 解得， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴， ∴， 故答案为：，； ②，的度数为定值，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为定值； （3）解：当点在点的下方时，如图， ∵，，， ∴，， 由（）可知，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， ∴； 当点在点的上方时，如图， ∵，，， ∴，， 由（）可知，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， ∴， 综上所述，或． 【点睛】掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，以及利用全等三角形和勾股定理解决线段与角度问题的方法是解题的关键． 特殊平行四边形的拼接问题 【例1】同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形直角三角板互不重叠，两个直角三角形斜边上的高都为 (1)①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边结果用h表示； ②求四边形的面积． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 【答案】(1)①角三角板直角边长为，角三角板直角边为和；②； (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系，根据平行四边形的性质来构造图形是本题解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系求解即可； ②根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形对边相等，邻角互补进行拼接即可． 【详解】（1）解：①作和的高，两个直角三角形斜边上的高都为，如图：则， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵，， ∴，则， ， 角三角板直角边长为，角三角板直角边为和； ②， ， 平行四边形为矩形， ，， ； （2）解：①顶角为时， ②顶角为时， 【变式1】数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的性质．根据题意求得，，再利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 故选：B． 【变式2】如图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，已知正方形、正方形和正方形中，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而证明，设，则，，分别表示出，，然后作比值求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ，四边形是正方形， ，四边形是矩形， ， 四边形，四边形，四边形都是正方形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ，， ， 又， ， ， ，， 四边形的面积 ， 正方形的面积为： ， ， 故答案为：． 【变式3】在七年级学习实数时，我们通过裁剪和拼接说明的存在，如图1所示． (1)将五个边长为1的正方形按图2所示的方式摆放成一个矩形，沿图2的虚线裁剪，并按图3进行拼接． ①在图2中，________； ②在图3中，求证：． (2)经历了以上活动，我们猜想：大小不同的两个正方形，也可以通过裁剪拼接成一个大正方形． 如图4，已知正方形和正方形，点在一条直线上，．请你设计一种裁剪拼接方案验证上述猜想． 要求： ①在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用含的式子表示）； ②在图4中画出裁剪线，标出各个裁剪后的图形序号（类似图2）； ③在图5的方框中画出拼接后的大正方形的示意图（标上各个图形的序号，类似图3）． 说明： ①裁剪前和裁剪后拼接地不重叠、无缝隙、无剩余； ②本题将综合考虑“裁剪次数”给分，裁剪次数最少的才能得满分． 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①由题意可得：，根据勾股定理即可求解； ②根据题意证明，得到，进一步得到，即可得出结论； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：， ∴， 故答案为：； ②， ． 又， ， ， ， ， ； （2）解：方法一，如图： 方法二，如图： 【变式4】【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” (1)求证：四边形为矩形； (2)试说明矩形的面积和正方形的面积相等； (3)【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； (4)如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据，证明，即可证明四边形为矩形； （2）先证明，继而得到，从而得到比例式 ，故，根据证明即可； （3）先证明，再证明，，然后根据角角边定理证明即可； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【详解】（1）证明： ，， ， ， 四边形为矩形． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）证明：四边形是正方形，四边形为矩形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ∵， ∴． （4）解：，， ， ， 拼出的矩形为“开心矩形”， 或， 当时， ， 解得， ； 当时， ， 解得， 此时斜边小于直角边，不成立，舍去； 故的长为． 【变式5】综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②见详解 (3)见详解 【分析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， 由题意得为中点，‘ ∴’， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴， ∴， 故答案为：1； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，     如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ∴， ∴， 由操作得，， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理三点共线， ∵， ∴四边形为矩形， 如图，连接， ∵为中点， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由操作得，，而， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形能放置左上方空出， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 【变式6】综合与实践——数学拼图活动 问题情境：图1是一张菱形纸片，其中，．点是对角线上的一点，且，剪去（阴影部分）得到如图2所示的不规则多边形纸片．    数学思考： （1）图1中线段的长为______； 实践操作： （2）在图2中，以连接某两个顶点的线段为裁剪线，使经过裁剪后的两部分纸片可拼接为图3所示的五边形．在图2画出裁剪线，在图3中画出拼接线．（要求：拼接时，两部分纸片无终隙、不重叠且没有剩余）； （3）图4是一个与图3全等的五边形．请你在图4中画一条裁剪线，使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后，可以拼得一个矩形．要求：只能用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，标明裁剪线，并直接写出所拼得的矩形的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）图见解析，周长为 【分析】（1）作于点H，由三线合一得，由勾股定理得，求出，即可求出的长； （2）根据图形的特征画出裁剪线和拼接线即可； （3）根据题意画出裁剪线，如图1，作于点G，求出，然后根据矩形的周长公式求解即可 【详解】解：如图，作于点H， ∵， ∴． ∵菱形纸片，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，为裁剪线， 如图，或为拼接线， 或 （3）如图， 如图1，作于点G， ∵菱形纸片，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 由作图可知，，，， ∴所拼得的矩形的周长． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，图形的拼接，矩形的性质等知识． 【变式7】问题：数学活动课上，老师出示了一个问题：将一个四边形沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形． 操作：如图1，已知平行四边形K．小明按以下操作得到了新四边形． （1）过点A作，垂足为； （2）直线把平行四边形分割成两部分，将沿平移得到． 证明：连接，，小明发现．请根据上述操作中得到的条件，证明小明发现的这个结论． 应用：如图2，已知矩形，．请拼接出一个菱形． （写出操作过程，画出裁切线和拼接后的四边形，并标注必要的字母） 【答案】证明：见解析；应用：见解析 【分析】问题：根据平移得到，，即可得到四边形是平行四边形，结合得到是矩形，即可得到答案； 应用：根据菱形是邻边相等的平行四边形以A为圆心为半径在上截取点，使得，将沿平移得到，进而即可得到答案． 【详解】问题：证明：∵由沿平移得到 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，                 图1 ∴， 应用：在上截取点，使得， 将沿平移得到， 四边形就是所要拼接的菱形． 画图如下：                  图2 【点睛】本题考查矩形的性质与判定及菱形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质． 特殊平行四边形背景下的尺规作图问题 【例1】如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）根据线段垂直平分线的性质得，设，则，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图； （2）连接，如图， 为的中垂线， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ， ， ． 【变式1】如图，在矩形中，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、交于点、，连接、．若，．则四边形的周长为（　　） A．5 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【分析】利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由作法得垂直平分， ，， 设，则，， 在中，， 解得， 即， 同理可求， 四边形的周长为． 【变式2】如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点K，作线段，并延长交于点F，即可； （2）连接，交于点M，作线段，并延长交于点G，即可． 【详解】（1）解：如图，高即为所求； 理由：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即是边上的高； （2）解：如图，高即为所求． 理由：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即是边上的高． 【变式3】如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由作法知，， 在矩形中，． 为中点． ． （2）． ． 在矩形中，． ． 【变式4】如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出点 C和点 A 的坐标，进而确定直线 的解析式；根据作图痕迹判断为 的角平分线；根据平移性质得出四边形是平行四边形，进而判断出，根据平移得出直线的解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 四边形 是正方形，点 B 坐标为 ， ∴，， 设直线 的解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴， 由平移得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知为 的角平分线， ∴， ∴， ∴， 由题意知，直线向下平移4个单位长度得到， ∴直线的解析式为， 设， 则， 解得， ∴点的坐标为． 【变式5】如图，在菱形的边上有一点（不与点，重合），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中的菱形的边上找一点，作线段，使． (2)在图②中的菱形的边上找点，，使，并作出等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接交于点，连接并延长，交于点即可； （2）结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接，相交于点，交于点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接，，即可． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所作． （2）解：如图②，即为所作． 【点睛】本题考查无刻度的直尺作图、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 79．如图，正方形的边长为4，点在边上，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)在图中作出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)当点，，三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）过点作的垂线，然后在垂线上截取； （2）过点作，交的延长线于点，根据正方形的性质得出，证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 特殊平行四边形背景下的最值问题 【例1】如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小，此时，再证明四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴点落在上， 则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 【变式1】已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式2】如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 【变式3】如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F，根据对称性可得，所以，再根据两点之间线段最短可得最小值为，然后过点E作的平行线，交的延长线于点I，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知点E，M，N，F共线时最小，所以最小，即． 过点E作的平行线，交的延长线于点I， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得， 所以最小值是． 【变式4】如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 【变式5】如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式6】如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【变式7】如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F，将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为______． 【答案】 【分析】在上截取，连接，过点作于点，易证明，得出，最短时，也就是最短，而当时，最短，进一步得出的最小值是，最后根据勾股定理计算出，的长，从而计算出的最小面积． 【详解】解：如图，在上截取，连接，过点作于点， 由折叠得：， 又， ， ， 最短时，也就是最短， 故当时，最短． 点O为矩形的对称中心， ， 即的最小值是． 矩形的对角线长度为，且点O为矩形的对称中心， ． 在中， ∵为定值，度数也不变，是定值， 当取最小值，即时，的面积最小． 点O为矩形的对称中心，， ． 在中，， 在中，， ， 面积的最小值是． 特殊平行四边形与一次函数的综合问题 【例1】如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点在直线上表示出点坐标及长，利用矩形性质和求出长，进而得到点的坐标，代入求解即可. 【详解】解：设点的坐标为（）， 点在直线上，且四边形为矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即， ， ， ， 点的横坐标为， 四边形是矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即 点在直线上 ， ， ， . 【变式1】已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【分析】（1）设直线l的解析式为，将点，代入求解即可得到答案；（2）根据解析式求出点D的坐标，再根据对称求出点B的坐标，再根据平移得到平行四边形，设出点E坐标，根据平移线段相等列式求解求出E点坐标，最后根据三角形面积即可求出答案；（3）设出点F的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分求出点G的坐标，最后根据矩形对角线相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，矩形的性质，平移的性质，中心对称的性质，解题的关键是根据平移、对称的性质及平行四边形对角线互相平分表示出点的坐标，分类讨论的思想． 【变式2】在平面直角坐标系中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．如图②，已知点A的坐标为． (1)若点B的坐标为，则点A，B的“相关矩形”的面积为 ； (2)若点C在y轴上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线的表达式； (3)若点D的坐标为，当直线与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，直接写出k的取值范围； (4)若点P在直线上，且点A，P的“相关矩形”为正方形，直接写出点P坐标． 【答案】(1)3 (2)或 (3)或 (4)或． 【分析】（1）根据“相关矩形”画出图象，求出矩形长、宽即可得面积； （2）根据已知画出图象，分别求出、坐标，即可求出直线解析式； （3）求出点、的“相关矩形”的另外两个顶点坐标为坐标为，再计算直线恰好经过、时的值，数形结合即可得出的范围； （4）设，根据点、的“相关矩形”为正方形列方程，求出即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：点、的“相关矩形”如图： ∵点的坐标为，点的坐标为， ， ∴点的“相关矩形”的面积为； （2）解：由题意可得如图所示： ∵点的坐标为， ， 若的“相关矩形”为正方形， ①当在上方时，， ， 设直线的解析式为， 则有：  ， 解得：， ∴直线的解析式为， ②当在下方，即位置时，， ， 同理可得此时解析式为， 综上所述：直线的表达式为或； （3）解：如图： ∵点的坐标为的坐标为， ∴点、的“相关矩形”的顶点坐标为坐标为， ①若直线恰好经过，此时， 解得：， 而直线与点、的“相关矩形”没有公共点，则， ②若直线恰好经过，此时， 解得：， 而直线与点、的“相关矩形”没有公共点，则， 综上所述：直线与点、的“相关矩形”没有公共点，则或； （4）解：点在直线上， 设， 如图： ∵点、的“相关矩形”为正方形， ， 即或， 解得：或， 或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、一次函数解析式求解，矩形和正方形的性质，解题的关键是读懂“相关矩形”的概念，根据题意画出图形． 【变式3】如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 【答案】2 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 则平移后点， ， 解得． 【变式4】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1)①；②直线表达式为 (2)当的值为或时，的面积为 【分析】（1）由勾股定理得出的长度，即为菱形的边长，可得点坐标，结合点、的坐标，采用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先根据菱形的性质，证明，即，，由（1）中所求直线表达式得出点的坐标，对点位置进行分类讨论，分别由面积公式或求解出的值即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 令直线表达式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线表达式为． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，， 对于直线． 当时，， ∴， 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 综上，当的值为或时，的面积为． 【变式5】在平面直角坐标系中，如果一个点运动所形成的图象是一条直线，那么这条直线叫做这个点的“踪线”．特别的，当形成的图象是线段时，我们把这条线段的长叫做这个点的“踪线长”．例如：点的踪线为直线，直线是点的踪线，点的踪线为直线． (1)试判断点的踪线是否为，并说明理由； (2)若点，求O到点B踪线的距离； (3)如图，正方形的边长为4，点M从点O出发向点C运动，同时点N从点C出发向点D运动，在整个运动过程中，始终保持，连接，设的中点为G，求点G的踪线长． 【答案】(1)是；理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）令，，得，即得点的踪线为； （2）令，，得，得点的踪线为，与坐标轴的交点为，，作，根据，由的面积公式可得点O到点B踪线的距离是． （3）设，，得，，得中点G为，得 踪线为，得点G的踪线两端点的坐标为和，得点G的踪线长为． 【详解】（1）解：点的踪线是， 理由如下： 令，， 则， 即， 点的踪线为； （2）解：令，， 则， 即， 点的踪线为， 则点O到点B踪线的距离即为点O到直线的距离， 如图，直线与坐标轴的交点为， 作， ， 由的面积公式可知：， ， 点O到点B踪线的距离是． （3）解：设， 则，，， 中点G为， 令，， ， 即点G的踪线为； 当时，，时， 点G的踪线两端点的坐标为和， ∴， 点G的踪线长为． 【点睛】本题考查了新定义——点的踪线．点的踪线长，熟练掌握新定义，求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，面积法求三角形的高，正方形性质，勾股定理，是解题的关键． 【变式6】如图，已知矩形的顶点A，C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段，的长度满足等式，直线分别与x轴，y轴交于M，两点，将沿直线折叠，C恰好落在直线上的点D处． (1)求点B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)将直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线扫过矩形的面积S关于运动的时间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标； （2）利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）设直线平移后交y轴于点，交于点，当点在x轴上方时，可知S即为的面积，当在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由，可分别得到S与t的函数关系式． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：把、的坐标代入可得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：设直线平移后交y轴于点，交于点， 当点在x轴上方，即时，如图1， 由题意可知四边形为平行四边形，且， ∴； 当点在y轴负半轴上，即时，设直线交x轴于点G，如图2， ∵， ∴可设直线解析式为， 令，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上可知S与t的函数关系式为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及非负数的性质、待定系数法、矩形的性质、折叠的性质、平移的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）学会利用待定系数法确定函数关系式是解题的关键，在（3）中确定出扫过的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 【变式7】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线上，使，求点的坐标; (3)点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或． (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）过点作轴交于点，设，则，根据建立方程求解即可得出答案； （3）设，，分四种情况：当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，可证，可得，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，再建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于，可证得，得出，，再建立方程组求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得： ，解得：， 直线的解析式为． （2）解：如图，过点作轴交于点，连接，设，则， ∵与轴交于点， 当时，，则， 又∵， ∴， ， ∴在点的上方， ∴， ， ，解得：或， 当时，； 当时， 点的坐标为或． （3）解：设，， 当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，， 则，，，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得： 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于， 则，，，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数解析式、三角形面积、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． 试卷第152页，共153页 份有限公1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $