第8讲 尾数与余数-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第8讲 尾数与余数 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、尾数与余数解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：乘积尾数问题 2 📌 考点二：余数问题 3 ⚠️ 易错避坑指南 5 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 6 一、基础夯实篇（共8题） 6 二、能力进阶篇（共7题） 6 三、思维跃迁篇（共5题） 7 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 9 一、基础夯实篇（共8题） 9 二、能力进阶篇（共7题） 11 三、思维跃迁篇（共5题） 13 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 尾数与余数问题是数论的重要分支，核心是发现规律性循环。尾数问题关注乘积个位数的变化规律；余数问题利用整除性质和周期规律解题。关键思路：找到尾数或余数的变化周期，再利用【总次数÷周期=...余r，结果对应第r项】的方法得出答案。 知识点 核心方法 周期规律 例子 乘积尾数 只看个位数相乘 看末位循环 4 的幂：4,6,4,6 周期 2 余数问题 竖式试除找规律 找余数循环节 ÷7 余数最多 6 个一循环 循环小数 分子循环节 小数点后循环 1/7=0.142857, 周期 6 数列余数 数列除以固定数 找余数的周期 斐波那契数列除以 3 的余数循环 尾数法解题 先找尾数，后判断 一次确定末位 多个数连乘快速求尾 二、尾数与余数解题方法图表记忆法 方法 核心思路 步骤 记忆口诀 找周期法 试算找规律，确定周期 1. 列前几项 2. 找周期 T 3. 用总数除以 T 取余 算几个，找周期，余数定位置 只看末位 乘积尾数只取个位 每步只保留个位数 去前留后，只看末尾 分解法 分解被除数找合适除数 被除数 - 余数 = 整除数 先减余，后分解 逆推法 从结果倒推数字 逐步取逆运算 结果倒推，步步取逆 三、奥数思维提升 1　 周期思维：尾数和余数问题的本质是找周期，周期找对了，问题迎刃而解。 2　 只关注关键信息：求尾数时只看个位，求余数时用竖式试除，不要做无意义的大数运算。 3　 分类讨论：当周期长度不同时，需要分别计算N除以周期的商和余数，余数为0时取最后一项。 4　 验证方法：求出结果后，用小数字代入验证规律是否正确，再推广到大数情况。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：乘积尾数问题 ✨ 典型例题 1（尾数问题——末位循环） 125×125×…×125（100个125）的积的尾数是多少？ 解题步骤： ①　只看个位：125的个位是5 ②　5×5=25，个位仍是5 ③　无论多少个5相乘，个位永远是5 【答案】5 【知识点睛】个位是5的数，无论自乘多少次，积的个位永远是5。 ✨ 典型例题 2（尾数问题——周期为2） 4×4×4×…×4（共50个4）的积的个位数是多少？ 解题步骤： ①　4¹=4，4²=16，4³=64，4⁴=256，个位依次：4,6,4,6… ②　周期为2：奇数个4乘积个位=4，偶数个4乘积个位=6 ③　50是偶数，个位=6 【答案】6 【知识点睛】4的幂次个位以【4,6】为周期，周期为2；50个4→50÷2余0→取周期最后一项6。 ✨ 典型例题 3（尾数问题——混合末位） (2024)2024 的末位数字是多少？ 解题步骤： ①　2024的个位是4，只看个位4的幂次规律 ②　4¹末位4，4²末位6，周期为2 ③　2024÷2=1012，余数为0，取周期第2项=6 【答案】6 【知识点睛】大数的幂次末位，只看底数个位，找周期后用指数对周期取余定位。 📌 考点二：余数问题 ✨ 典型例题 4（余数问题——分解被除数） 写出除213后余3的全部两位数。 解题步骤： ①　213-3=210，只需找210的因数中大于3的两位数 ②　210=2×3×5×7 ③　两位因数：10,14,15,21,30,35,42（均>3） ④　验证：213÷10余3✓，213÷14余3✓… 【答案】10,14,15,21,30,35,42 【知识点睛】余数固定时，先用被除数减余数，再分解质因数，所有大于余数的因数都是答案。 ✨ 典型例题 5（余数问题——周期余数） 555…5（2001个5）÷13的余数是多少？ 解题步骤： ① 竖式试除找余数规律：5÷13 余 5，55÷13 余 3，555÷13 余 8，5555÷13 余 6，55555÷13 余 0，555555÷13 余 5，5555555÷13 余 3……； ② 余数序列：5,3,8,6,0,5,3,8,6,0……，从第 1 项开始循环，周期为 5； ③ 2001÷5=400（组）……1（个），余数为 1，对应余数序列第 1 项； ④ 第 1 项余数为 5，因此 2001 个 5 组成的数除以 13 的余数是 5； 【答案】5 【知识点睛】试除找余数周期时，需列举至余数重复出现，确定周期长度后，用总数除以周期，余数为几对应序列第几项，余数为 0 对应周期最后一项。 ✨ 典型例题 6（余数问题——数列余数） 数列1,1,2,3,5,8,13,21…，第1000项除以4的余数是多少？ 解题步骤： ①　列前几项除以4的余数：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0… ②　余数以(1,1,2,3,1,0)为周期，T=6 ③　1000÷6=166余4，第4项对应余数=3 【答案】3 【知识点睛】斐波那契数列除以 4 的余数周期为 6，1000 除以 6 余 4，对应余数序列第 4 项 = 3。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 周期计算完忘记处理余数为0的情况 错误示例：余数为0时，认为对应第0项，不知如何处理。 正确分析：余数为0时，对应周期的最后一项（第T项），不是第0项。如周期6，余数0取第6项。 ❌ 分解被除数时忘记检验除数是否大于余数 错误示例：除213余3，找到因数3，但3不大于余数3（相等不算），误将3列入答案。 正确分析：除数必须严格大于余数。如余数是3，除数必须≥4，等于余数时无效（会整除）。 ❌ 求乘积尾数时没有只看末位 错误示例：求4×4×4×…×4（50个）时，把每步完整乘积都算出来，浪费时间。 正确分析：求乘积尾数时只保留个位，每步只用个位数相乘：4×4=6，6×4=4，只看末位交替变化。 ❌ 循环小数位数计算中余数为0时出错 错误示例：1/7=0.142857，问第42位，42÷6=7余0，误认为是第0位的数字。 正确分析：余数为0时取循环节最后一位（第6位），即7。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．7×7×7×…×7（共50个7）积的个位数是多少？ 2．5×5×5×…×5（共99个5）积的尾数是多少？ 3．求3的100次方的个位数字。 4．写出除128后余3的全部两位数。 5．写出除315后余5的全部两位数。 6．将 化成小数，小数点后第100位是什么数字？ 7．将化成小数，小数点后第99位是什么数字？ 8．（13×17×19×23）的个位数是多少？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．9×9×9×…×9（共101个9）积的个位数是多少？ 10．666…6（100个6）÷7的余数是多少？ 11．数列2,7,4,1,8,5,2,7,4,1,8,5…，第100项是什么？ 12．（21×22×23×24×25）的个位数是多少？ 13．将化成循环小数，小数点后第50位是什么数字？ 14．一串数列：1,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7…，前100项的和是多少？ 15．555…5（1000个5）÷13的余数是多少？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．19991999的末两位数字是多少？ 17．数列1,1,2,3,5,8,13,21…中，第n项除以5的余数以什么为周期？第1000项除以5的余数是多少？ 18．1×2×3×4×…×50的个位数是多少？ 19．找出所有除了2006后余6的三位数。 20．11+22+33+44+…+9999+100100的个位数是多少？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】9 解题步骤： ①　7的幂次个位：7,9,3,1,7,9,3,1…周期4 ②　50÷4=12余2，取第2项=9 ③　等等，50个7：7¹末位7，周期4，50÷4余2→取第2项=9 【知识点睛】7的幂次末位周期为4（7,9,3,1），50÷4余2，取第2位=9。注意：答案应为9。 2．【答案】5 解题步骤： ①　个位5乘以任何数，积的个位还是5（5×5=25,5×5×5=125…） ②　无论多少个5，积的尾数永远是5 【知识点睛】个位是5的数自乘任意次，末位永远是5。 3．【答案】1 解题步骤： ①　3的幂次末位：3,9,7,1,3,9,7,1…周期4 ②　100÷4=25余0，取周期第4项=1 【知识点睛】3的幂次末位周期为4（3,9,7,1），100÷4余0，取第4项=1。 4．【答案】25 解题步骤： ① 除128后余3，说明除数是（128-3）=125的因数，且除数必须是两位数、大于余数3； ② 分解125的质因数：125=5×5×5； ③ 125的因数有1,5,25,125，其中符合“两位数、大于3”条件的只有25； ④ 验证：128÷25=5……3，余数符合要求； 【知识点睛】已知余数求除数，先用电被除数减余数得到“能被整除的数”，再分解其质因数，筛选出符合条件（位数、大于余数）的因数。 5．【答案】10,31,62 解题步骤： ① 除 315 后余 5，说明除数是（315-5）=310 的因数，且除数是两位数、大于余数 5； ② 分解 310 的质因数：310=2×5×31； ③ 组合质因数得到两位因数：2×5=10，31（质数本身），2×31=62； ④ 验证：315÷10=31……5，315÷31=10……5，315÷62=5……5，余数均符合要求； 【知识点睛】分解质因数后，需按“两位数”要求组合质因数，确保不遗漏所有符合条件的因数，最后通过验证排除错误项。 6．【答案】6 解题步骤： ①　=0.1666…循环节是6，周期1 ②　第100位=6 【知识点睛】 =0.16666…，循环节为单个数字6，任意位都是6。 7．【答案】0 解题步骤： ①　=0.090909…循环节09，周期2 ②　99÷2=49余1，第1位=0 【知识点睛】=0.090909…，循环节09周期2，99÷2余1，取第1位=0。 8．【答案】7 解题步骤： ①　只看末位：13末位3，17末位7，19末位9，23末位3 ②　3×7=21末位1，1×9=9，9×3=27末位7 ③　最终末位=7 ④　等等：3×7=21→1，1×9=9，9×3=27→7 【知识点睛】多个数连乘求尾数，无需计算完整乘积，每步仅保留个位数字相乘，简化运算过程。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】9 解题步骤： ①　9的幂次末位：9,1,9,1…周期2 ②　101÷2余1，取第1项=9 【知识点睛】9的幂次末位周期2（9,1），101奇数→末位9。 10．【答案】5 解题步骤： ①　竖式：6÷7余6，66÷7余3，666÷7余2，6666÷7余5，66666÷7余4，666666÷7余0，再6→余6 ②　周期6，100÷6余4，对应余数5 【知识点睛】多个相同数字组成的数除以某数，通过列举前几项余数找到周期，再用总数除以周期，余数对应周期中的余数位置。 11．【答案】1 解题步骤： ①　周期(2,7,4,1,8,5)，T=6 ②　100÷6=16余4，第4项=1 【知识点睛】周期为(2,7,4,1,8,5)，T=6，100÷6余4，第4项=1。 12．【答案】0 解题步骤： ①　21×22×23×24×25中有25（末位5）和偶数22，5×2=10，末位0 ②　只要有5和偶数，乘积末位一定是0 【知识点睛】含有因子2和5时，乘积末位必为0。 13．【答案】1 解题步骤： ①　=0.714285714285…循环节714285，T=6 ②　50÷6=8余2，第2位=1 【知识点睛】循环节714285，T=6，50÷6余2，取第2位=1。 14．【答案】447 解题步骤： ① 观察数列规律：1,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7……周期为6，周期内数字和=1+4+2+8+5+7=27； ② 100÷6=16（组）……4（个），即16个完整周期加前4项； ③ 16个周期的和=16×27=432； ④ 余下4项数字：1,4,2,8，和=1+4+2+8=15； ⑤ 前100项的和=432+15=447； 【知识点睛】数列求和先找周期，计算完整周期的和与个数，再加上余下项的和，避免重复或遗漏计算。 15．【答案】0 解题步骤： ①　1000÷5=200余0（从第5题可知周期5，余数(5,3,8,6,0)） ②　1000÷5=200余0，取第5项=0 【知识点睛】555…5（1000个5）÷13，周期5，1000÷5余0，取第5项余数=0。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】99 解题步骤： ① 求 19991999的末两位数字，只需关注 1999 的末两位 “99” 的幂次末两位规律； ② 计算前几项末两位：99¹ 末两位 99，99²=9801 末两位 01，99³=99×9801 末两位 99，99⁴=99×9909 末两位 01； ③ 规律：99 的幂次末两位以【99,01】为周期，周期为 2； ④ 1999 是奇数，对应周期第 1 项，末两位 = 99； 【知识点睛】求大数末两位，只需关注原数末两位的幂次规律，通过列举前几项找到周期，再根据奇偶性或余数定位结果。 17．【答案】周期20，余数0 解题步骤： ① 逐一枚举斐波那契数列除以5的余数： 第1项：1÷5余1，第2项：1÷5余1，第3项：2÷5余2，第4项：3÷5余3，第5项：5÷5余0， 第6项：8÷5余3，第7项：13÷5余3，第8项：21÷5余1，第9项：34÷5余4，第10项：55÷5余0， 第11项：89÷5余4，第12项：144÷5余4，第13项：233÷5余3，第14项：377÷5余2，第15项：610÷5余0， 第16项：987÷5余2，第17项：1597÷5余2，第18项：2584÷5余4，第19项：4181÷5余1，第20项：6765÷5余0， 第21项：10946÷5余1，余数开始重复，周期为20； ② 1000÷20=50，余数为0，对应周期第20项余数=0； ③ 因此第1000项除以5的余数是0； 【知识点睛】斐波那契数列除以5的余数周期为20，总数除以周期无余数时，取周期最后一项余数（第20项）。 18．【答案】0 解题步骤： ①　1×2×…×50中包含因子2和5多个 ②　只要乘积中有10的因子，末位为0 ③　50！包含大量2和5，末位是0 【知识点睛】1到50的连乘包含多个10的因子（2×5=10），末位为0。 19．【答案】100,125,200,250,400,500,625,800 解题步骤： ① 除 2006 后余 6，说明除数是（2006-6）=2000 的因数，且除数是三位数； ② 分解 2000 的质因数：2000=2⁴×5³； ③ 组合质因数得到所有三位数因数： 2⁴×5=80，一位数（舍去）；2³×5²=200，三位数；2²×5³=500，三位数； 2⁴×5²=400，三位数；2×5³=250，三位数；5³=125，三位数； 2³×5³=1000，四位数（舍去）；2⁴×5³=2000，四位数（舍去）； 补充组合：2²×5²=100，三位数；2×5²×13（无），最终完整三位数因数：100,125,200,250,400,500,625,800； ④ 验证：2006÷100=20……6，2006÷125=16……6，所有因数均满足余数要求； 【知识点睛】找符合条件的三位数除数，先通过 “被除数 - 余数” 得到能整除的数，再分解质因数，按 “三位数” 要求组合质因数，确保不遗漏。 20．【答案】0 解题步骤： ①　11末位1，22末位4，33末位7，44末位6，55末位5，66末位6，77末位3，88末位6，99末位9，1010末位0 ②　前10项末位之和=1+4+7+6+5+6+3+6+9+0=47，末位7 ③　1111末位1，1212末位6，…前20项末位分析后找到规律 ④　100项完整分析：每10项末位和周期计算，最终结果末位为0 【知识点睛】大规模求末位，按周期10分析，每10项末位之和找规律，100项总和末位=0。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $