第7讲 复合应用题-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第7讲 复合应用题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、复合应用题解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：和差问题综合运用 2 📌 考点二：多步复合应用题 3 📌 考点三：逆向推导 4 ⚠️ 易错避坑指南 6 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 7 一、基础夯实篇（共8题） 7 二、能力进阶篇（共7题） 7 三、思维跃迁篇（共5题） 8 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 10 一、基础夯实篇（共8题） 10 二、能力进阶篇（共7题） 12 三、思维跃迁篇（共5题） 15 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 复合应用题是由两个或两个以上简单应用题组合而成的题型，解题的核心是【理清数量关系，分步解题】。要从题目中找出已知量与未知量之间的关系，有时需要先求中间量，逐步推导出最终答案。复合应用题通常涉及和差、倍数、分率等多种关系的综合运用。 题型类型 核心关系 关键公式 解题策略 和差问题 已知和与差求两数 大数=(和+差)/2 画线段图辅助 和倍问题 已知和与倍数关系 小数=和/(倍数+1) 倍数关系转化 差倍问题 已知差与倍数关系 小数=差/(倍数-1) 差量分析 分率综合 分率+实际数量混合 单位量=总量×分率 找单位1 多步推导 需先求中间量 中间量=...，再求目标 逐步分析 二、复合应用题解题方法图表记忆法 解题方法 适用题型 核心步骤 注意事项 线段图法 和差倍综合题 画图→标数量→列算式 线段长度要与数量成比例 方程法 关系复杂、设未知数 设x→列方程→解方程 检验代入原题验证 逆向推导 已知结果求初始量 从结果反推中间量 注意运算逆向 枚举法 数量少、条件多 列出所有可能，逐一验证 避免遗漏 三、奥数思维提升 1． 分步思维：复合题的本质是多步简单题的叠加，每步找清楚已知和未知，不要急于求最终答案。 2． 画图辅助：遇到数量关系不清晰时，线段图是最直观的辅助工具，能帮助找到数量关系。 3． 验证意识：求出结果后，代入题目所有条件逐一验证，确保答案完全正确。 4． 整体思维：有时不能直接求某个量，可以先求相关量的和或差，再利用整体关系求出目标量。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：和差问题综合运用 ✨ 典型例题 1（和差问题——基本和差） 甲、乙两数的和是120，甲比乙多24，甲、乙各是多少？ 解题步骤： ①　大数（甲）= （和 + 差）÷ 2 = （120 + 24）÷ 2 = 72 ②　小数（乙）= （和 - 差）÷ 2 = （120 - 24）÷ 2 = 48 ③　验证：72 + 48 = 120 ✓，72 - 48 = 24 ✓ 【答案】甲=72，乙=48 【知识点睛】和差问题核心公式：大数=(和+差)/2，小数=(和-差)/2。 ✨ 典型例题 2（和倍问题——基本和倍） 两数之和为56，大数是小数的3倍，两数各是多少？ 解题步骤： ①　把小数看作1份，大数是3份，共1+3=4份 ②　小数 = 56 ÷ 4 = 14 ③　大数 = 14 × 3 = 42 ④　验证：14 + 42 = 56 ✓，42 = 14×3 ✓ 【答案】小数=14，大数=42 【知识点睛】和倍问题：小数=和÷(倍数+1)，大数=小数×倍数。 ✨ 典型例题 3（差倍问题——基本差倍） 两数之差为30，大数是小数的4倍，两数各是多少？ 解题步骤： ①　把小数看作1份，大数是4份，差为3份 ②　小数 = 30 ÷ (4-1) = 30 ÷ 3 = 10 ③　大数 = 10 × 4 = 40 ④　验证：40 - 10 = 30 ✓，40 = 10×4 ✓ 【答案】小数=10，大数=40 【知识点睛】差倍问题：小数=差÷(倍数-1)，大数=小数×倍数。 📌 考点二：多步复合应用题 ✨ 典型例题 4（多步推导——中间量过渡） 学校图书馆有故事书240本，科技书比故事书少60本，连环画比科技书多的数等于故事书的1/4，连环画有多少本？ 解题步骤： ①　第一步：求科技书数量 = 240 - 60 = 180（本） ②　第二步：求【故事书的1/4】= 240 × 1/4 = 60（本） ③　第三步：连环画 = 科技书 + 60 = 180 + 60 = 240（本） 【答案】240本 【知识点睛】多步推导：每步只解决一个小问题，前一步的结果是下一步的已知条件。 ✨ 典型例题 5（综合复合——混合条件） 某工厂三个车间共有工人 490 人，一车间人数是二车间的 2 倍，三车间比二车间多 30 人，三个车间各有多少人？ 解题步骤： 　① 设二车间有x人，则一车间 =2x人，三车间 =x+30人； ② 列方程：2x+x+(x+30)=490； ③ 化简求解：4x+30=490→4x=460→x=115； ④ 计算各车间人数：一车间 =2×115=230人，二车间 = 115 人，三车间 =115+30=145人； ⑤ 验证：230+115+145=490（总人数符合）✓ 【答案】一车间 230 人，二车间 115 人，三车间 145 人 【知识点睛】多个车间分配问题：设最小关联量为x，用其他量关于x表示，列等式求解。 📌 考点三：逆向推导 ✨ 典型例题 6（逆向推导——从结果反推初始量） 小明把一个数先乘以3，再加上18，再除以2，最后减去15，得到结果是6。这个数是多少？ 解题步骤： ①　从结果逆推：6 + 15 = 21 ②　21 × 2 = 42 ③　42 - 18 = 24 ④　24 ÷ 3 = 8 ⑤　这个数是8 【答案】8 【知识点睛】逆向推导：将所有运算全部取逆（加变减、乘变除），从结果一步步推回初始值。 ✨ 典型例题 7（分率复合——分率+实际数） 一批货物，第一天运走总量的1/3，第二天运走剩余的1/4，还剩120吨，这批货物共有多少吨？ 解题步骤： ①　第一天运走后剩余：1 - 1/3 = 2/3 ②　第二天运走剩余的1/4后，还剩：2/3 × (1 - 1/4) = 2/3 × 3/4 = 1/2 ③　总量的1/2 = 120吨 ④　总量 = 120 ÷ (1/2) = 240（吨） 【答案】240吨 【知识点睛】分率复合题：找到最终剩余量对应总量的分率，用实际量除以该分率求总量。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 和差问题加减方向搞错 错误示例：甲比乙多24，求甲时用(120-24)/2=48，结果把大数求成了小数。 正确分析：大数=(和+差)/2，求大数要【加】差再除以2；小数=(和-差)/2，求小数要【减】差再除以2。 ❌ 和倍问题中份数计算错误 错误示例：大数是小数的3倍，认为共3份，用56÷3求小数。 正确分析：大数是小数的3倍，加上小数本身，共1+3=4份，小数=56÷4=14，不是÷3。 ❌ 逆向推导时忘记逆运算顺序 错误示例：原题顺序：乘3→加18→除2→减15，逆推时还按原顺序做逆运算。 正确分析：逆推时要【反序】：先对减15取逆（+15），再对除2取逆（×2），再对加18取逆（-18），最后对乘3取逆（÷3）。 ❌ 多步题中间量计算后忘记代入下一步 错误示例：求出科技书180本后，直接用180当作最终答案，忘记还要求连环画。 正确分析：复合题每求出一个中间量，要回到题目确认：这是最终答案还是中间量？中间量要继续计算。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．甲、乙两数的和是84，甲比乙少12，甲、乙各是多少？ 2．两数之和为90，大数是小数的2倍，两数各是多少？ 3．两数之差为20，大数是小数的3倍，两数各是多少？ 4．三年级有学生180人，比二年级多40人，二年级有多少人？ 5．学校买了语文书和数学书共210本，语文书是数学书的2倍，两种书各买了多少本？ 6．甲、乙两桶油共重80千克，甲桶比乙桶重8千克，两桶各重多少千克？ 7．小红把一个数乘以4后再减去12，得到36，这个数是多少？ 8．某班男生比女生多6人，男女生共54人，男女生各有多少人？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．三个数之和为 126，第二个数是第一个数的 2 倍，第三个数是第二个数的 3 倍，三个数各是多少？ 10．果园里有苹果树、梨树和桃树共300棵，苹果树比梨树多20棵，桃树是苹果树的2倍，三种树各有多少棵？ 11．小明的储蓄罐里有零钱若干，取出1/3后，又存入15元，再取出剩余的1/2，最后还剩30元，原来有多少元？ 12．两数之积是504，两数之和是45，求这两个数。 13．某工厂生产一批零件，第一天完成总数的1/4，第二天完成剩余的1/3，还剩60个，这批零件共有多少个？ 14．甲、乙、丙三人共有钱 250 元，甲比乙多 30 元，丙是乙的 2 倍，三人各有多少元？ 15．用一根绳子围成一个长方形，长比宽多8厘米，面积是105平方厘米，长和宽各是多少？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．将 98 分成三份：第二份是第一份的 3 倍少 2，第三份比第二份多 4，三份各是多少？ 17．有A、B两堆苹果，A堆苹果数的1/3等于B堆苹果数的1/4，A堆比B堆少12个，两堆各有多少？ 18．小丽看一本书，第一天看了总页数的1/4加10页，第二天看了剩余页数的1/3减5页，还剩60页，这本书共有多少页？ 19．甲、乙、丙三人的钱数之比为3:4:5，若甲给乙12元后，乙的钱是甲的2倍，三人原来各有多少元？ 20．一列数：1、1、2、3、5、8、13……（从第三项起，每项等于前两项之和），问第 15 项是多少？前 10 项的和是多少？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】甲=36，乙=48 解题步骤： ①　甲=（84-12）÷2=72÷2=36 ②　乙=（84+12）÷2=96÷2=48 ③　验证：36+48=84 ✓，48-36=12 ✓ 【知识点睛】乙比甲多，用和差公式：大数乙=(84+12)/2=48，小数甲=(84-12)/2=36。 2．【答案】小数=30，大数=60 解题步骤： ①　小数 = 90 ÷ (2+1) = 90 ÷ 3 = 30 ②　大数 = 30 × 2 = 60 ③　验证：30+60=90 ✓ 【知识点睛】和倍：小数=和÷(倍数+1)=90÷3=30。 3．【答案】小数=10，大数=30 解题步骤： ①　小数 = 20 ÷ (3-1) = 20 ÷ 2 = 10 ②　大数 = 10 × 3 = 30 ③　验证：30-10=20 ✓ 【知识点睛】差倍：小数=差÷(倍数-1)=20÷2=10。 4．【答案】二年级140人 解题步骤： ①　二年级 = 180 - 40 = 140（人） 【知识点睛】直接减法：三年级比二年级多40人，二年级=三年级-40=140。 5．【答案】语文书140本，数学书70本 解题步骤： ①　数学书 = 210 ÷ (2+1) = 70（本） ②　语文书 = 70 × 2 = 140（本） ③　验证：70+140=210 ✓ 【知识点睛】和倍：数学书=210÷3=70，语文书=70×2=140。 6．【答案】甲=44千克，乙=36千克 解题步骤： ①　甲 = (80+8)÷2 = 44（千克） ②　乙 = (80-8)÷2 = 36（千克） 【知识点睛】和差公式：甲=(80+8)/2=44，乙=(80-8)/2=36。 7．【答案】这个数是12 解题步骤： ①　逆推：36 + 12 = 48 ②　48 ÷ 4 = 12 【知识点睛】逆向推导：先对减12取逆（+12），再对乘4取逆（÷4），得12。 8．【答案】男生30人，女生24人 解题步骤： ①　男生 = (54+6)÷2 = 30（人） ②　女生 = (54-6)÷2 = 24（人） 【知识点睛】和差公式：男生=(54+6)/2=30，女生=(54-6)/2=24。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】第一个数 14，第二个数 28，第三个数 84 解题步骤： ① 设第一个数为x，则第二个数 =2x，第三个数 =3×2x=6x； ② 列方程：x+2x+6x=126； ③ 化简求解：9x=126→x=14； ④ 计算三个数：第二个数 =2×14=28，第三个数 =6×14=84； ⑤ 验证：14+28+84=126（总和符合），28=14×2（倍数关系符合），84=28×3（倍数关系符合）✓ 【知识点睛】设最小关联量为x，用倍数关系表达其他量，列和方程求解。 10．【答案】苹果树80棵，梨树60棵，桃树160棵 解题步骤： ①　设梨树x棵，苹果树=x+20，桃树=2(x+20) ②　x+(x+20)+2(x+20)=300，x+x+20+2x+40=300，4x+60=300，4x=240，x=60 ③　梨树=60，苹果树=80，桃树=160，验证：60+80+160=300 ✓ 【知识点睛】设最小关联量（梨树）为x，用x表示苹果树和桃树的数量，列和方程求解后，需将结果代回所有条件验证，确保符合题干中 “苹果树比梨树多 20 棵”“桃树是苹果树的 2 倍” 等所有条件。。 11．【答案】原来有90元（示例解法） 解题步骤： ①　逆推：剩30元，是取出前的1/2，取出前=30×2=60元 ②　存入15元前=60-15=45元 ③　45元是取出1/3后的量（剩2/3），取出前=45÷(2/3)=67.5元 ④　逆向推导每步取逆运算，且要反序执行（最后一步最先取逆） 【知识点睛】逆向推导：从最终结果逐步取逆运算，注意反序执行（最后操作最先取逆）。 12．【答案】两数为24和21（乘积504，和45） 解题步骤： ①　先列举和为 45 的数对，再验证乘积是否为 504：44 和 1（44）、43 和 2（86）、42 和 3（126）、41 和 4（164）、40 和 5（200）、39 和 6（234）、38 和 7（266）、37 和 8（296）、36 和 9（324）、35 和 10（350）、34 和 11（374）、33 和 12（396）、32 和 13（416）、31 和 14（434）、30 和 15（450）、29 和 16（464）、28 和 17（476）、27 和 18（486）、26 和 19（494）、25 和 20（500）、24 和 21（504） ②　 验证：24+21=45，24×21=504 ✓ 【知识点睛】和与积已知时，用枚举法列举和为指定数的数对，逐一验证乘积，适合小学阶段解题。 13．【答案】共120个 解题步骤： ①　第一天后剩余：1-1/4=3/4 ②　第二天后剩余：3/4×(1-1/3)=3/4×2/3=1/2 ③　总量×1/2=60，总量=120（个） 【知识点睛】分步求剩余分率，最终剩余量对应分率=1/2，总量=60÷(1/2)=120。 14．【答案】甲 85 元，乙 55 元，丙 110 元 解题步骤： ① 设乙有x元，则甲 =x+30元，丙 =2x元； ② 列方程：(x+30)+x+2x=250； ③ 化简求解：4x+30=250→4x=220→x=55； ④ 计算三人钱数：甲 =55+30=85元，丙 =2×55=110元； ⑤ 验证：85+55+110=250（总钱数符合），85-55=30（数量差符合），110=55×2（倍数关系符合）✓ 【知识点睛】设乙为x，用关系式表达甲和丙，列方程求解。 15．【答案】长15厘米，宽7厘米 解题步骤： ①　已知长 = 宽 + 8，面积 = 长 × 宽 = 105，枚举宽的正整数取值： 宽 = 5 厘米→长 = 13 厘米→面积 = 5×13=65 平方厘米（不符合） 宽 = 6 厘米→长 = 14 厘米→面积 = 6×14=84 平方厘米（不符合） 宽 = 7 厘米→长 = 15 厘米→面积 = 7×15=105 平方厘米（符合） ② 验证：15-7=8（满足长比宽多 8 厘米），7×15=105（满足面积要求）✓ 【知识点睛】解决长方形面积与边长关系问题，优先用枚举法试算正整数解。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】第一份 14，第二份 40，第三份 44 解题步骤： ① 设第一份为x，则第二份 =3x−2，第三份 =(3x−2)+4=3x+2； ② 列方程：x+(3x−2)+(3x+2)=98； ③ 化简求解：7x=98→x=14； ④ 计算三份数量：第二份 =3×14−2=40，第三份 =3×14+2=44； ⑤ 验证：14+40+44=98（总和符合），40=14×3-2（第二份条件符合），44=40+4（第三份条件符合）✓ 【知识点睛】分析各份关系，设第一份为x，依题意表达第二、三份，列方程100=x+...求解。 17．【答案】A 堆 36 个，B 堆 48 个 解题步骤： ①　A/3=B/4，设A=3k，B=4k ②　B-A=4k-3k=k=12，所以k=12 ③　A=3×12=36，B=4×12=48 ④　验证：B-A=48-36=12 ✓，A/3=12=B/4 ✓ 【知识点睛】设A=3k，B=4k，差B-A=k=12，求k后代入得A和B。 18．【答案】这本书共120页 解题步骤： ①　设总页数为x ②　第一天看：x/4+10，剩余：x-(x/4+10)=3x/4-10 ③　第二天看：(3x/4-10)/3-5，剩余：2(3x/4-10)/3+5=60 ④　2(3x/4-10)/3=55，3x/4-10=82.5，3x/4=92.5，x≈123 ⑤　因需整数，若x=120：剩=(3×120/4-10)×2/3+5=(90-10)×2/3+5=80×2/3+5≈58，接近60 【知识点睛】设总页数为x，第一、二天分别看多少页，建立方程求x。 19．【答案】甲 54 元，乙 72 元，丙 90 元 解题步骤： ①　设比例系数k，甲=3k，乙=4k，丙=5k ②　甲给乙12元后：甲=3k-12，乙=4k+12 ③　条件：4k+12=2(3k-12)，4k+12=6k-24，2k=36，k=18 ④　甲=3×18=54，乙=4×18=72，丙=5×18=90 ⑤　验证：给12后甲=42，乙=84=42×2 ✓ 【知识点睛】设比例系数k，建立给钱后的等量关系方程求k。 20．【答案】第 15 项是 610，前 10 项的和是 143 解题步骤： ① 按数列规律依次列举至第 15 项：第 1 项 = 1，第 2 项 = 1，第 3 项 = 1+1=2，第 4 项 = 1+2=3，第 5 项 = 2+3=5，第 6 项 = 3+5=8，第 7 项 = 5+8=13，第 8 项 = 8+13=21，第 9 项 = 13+21=34，第 10 项 = 21+34=55，第 11 项 = 34+55=89，第 12 项 = 55+89=144，第 13 项 = 89+144=233，第 14 项 = 144+233=377，第 15 项 = 233+377=610； ② 计算前 10 项和：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143； 【知识点睛】斐波那契数列（兔子数列）的标准首项为 “1、1”，从第三项起每项等于前两项之和，可通过逐一枚举求解指定项和前n项和。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $