第5讲 长方形、正方形的面积-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第5讲 长方形、正方形的面积 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、长方形、正方形周长解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：基本周长计算 2 📌 考点二：不规则图形周长 2 📌 考点三：复杂周长问题 3 ⚠️ 易错避坑指南 5 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 6 一、基础夯实篇（共8题） 6 二、能力进阶篇（共7题） 6 三、思维跃迁篇（共5题） 7 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 9 一、基础夯实篇（共8题） 9 二、能力进阶篇（共7题） 10 三、思维跃迁篇（共5题） 13 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 长方形和正方形的面积问题是小学奥数几何板块的核心内容。以【面积=长×宽】为基础，延伸至不规则图形的面积计算，需灵活掌握分解法、平移法、合并法和差量法。无论图形如何变化，核心都是将其转化为若干基本图形再进行计算。掌握以下核心要素是解题的关键： 核心要素 符号 定义/公式 备注 长方形面积 S S = 长 × 宽 = a × b 长和宽单位需相同 正方形面积 S S = 边长 × 边长 = a² 边长自乘 面积单位 ㎝²/m² 1m²=10000cm² 换算时平方关系 长方形长 a a = S ÷ b 已知面积和宽求长 正方形边长 a a = √S（开平方） 已知面积求边长 二、长方形和正方形面积解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 适用场景 记忆技巧 分解法 添辅助线拆成多个规则图形 不规则凹凸图形 切一刀，分两半 平移法 平移小路/线段消除中间空隙 带路的菜地、重叠图形 路移到边，化整为零 合并法 将分散的阴影部分合并 多个不规则阴影区域 拼图思维，凑成规则形 差量法 大图形减去小图形 套叠/重叠图形求阴影 大减小，得阴影 三、奥数思维提升 转化思想：不规则图形面积问题的本质是【转化】，通过添加辅助线、平移、合并等手段将复杂问题变简单。 等积变换：图形变形（拉伸、平移、旋转）后，若面积不变，可用变换前的数据来计算。 整体思维：遇到阴影部分面积题，先考虑用大图形减去非阴影部分，而不是直接求阴影。 数形结合：列方程时画示意图，将题目中的数量关系直观呈现，减少解题错误。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：分解法（添辅助线拆分不规则图形） ✨ 典型例题 1（分解法——不规则图形面积） 求下图的面积（单位：厘米）。图形为L形，上方长方形长4厘米、宽2厘米，右侧长方形长3厘米、宽1厘米。 解题步骤： ①　画一条辅助线，将L形分解为两个长方形 ②　左边长方形面积 = 4 × 2 = 8（平方厘米） ③　右边长方形面积 = 3 × 1 = 3（平方厘米） ④　总面积 = 8 + 3 = 11（平方厘米） 【答案】11平方厘米 【知识点睛】分解法：通过添辅助线将不规则图形切割成多个规则的长方形或正方形，分别计算后求和。 ✨ 典型例题 2（分解法——大正方形与小正方形面积差） 已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米，求大、小正方形的面积各是多少？ 解题步骤： ①　设小正方形边长为a，大正方形边长为a+4 ②　多出来的96平方厘米 = 两个长方形 + 一个小正方形（角上的） ③　角上小正方形面积 = 4 × 4 = 16（平方厘米） ④　两个长方形面积之和 = 96 - 16 = 80（平方厘米） ⑤　每个长方形面积 = 80 ÷ 2 = 40（平方厘米） ⑥　小正方形边长a = 40 ÷ 4 = 10（厘米） ⑦　小正方形面积 = 10 × 10 = 100（平方厘米）；大正方形面积 = 14 × 14 = 196（平方厘米） 【答案】小正方形面积100平方厘米，大正方形面积196平方厘米 【知识点睛】大正方形与小正方形的面积差，可拆分为两个长方形加一个角正方形，通过分解精确求出边长。 📌 考点二：平移法（消除中间小路/重叠区域） ✨ 典型例题 3（平移法——带路菜地面积） 有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了2条宽2米的路（一横一竖），把菜地平均分成4块，每一块菜地的面积是多少？ 解题步骤： ①　将横路平移到菜地上方，竖路平移到菜地左边 ②　平移后，去掉小路，剩下菜地的长 = 16 - 2 = 14（米），宽 = 8 - 2 = 6（米） ③　剩余菜地总面积 = (16-2)×(8-2) = 14×6 = 84（平方米） ④　每块菜地面积 = 84 ÷ 4 = 21（平方米） 【答案】21平方米 【知识点睛】平移法：将小路移到图形边缘，等效去掉小路，剩余面积 = (总长-路宽) × (总宽-路宽)，再除以份数。 ✨ 典型例题 4（平移法） 已知两个相同的长方形ABCD和DFEG，长为6，求阴影部分的面积。 解题步骤： ①　因为两个长方形相同，对角线将各自分成面积相等的两部分 ②　将右侧阴影部分平移到左上角，两部分面积相等 ③　平移后阴影部分恰好等于正方形HGDC的面积 ④　阴影面积 = 6 × 6 = 36 【答案】36 【知识点睛】平移法的关键：找到可以平移的图形部分，利用面积不变原理化复杂图形为简单图形。 📌 考点三：合并法与差量法（整体思维求阴影） ✨ 典型例题 5（合并法——阴影部分面积） 一个长方形与一个正方形部分重叠（如图），长方形长10厘米、宽6厘米，正方形边长5厘米，求两块阴影部分的面积相差多少？ 解题步骤： ①　设大阴影面积为S₁，小阴影面积为S₂，重叠部分为K ②　S₁ + K = 长方形面积 = 10 × 6 = 60（平方厘米） ③　S₂ + K = 正方形面积 = 5 × 5 = 25（平方厘米） ④　两式相减：S₁ - S₂ = 60 - 25 = 35（平方厘米） 【答案】35平方厘米 【知识点睛】合并法精髓：用整体减法，阴影差 = 大图形面积 - 小图形面积，重叠部分K在两式中抵消。 ✨ 典型例题 6（差量法——正方形套正方形阴影面积） 一个正方形中套着一个长方形，正方形边长16分米，长方形的4个顶点恰好把正方形四条边分成两段，其中长段是短段的3倍，求阴影部分面积。 解题步骤： ①　设短段长度为x，则长段 = 3x，由短段+长段=边长：x+3x=16，解得x=4，3x=12 ②　四个角的三角形面积之和：共4个等腰直角三角形，每个直角边分别为4和12 ③　每两个三角形可拼成一个正方形：4×4=16（平方分米）和12×12=144（平方分米） ④　阴影面积 = 4×4 + 12×12 = 16 + 144 = 160（平方分米） 【答案】160平方分米 【知识点睛】当角上的三角形可以【合并】时，阴影总面积等于各小正方形面积之和，这是合并法的典型应用。 ✨ 典型例题 7（差量法——连续依次连接中点面积规律） 一个边长为8厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，继续得到第三、第四个正方形，求第四个正方形的面积。 解题步骤： ①　原正方形面积 = 8 × 8 = 64（平方厘米） ②　连接中点后，新正方形面积是原来的1/2（因为四角共4个等腰直角三角形恰好等于新正方形面积） ③　第二个正方形面积 = 64 ÷ 2 = 32（平方厘米） ④　第三个正方形面积 = 32 ÷ 2 = 16（平方厘米） ⑤　第四个正方形面积 = 16 ÷ 2 = 8（平方厘米） 【答案】8平方厘米 【知识点睛】连接正方形四边中点，每次面积缩小为原来的1/2，这是经典的面积递减规律。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 混淆面积与周长的计算 错误示例：求长方形面积时，用(长+宽)×2得到的是周长，误认为是面积。 正确分析：面积=长×宽，周长=(长+宽)×2，两者完全不同，面积是平方单位，周长是长度单位，单位不同可以自查。 ❌ 平移法忘记【只减一条路宽】 错误示例：有一条横路和一条竖路，计算剩余面积时用总长减2次路宽、总宽也减2次路宽。 正确分析：一条路只减一次：有一横路则总宽减一次路宽，有一竖路则总长减一次路宽。两条路交叉只减各一次。 ❌ 忘记重叠部分被计算了两次 错误示例：长方形面积60平方厘米 + 正方形面积25平方厘米 = 85平方厘米，误认为是两个阴影面积之和。 正确分析：重叠区域被加了两次，应用合并法：阴影差 = 60 - 25 = 35，而不是求阴影之和。求阴影之和时必须减去重叠部分。 ❌ 大正方形与小正方形面积差套公式出错 错误示例：大正方形边长比小正方形多4，则面积多4²=16平方厘米。 正确分析：面积差并不等于边长差的平方。设小边长为a，面积差=(a+4)²-a²=8a+16，不是16。必须先求出a的值。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．一块长3米、宽2米的长方形布，剪成一块面积最大的正方形布，剩下部分的面积是多少平方米？ 2．长方形的长是18厘米，宽是9厘米，面积是多少平方厘米？ 3．正方形的边长是15厘米，面积是多少平方厘米？ 4．一块地的面积是120平方米，长是15米，宽是多少米？ 5．一个长方形周长是36厘米，长是宽的2倍，求长方形的面积。 6．一块正方形地，面积是625平方米，它的周长是多少米？ 7．一个长方形操场，长60米，宽40米，沿操场边跑一圈是多少米？操场面积是多少平方米？ 8．一张长8厘米、宽5厘米的长方形纸，剪去一个最大的正方形，剩余部分的面积是多少平方厘米？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．如图，一个L形图案，总长10厘米，总高8厘米，缺口长6厘米、高5厘米，求该图案的面积。 10．一块正方形玉米地，边长9米，中间有两条相互垂直的1米宽的路，求玉米地（路以外）的面积。 11．大正方形比小正方形的边长多2厘米，面积多40平方厘米，求大、小正方形的面积各是多少？ 12．有一块长16米、宽12米的长方形菜地，四周留1米宽的小路，中间种菜，求种菜部分的面积。 13．一个长方形花坛，长20米，宽12米，其中一面利用了一堵长12米的墙，另三面用篱笆围住，篱笆共多少米？ 14．长方形ABCD的周长是20厘米，在它四条边上各以该边为边长画一个正方形，四个正方形面积之和是68平方厘米，求长方形ABCD的面积。 15．大长方形被一横一竖两条线段分成4个小长方形，其中3个的面积分别是6、14、35平方厘米，求第4个的面积。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．把20分米的线段分成两段，在每段上作一个正方形，两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形面积是多少？ 17．如图，两个相同的长方形，长6厘米，宽4厘米，一个放在另一个上面旋转45°，求两个阴影部分的面积之差。 18．一个正方形剪去一个长方形后，剩余图形的面积是40平方厘米，周长是32厘米，求被剪去的长方形面积是多少？（假设正方形边长为整数） 19．将一个边长为12厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，如此继续，求第三个正方形的面积。 20．一个长方形ABCD，面积为120平方厘米，E是AB中点，F是CD上一点且CF=CD/3，连EF将长方形分成两部分，求较大部分面积。 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】2平方米 解题步骤： ①　剪最大正方形，边长取较短边=2米，面积=2×2=4平方米 ②　剩余面积 = 原长方形面积 - 正方形面积 = 3×2 - 4 = 6 - 4 = 2（平方米） 【知识点睛】剪最大正方形以宽为边长，剩余为细长条，面积=长方形面积-正方形面积。 2．【答案】162平方厘米 解题步骤： ①　面积 = 长 × 宽 = 18 × 9 = 162（平方厘米） 【知识点睛】长方形面积公式：S = 长 × 宽，单位为平方厘米。 3．【答案】225平方厘米 解题步骤： ①　面积 = 边长 × 边长 = 15 × 15 = 225（平方厘米） 【知识点睛】正方形面积公式：S = 边长²，即边长自乘。 4．【答案】8米 解题步骤： ①　宽 = 面积 ÷ 长 = 120 ÷ 15 = 8（米） 【知识点睛】已知面积和长，求宽：宽 = 面积 ÷ 长。 5．【答案】72平方厘米 解题步骤： ①　设宽为x，则长为2x，周长：(x+2x)×2=36，解得x=6厘米，长=12厘米 ②　面积 = 12 × 6 = 72（平方厘米） 【知识点睛】已知周长和长宽关系，先设未知数求出长和宽，再算面积。 6．【答案】100米 解题步骤： ①　边长 = √625 = 25（米） ②　周长 = 25 × 4 = 100（米） 【知识点睛】正方形面积625=25×25，边长为25，周长=边长×4。 7．【答案】周长200米，面积2400平方米 解题步骤： ①　周长 = (60+40)×2 = 200（米） ②　面积 = 60 × 40 = 2400（平方米） 【知识点睛】周长和面积用不同公式分别计算，注意单位：周长用米，面积用平方米。 8．【答案】15平方厘米 解题步骤： ①　剪去最大正方形边长=5厘米，面积=5×5=25平方厘米 ②　剩余面积 = 8×5 - 25 = 40 - 25 = 15（平方厘米） 【知识点睛】剪去最大正方形后，剩余部分为细长条，面积=原面积-正方形面积。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】50平方厘米 解题步骤： ①　方法：用大长方形减去缺口 ②　大长方形面积 = 10 × 8 = 80（平方厘米） ③　缺口长方形面积 = 6 × 5 = 30（平方厘米） ④　L形面积 = 80 - 30 = 50（平方厘米） 【知识点睛】L形（凹形）图案面积=外围大长方形-缺口长方形，即差量法。 10．【答案】64平方米 解题步骤： ①　将两条路平移到边缘，去掉后剩余边长 = 9-1 = 8（米） ②　种玉米面积 = 8 × 8 = 64（平方米） 【知识点睛】正方形地中两条垂直路，平移后剩余为正方形，边长=原边长-路宽。 11．【答案】小正方形9平方厘米，大正方形25平方厘米 解题步骤： ①　设小正方形边长为 a，大正方形边长为 a+2，根据面积差公式：(a+2)² - a² = 40 ②　展开公式：a²+4a+4 - a² = 40，化简得 4a+4=40 ③　计算得 4a=36，a=9 厘米，大正方形边长 = 9+2=11 厘米 ④　小正方形面积 = 9×9=81（平方厘米），大正方形面积 = 11×11=121（平方厘米） ⑤　验证：121-81=40，符合题意 【知识点睛】面积差公式：(a+d)²-a²=2ad+d²，其中d=边长差，代入求a，再算面积。 12．【答案】140平方米 解题步骤： ①　种菜区域的长 = 16 - 1×2 = 14（米）（两侧各留1米） ②　种菜区域的宽 = 12 - 1×2 = 10（米） ③　种菜面积 = 14 × 10 = 140（平方米） 【知识点睛】四周留路，则种植区域长和宽各减去2倍路宽。 13．【答案】52米 解题步骤： ①　一面靠墙（12米），另三面用篱笆 ②　篱笆 = 长 + 宽×2 = 20 + 12×2 = 20 + 32 = 52（米） ③　注意：长=20米（另一面不靠墙），宽=12米（靠墙那面） 【知识点睛】一面靠墙，篱笆=另一面长+两条宽，注意分清哪条边靠墙。 14．【答案】33平方厘米 解题步骤： ①　设长方形长为a，宽为b，则a+b=周长÷2=10 ②　四个正方形面积之和=2a²+2b²=68，即a²+b²=34 ③　由(a+b)²=a²+2ab+b²，得100=34+2ab，ab=33 ④　长方形面积=ab=33平方厘米 【知识点睛】利用(a+b)²=a²+2ab+b²建立方程，巧妙求出ab即面积，无需单独求a和b的值。 15．【答案】15平方厘米 解题步骤： ①　设四个小长方形面积为S1=6，S2，S3=14，S4=35（已知三个，求S2） ②　由等积关系：S1×S4=S2×S3（对角线乘积相等） ③　S2 = S1×S4÷S3 = 6×35÷14 = 210÷14 = 15（平方厘米） 【知识点睛】大长方形被十字线分成4个小长方形，对角两个面积之积相等，即S1×S4=S2×S3。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】121平方分米 解题步骤： ①　设两段长度为x和20-x（x>10） ②　大正方形面积-小正方形面积=x²-(20-x)²=40x-400=40 ③　40x=440，x=11（分米） ④　大正方形面积 = 11×11 = 121（平方分米） 【知识点睛】设大段长度为x，利用面积差方程（x²-(20-x)²=40）求解，注意化简平方差。 17．【答案】0平方厘米（两阴影面积相等） 解题步骤： ①　两个相同长方形，一个叠在另一个上旋转，用合并法 ②　设阴影A面积为S₁，阴影B面积为S₂，重叠区域为K ③　S₁ + K = 长方形面积，S₂ + K = 长方形面积 ④　两式相减：S₁ - S₂ = 0，即两阴影面积相等 【知识点睛】两个面积相同的图形叠加，无论旋转多少度，两阴影面积之差恒为0。 18．【答案】16 平方厘米 解题步骤： ①　设正方形边长为 a（整数），剩余图形面积 = 40，则被剪去长方形面积 = a²-40 ②　分析周长：剪去长方形后周长仍为 32（剪去边上的长方形，周长不变；剪去角上的长方形，周长减少，结合题意为剪去边上的长方形），因此正方形周长 = 32，边长 a=32÷4=8 厘米 ③　正方形面积 = 8×8=64（平方厘米） ④　被剪去长方形面积 = 64-40=16（平方厘米） 【知识点睛】先用周长条件求出正方形边长，再用总面积减去剩余面积，得到被剪去部分面积。 19．【答案】36平方厘米 解题步骤： ①　原正方形面积 = 12 × 12 = 144（平方厘米） ②　第二个正方形面积 = 144 ÷ 2 = 72（平方厘米） ③　第三个正方形面积 = 72 ÷ 2 = 36（平方厘米） 【知识点睛】连接正方形四边中点，每次面积减半，第n个正方形面积=原面积÷2^(n-1)。 20．【答案】70平方厘米 解题步骤： ①　设长方形长为a，宽为b，面积ab=120 ②　E是AB中点，F在CD上使CF=CD/3=b/3，则DF=2b/3 ③　梯形AEFD面积 = (AE+DF)/2 × 长 = (b/2+2b/3)/2 × a ④　= (7b/6)/2 × a = 7ab/12 = 7×120/12 = 70（平方厘米） ⑤　验证：另一部分=120-70=50，70>50 ✓ 【知识点睛】将复杂图形面积用整体面积比例计算，利用梯形面积公式，结合ab=120得出结果。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $