第1讲 平均数-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第1讲 平均数 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、平均数解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：用基本关系式求平均数 2 📌 考点二：利用基数法求平均数 3 📌 考点三：航行中的平均数问题 4 📌 考点四：改动中的平均数 4 ⚠️ 易错避坑指南 6 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 7 一、基础夯实篇(8题) 7 二、能力进阶篇(7题) 7 三、思维跃迁篇(5题) 8 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 8 一、基础夯实篇(8题) 8 二、能力进阶篇(7题) 11 三、思维跃迁篇(5题) 13 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 平均数是小学奥数应用题模块的核心内容，围绕【总数量÷总份数=平均数】的基本关系展开，核心是【总数量与总份数的对应关系】，需精准掌握以下知识点： 公式类型 公式表达 适用场景 关键注意事项 基本公式 平均数 = 总数量 ÷ 总份数 已知总量和份数，求平均值 确保总数量与总份数严格对应 变形公式一 总数量 = 平均数 × 总份数 已知平均数和份数，求总量 适用于逆向求解总量 变形公式二 总份数 = 总数量 ÷ 平均数 已知总量和平均数，求份数 结果需取整数时注意取舍 二、平均数解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键公式/步骤 记忆技巧 基本公式法 总量除以份数 平均数=总数量÷总份数 找准对应关系 移多补少法 多的补给少的 各部分与平均数的差之和为0 以平均数为基准 基数法 先找基准再调整 平均数=基数+偏差平均值 选整十整百为基数 方程法 设未知数列方程 根据等量关系列方程求解 复杂问题用方程 三、奥数思维提升 1．对应思想：明确总数量与总份数的对应关系，避免张冠李戴 2．转化思想：将复杂平均数问题转化为基本公式求解 3．假设思想：利用基数法简化计算，提高效率 4．逆向思维：从结果反推条件，解决改动中的平均数问题 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：用基本关系式求平均数 ✨ 典型例题 1（基础型——基本公式应用） 用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是8厘米、5厘米、4厘米、3厘米。这4个杯子里水面的平均高度是多少厘米？ 解题步骤： ①　确定总数量：8+5+4+3=20（厘米） ②　确定总份数：4个杯子 ③　计算平均数：20÷4=5（厘米） ④　检验：平均数5在最大值8和最小值3之间，合理 【答案】5厘米 【知识点睛】基本公式法是解决平均数问题的基础，关键是准确找出【总数量】和【总份数】，注意单位的统一。平均数一定介于最大值和最小值之间，可作为检验依据。 ✨ 典型例题 2（提高型——分组数据求平均） 数学测试中，一组学生中的最高分为98分，最低分为86分，其余5名学生的平均分为92分。这一组学生的平均分是多少分？ 解题步骤： ①　计算其余5名学生的总分：92×5=460（分） ②　计算全组总分数：98+86+460=644（分） ③　确定总人数：1+5+1=7（人） ④　计算平均分：644÷7=92（分） 【答案】92分 【知识点睛】当数据分组给出时，分别计算各组的总数量，再求和得到整体总数量。注意人数（份数）的准确统计，不要遗漏任何一部分。 ✨ 典型例题 3（综合型——增加数据后的平均数） 明明期中考试语文、数学、科学的平均分数是91分，英语成绩公布后，他的平均分提高了2分。明明英语考了多少分？ 解题步骤： ①　计算三门课总分数：91×3=273（分） ②　计算四门课平均分：91+2=93（分） ③　计算四门课总分数：93×4=372（分） ④　计算英语分数：372-273=99（分） 【答案】99分 【知识点睛】当增加一个数据使平均数变化时，可以用【新总分-原总分】求解。也可以用移多补少思想：新数据比原平均数多出的部分要补给所有数据，使平均分提高。 📌 考点二：利用基数法求平均数 ✨ 典型例题 4（技巧型——基数法简化计算） 求下列20个数的平均数：401，398，400，403，399，396，402，402，404，403，399，396，398，398，405，401，400，402，403，400。 解题步骤： ①　观察数据，都接近400，以400为基数 ②　计算各数与基数的差：+1,-2,0,+3,-1,-4,+2,+2,+4,+3,-1,-4,-2,-2,+5,+1,0,+2,+3,0 ③　计算差之和：1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1-4-2-2+5+1+0+2+3+0=10 ④　计算平均数：400+10÷20=400.5 【答案】400.5 【知识点睛】基数法适用于数据较大且波动不大的情况，关键是选择合适的基数（通常取整十、整百数）。通过计算偏差平均值，大幅减少计算量，提高效率。 📌 考点三：航行中的平均数问题 ✨ 典型例题 5（应用型——航行问题中的平均速度） 两地相距360千米，一艘汽艇顺水行驶完全程需要10小时，已知这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？ 解题步骤： ①　计算顺水速度：360÷10=36（千米/小时） ②　计算静水速度：36-6=30（千米/小时） ③　计算逆水速度：30-6=24（千米/小时） ④　计算逆水时间：360÷24=15（小时） ⑤　计算平均速度：（360+360）÷（10+15）=28.8（千米/小时） 【答案】28.8千米/小时 【知识点睛】航行问题的关键是理解三种速度的关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。求平均速度必须用【总路程÷总时间】，注意往返路程要算两倍。 📌 考点四：改动中的平均数 ✨ 典型例题 6（思维型——改动数据求原数） 有五个数，平均数是9。如果把其中一个数改为1，那么这五个数的平均数为8，这个改动的数原来是多少？ 解题步骤： ①　计算改动前五个数的和：9×5=45 ②　计算改动后五个数的和：8×5=40 ③　计算总和减少量：45-40=5 ④　求原数：改动后的数1加上减少量5，原数为6 【答案】6 【知识点睛】改动中的平均数问题，关键是抓住【总和的变化量=被改动数的变化量】。通过比较改动前后的总和差，直接得出被改动数的变化，从而求出原数。 ✨ 典型例题 7（综合型——纠错问题） 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 解题步骤： ①　计算分数差：98-89=9（分），少算了9分 ②　计算平均分提高：91.7-91.5=0.2（分） ③　分析：少算的9分平均分给全班，每人提高0.2分 ④　计算人数：9÷0.2=45（名） 【答案】45名 【知识点睛】纠错问题的关键是理解【总分数的变化量÷人数=平均分的变化量】。分数差被全班同学平分，导致平均分变化，由此可求出班级人数。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 混淆总数量与总份数的对应关系 错误示例：问题：小明前3天每天看20页书，后4天每天看25页书，求平均每天看多少页？错误计算：（20+25）÷2=22.5页 正确分析：错误在于没有找准总数量和总份数。正确做法：总页数=3×20+4×25=160页，总天数=3+4=7天，平均=160÷7≈22.86页。必须确保总数量与总份数严格对应。 ❌ 求平均速度时用速度的平均数 错误示例：问题：去程速度60km/h，回程速度40km/h，求往返平均速度。错误计算：（60+40）÷2=50km/h 正确分析：平均速度必须用【总路程÷总时间】，不能简单地对速度求平均。正确做法：设路程为120km，总时间=120÷60+120÷40=2+3=5h，平均速度=240÷5=48km/h。 ❌ 忽略单位统一 错误示例：问题：前2小时行120千米，后3小时行150千米，求平均速度。错误计算：（120+150）÷（2+3）=54，答54千米 正确分析：虽然数值正确，但单位缺失不完整。平均速度单位应为千米/小时，答案要完整写出单位。此外，要注意题目中不同单位（如米和千米、分和小时）的统一换算。 ❌ 基数法计算偏差时符号错误 错误示例：问题：用基数法求401、399、400的平均数，以400为基数，错误计算：400+（1+1+0）÷3=400.67 正确分析：399比400少1，偏差应为-1而非+1。正确计算：400+（1-1+0）÷3=400。计算偏差时要注意正负号，比基数大的为正，比基数小的为负。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇(8题) 1．小明语文、数学、英语三门功课平均成绩93分，其中语文90分，数学95分，英语多少分？ 2．五个连续自然数的平均数是20，这五个数中最小的数是多少？ 3．某班40名同学，男生22人，平均身高145cm；女生18人，平均身高142cm。全班平均身高多少厘米？ 4．求下列8个数的平均数：102，98，100，105，97，99，101，98。 5．一辆汽车前2小时行驶120千米，后3小时行驶210千米，平均每小时行驶多少千米？ 6．三个数的平均数是120，加上一个数后四个数的平均数是115，加上的这个数是多少？ 7．有6个数排成一排，它们的平均数是27，前4个数的平均数是23，后3个数的平均数是34，第4个数是多少？ 8．某学生语文、数学两科平均91分，语文、英语两科平均88分，数学、英语两科平均89分，三科各多少分？ 二、能力进阶篇(7题) 9．甲乙两地相距240千米，去时速度40km/h，返回速度60km/h，往返平均速度是多少？ 10．五个数的平均数是18，把其中一个数改为12后，平均数变成16，被改动的数原来是多少？ 11．求下列10个数的平均数：198，202，199，201，200，203，197，204，196，200。 12．某班男生人数是女生的2倍，男生平均体重41kg，女生平均体重35kg，全班平均体重多少千克？ 13．一艘轮船顺水航行180千米需6小时，逆水航行这段路程需9小时，求水流速度和船在静水中的速度。 14．有7个数排成一列，它们的平均数是32，前4个数的平均数是28，后4个数的平均数是36，第4个数是多少？ 15．某次考试，A、B、C、D、E五人的平均分比C、D、E三人的平均分少4分，A、B两人的平均分是80分，求五人的平均分。 三、思维跃迁篇(5题) 16．把一份稿件平均分给甲乙两人打，甲每小时打3000字，乙每小时打4500字，完成任务时平均每小时打多少字？ 17．有4个数，每次取其中3个数相加，得到的4个和分别是22、24、27、20，求这4个数的平均数。 18．某学生前四次测验平均成绩82分，要使五次测验平均成绩达到85分，第五次至少要考多少分？ 19．甲乙两人带着相等的钱去买练习本，甲买6本后剩下8元，乙买4本后剩下20元，每本练习本多少元？ 20．一次数学竞赛，原定一等奖10人，二等奖20人。现将一等奖最后4人调整为二等奖，这样二等奖学生的平均分提高了1分，一等奖学生的平均分提高了3分。原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇(8题) 1．【答案】94分 解题步骤： ①　三门总分：93×3=279（分） ②　语文数学总分：90+95=185（分） ③　英语分数：279-185=94（分） 【知识点睛】利用变形公式：总数量=平均数×总份数，先求总分再减去已知分数。 2．【答案】18 解题步骤： ①　五个数总和：20×5=100 ②　中间数（第3个数）就是平均数20 ③　五个数为18、19、20、21、22，最小是18 【知识点睛】连续自然数的平均数等于中间数，对称分布。 3．【答案】143.65厘米（或143.7厘米） 解题步骤： ①　男生总身高：22×145=3190（cm） ②　女生总身高：18×142=2556（cm） ③　全班总身高：3190+2556=5746（cm） ④　全班平均：5746÷40=143.65（cm） 【知识点睛】加权平均数问题，各组平均数要乘以相应人数后再求和。 4．【答案】100 解题步骤： ①　以100为基数，偏差：+2,-2,0,+5,-3,-1,+1,-2 ②　偏差和：2-2+0+5-3-1+1-2=0 ③　平均数：100+0÷8=100 【知识点睛】基数法简化计算，数据围绕100波动，偏差相互抵消。 5．【答案】66千米/小时 解题步骤： ①　总路程：120+210=330（千米） ②　总时间：2+3=5（小时） ③　平均速度：330÷5=66（千米/小时） 【知识点睛】平均速度=总路程÷总时间，注意不是速度的平均数。 6．【答案】100 解题步骤： ①　原三数总和：120×3=360 ②　现四数总和：115×4=460 ③　加上的数：460-360=100 【知识点睛】利用总数量=平均数×总份数，分别求出前后总和再相减。 7．【答案】32 解题步骤： ①　6个数总和：27×6=162 ②　前4数和：23×4=92 ③　后3数和：34×3=102 ④　第4个数：92+102-162=32 【知识点睛】重叠问题，前4个数加后3个数，第4个数被算了两次，减去总和即为第4个数。 8．【答案】语文90分，数学92分，英语86分 解题步骤： ①　语数总分：91×2=182 ②　语英总分：88×2=176 ③　数英总分：89×2=178 ④　三科总分：（182+176+178）÷2=268 ⑤　语文：268-178=90，数学：268-176=92，英语：268-182=86 【知识点睛】三对平均数两两相加，每科被算了两次，除以2得三科总分。 二、能力进阶篇(7题) 9．【答案】48km/h 解题步骤： ①　设路程为120km（公倍数） ②　去时时间：120÷40=3（小时） ③　返回时间：120÷60=2（小时） ④　平均速度：（120+120）÷（3+2）=48（km/h） 【知识点睛】平均速度=总路程÷总时间，不能简单地对速度求平均。 10．【答案】22 解题步骤： ①　原五数和：18×5=90 ②　现五数和：16×5=80 ③　总和减少：90-80=10 ④　原数：12+10=22 【知识点睛】改动中的平均数问题，总和的变化量=被改动数的变化量。 11．【答案】200 解题步骤： ①　以200为基数 ②　偏差：-2,+2,-1,+1,0,+3,-3,+4,-4,0 ③　偏差和为0 ④　平均数=200+0=200 【知识点睛】数据对称分布在200两侧，偏差相互抵消。 12．【答案】39千克 解题步骤： ①　设女生x人，男生2x人 ②　全班总重：41×2x+35×x=117x ③　全班平均：117x÷3x=39（kg） 【知识点睛】设未知数表示人数，利用加权平均数求解。 13．【答案】水流速度5km/h，静水速度25km/h 解题步骤： ①　顺水速度：180÷6=30（km/h） ②　逆水速度：180÷9=20（km/h） ③　静水速度：（30+20）÷2=25（km/h） ④　水流速度：（30-20）÷2=5（km/h） 【知识点睛】顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。 14．【答案】32 解题步骤： ①　7个数总和：32×7=224 ②　前4数和：28×4=112 ③　后4数和：36×4=144 ④　第4个数：112+144-224=32 【知识点睛】前4个数加后4个数，第4个数被算了两次，减去总和即为第4个数。 15．【答案】86分 解题步骤： ①　设CDE三人平均分为x，则五人平均分为x-4 ②　CDE总分：3x，五人总分：5(x-4) ③　AB总分：5(x-4)-3x=2x-20 ④　AB平均分：（2x-20）÷2=80 ⑤　解得x=90，五人平均分：90-4=86 【知识点睛】利用总分关系列方程，AB总分=五人总分-CDE总分。 三、思维跃迁篇(5题) 16．【答案】3600字/小时 解题步骤： ①　设稿件总量为9000字（公倍数） ②　甲用时：9000÷3000=3（小时） ③　乙用时：9000÷4500=2（小时） ④　平均速度：18000÷5=3600（字/小时） 【知识点睛】平均效率=总工作量÷总时间，不是效率的平均数。 17．【答案】7.75 解题步骤： ①　四个和相加：22+24+27+20=93 ②　每个数被算了3次，四数总和：93÷3=31 ③　平均数：31÷4=7.75 【知识点睛】每次取3个数相加，4个数各被算了3次，总和除以3得四数之和。 18．【答案】97分 解题步骤： ①　前四次总分：82×4=328 ②　五次目标总分：85×5=425 ③　第五次需要：425-328=97 【知识点睛】利用总分关系，目标总分减去已有总分。 19．【答案】6元 解题步骤： ①　设每本x元，两人原有钱数相等 ②　甲原有：6x+8，乙原有：4x+20 ③　6x+8=4x+20 ④　解得x=6 【知识点睛】根据原有钱数相等列方程求解。 20．【答案】10.5分 解题步骤： ①　设原一等奖平均a分，二等奖平均b分 ②　调整后：一等奖6人平均a+3，二等奖24人平均b+1 ③　总分不变：10a+20b=6(a+3)+24(b+1) ④　化简：10a+20b=6a+18+24b+24 ⑤　4a-4b=42 ⑥　a-b=10.5 【知识点睛】利用总分不变列方程，调整前后总分相等。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $