第10讲 周期问题-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第10讲 周期问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、周期问题解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：数列周期问题 2 📌 考点二：颜色/图案周期 3 📌 考点三：行程与时间周期 4 ⚠️ 易错避坑指南 6 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 7 一、基础夯实篇（共8题） 7 二、能力进阶篇（共7题） 7 三、思维跃迁篇（共5题） 8 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 10 一、基础夯实篇（共8题） 10 二、能力进阶篇（共7题） 12 三、思维跃迁篇（共5题） 14 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 周期问题是指按照一定规律循环重复出现的数学问题。核心解题思路是：首先找到【周期T】，然后用总次数N除以T得到商和余数，商表示完整周期数，余数决定最终所求项所在的位置。周期问题广泛存在于数列、日历、花色排列等实际场景中。 周期类型 找周期方法 求第N项 求前N项和 数列周期 列出前几项，找重复节 用总数除以周期，余数是几就取第几项，没有余数取最后一项 完整周期数×周期和+余数项和 日历周期 一周7天，平年365天，闰年366天 确定基准日，算天数差除以7看余数 按周计算，处理余数 颜色/图案周期 列出一个完整单元 同数列方法 同数列方法 钟表周期 时针12h，分针60min 时间差除以周期看余数 累积计算 二、周期问题解题方法图表记忆法 方法 核心思路 步骤 典型例题 余数定位法 用总数除以周期，通过余数确定目标项位置 1.找周期长度T 2.总数N÷T=商……余数 3.余数为0取第T项，余数不为0取第余数项 数列循环第N项 累积计数法 从基准开始逐步累加 每个周期加T，直到接近总数N 日历问题 整体法 先求完整周期总量 完整周期×单周期量+余量 行程周期问题 枚举法 周期较小时直接列举 画表格列出每一项 周期≤10的小周期问题 三、奥数思维提升 1　 找周期是第一步：任何周期问题都要先找到周期T，这是解题的关键基础。 2　 余数决定最终答案：求第N项时，N除以T的余数r指向周期中的第r项（r=0时取第T项）。 3　 整体思维：求前N项和时，先求完整周期个数和余数项个数，分别计算后相加。 4　 实际场景转化：日历、星期、时钟等问题都可以转化为周期问题，关键是确定周期长度。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：数列周期问题 ✨ 典型例题 1（数列周期——求第N项） 数列：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,…按周期4循环，求第100项是什么？ 解题步骤： ①　周期T=4 ②　100÷4=25余0 ③　余数为0，取周期第4项=4 【答案】4 【知识点睛】N÷T余0时取第T项，余r时取第r项。100÷4=25，整除，取第4项=4。 ✨ 典型例题 2（数列周期——求前N项和） 数列1,2,3,4按周期循环，求前103项的和。 解题步骤： ①　一个完整周期(1+2+3+4)=10 ②　103÷4=25余3 ③　前25个完整周期之和=25×10=250 ④　余下3项：1+2+3=6 ⑤　总和=250+6=256 【答案】256 【知识点睛】前N项和=完整周期数×周期和+余数项之和。 ✨ 典型例题 3（日历周期——星期计算） 2026年1月1日是星期四，2026年3月1日是星期几？ 解题步骤： ①　1月有31天，2月2026年非闰年有28天 ②　1月1日到3月1日共31+28=59天 ③　59÷7=8余3 ④　星期四+3天=星期日 【答案】星期日 【知识点睛】日期推算：两日期差÷7的余数，加到基准星期数，超过7则减7。 📌 考点二：颜色/图案周期 ✨ 典型例题 4（图案周期——位置确定） 一串珠子：红红蓝黄红红蓝黄…按周期4排列，第50颗珠子是什么颜色？ 解题步骤： ①　周期T=4，一个周期(红红蓝黄) ②　50÷4=12余2 ③　取第2项=红 【答案】红色 【知识点睛】颜色周期：N÷T余r，取周期第r项（r=0取第T项）。 ✨ 典型例题 5（图案周期——计数问题） 一排花：玫瑰、牡丹、百合按顺序循环，第100朵是什么花？前100朵中有多少朵牡丹？ 解题步骤： ①　周期T=3（玫瑰牡丹百合） ②　第100朵：100÷3=33余1，取第1项=玫瑰 ③　前99朵（33个完整周期）牡丹33朵 ④　余下1朵是玫瑰，不是牡丹 ⑤　共33朵牡丹 【答案】第100朵是玫瑰，共33朵牡丹 【知识点睛】计数题：完整周期×每周期目标数+余数部分单独统计。 📌 考点三：行程与时间周期 ✨ 典型例题 6（时间周期——时钟问题） 一个钟表，时针转一圈需12小时，从上午8:00开始，经过100小时后，时针指向几点？ 解题步骤： ①　100÷12=8余4 ②　8圈后还剩4小时 ③　起始8点，加4小时=12点（中午） 【答案】中午12点 【知识点睛】时钟问题：时间差÷12（时针周期）取余数，加到起始时刻即可。 ✨ 典型例题 7（行程周期——来回折返） 蚂蚁在10厘米长的线段上来回爬行，速度1cm/s，从起点出发，经过35秒在什么位置？ 解题步骤： ①　一个来回周期=20秒（10cm去+10cm回） ②　35÷20=1余15 ③　完整1个周期回到起点 ④　再走15秒：10秒到终点，再回5秒，位置在5cm处 【答案】距起点5厘米处 【知识点睛】折返行程周期=2×路程长，余数部分分段分析（去还是回）。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 余数为0时不知如何处理 错误示例：100÷4=25余0，认为第100项对应第0项，不知道该取哪项。 正确分析：余数为0时，取周期的最后一项（第T项）。如周期4，余0取第4项。 ❌ 日历计算时忘记闰年 错误示例：计算2月天数时，每年都用28天，闰年应该是29天。 正确分析：公历闰年规则：能被4整除且不能被100整除，或能被400整除。如2000年是闰年，1900年不是。 ❌ 计算前N项和时，只用完整周期数×周期和，忘记加余数项 错误示例：前103项和=25×10=250，没有加上余下3项（1+2+3=6）。 正确分析：前N项和=完整周期数×周期和+余数项之和，不能漏掉余数部分。 ❌ 颜色计数时遗漏或重复统计 错误示例：数前100朵中有多少朵玫瑰，直接用100÷3=33，认为有33朵玫瑰，没考虑第100朵也是玫瑰。 正确分析：先看完整周期中有几朵玫瑰，再看余数部分是否包含玫瑰，分别统计后相加。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．数列：A,B,C,A,B,C,…第50项是什么？ 2．数列：1,3,5,7,1,3,5,7,…第63项是什么？ 3．花色按红、黄、蓝、绿循环排列，第100朵是什么颜色？ 4．2026年1月1日是星期四，1月20日是星期几？ 5．前50个数1,2,3,4,1,2,3,4,…的和是多少？ 6．按A,B,C排列的一串贝壳，第200个是什么？ 7．一周7天，2026年1月1日星期四，2026年12月31日星期几？ 8．数列：1,1,2,3,1,1,2,3,…第99项与第100项的和是多少？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．按1,2,3,4,5循环排列的数列，前100项之和是多少？ 10．按红红黄蓝蓝绿循环，第200个是什么颜色？前200个中有多少红色？ 11．2026年5月1日星期五，5月31日星期几？ 12．一根绳子长50米，蚂蚁每秒走2米来回，经过120秒蚂蚁距起点多少米？ 13．数列：2、4、6、8、2、4、6、8……按规律循环，第100项是什么？ 14．一串灯泡：2亮1灭1亮2灭，按周期循环，第100个灯泡是亮还是灭？ 15．某月1日是星期一，这个月中共有几个星期五（该月有30天）？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．将1到2026按顺序排列，把所有能被3整除的数删去，剩下数的第100个是什么？ 17．数列1、2、3、1、2、3……按规律循环，求前100项的余数之和？ 18．甲每隔3天打一次电话，乙每隔5天打一次电话，两人同时在1月1日打电话，下一次同时打是哪天？ 19．一个时钟每小时快 2 分钟（即时钟走 1 小时，实际时间过了 58 分钟），现在时钟显示 3:00 整，求此时的实际时间是多少？经过多少实际时间后，时钟再次显示正确时间？ 20．从2026年起的连续100年中，有多少个闰年？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】B 解题步骤： ①　周期T=3（A,B,C） ②　50÷3=16余2 ③　取第2项=B 【知识点睛】50÷3余2，取周期第2项B。 2．【答案】5 解题步骤： ①　周期T=4（1,3,5,7） ②　63÷4=15余3 ③　取第3项=5 【知识点睛】63÷4余3，取第3项=5。 3．【答案】绿色 解题步骤： ①　周期T=4（红黄蓝绿） ②　100÷4=25余0 ③　余0取第4项=绿 【知识点睛】100÷4整除，取周期末项绿色。 4．【答案】星期二 解题步骤： ①　1月1日星期四，1月1日到1月20日相差19天 ②　19÷7=2余5 ③　星期四往后推5天：星期五、星期六、星期日、星期一、星期二，结果为星期二 【知识点睛】日期相差19天，除以7余5，从星期四顺延5天，得到星期二。 5．【答案】123 解题步骤： ①　周期T=4，一个周期和=1+2+3+4=10 ②　50÷4=12余2 ③　12个完整周期和：12×10=120 ④　余下2项和：1+2=3 ⑤　总和：120+3=123 【知识点睛】前50项和=完整周期数×周期和+余下项之和，最终结果为123。 6．【答案】B 解题步骤： ①　周期T=3（A,B,C） ②　200÷3=66余2 ③　取第2项=B 【知识点睛】200÷3余2，取第2项=B。 7．【答案】星期四 解题步骤： ①　2026年非闰年，共365天 ②　1月1日到12月31日差364天 ③　364÷7=52余0 ④　余0，与1月1日同星期=星期四 【知识点睛】365-1=364天差，364÷7=52整除，12月31日与1月1日同星期=星期四。 8．【答案】5 解题步骤： ①　周期T=4（1,1,2,3） ②　第99项：99÷4=24余3，取第3项=2 ③　第100项：100÷4=25余0，取第4项=3 ④　和=2+3=5 【知识点睛】第99项=2，第100项=3，和=5。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】300 解题步骤： ①　T=5，周期和=1+2+3+4+5=15 ②　100÷5=20余0 ③　20×15=300 ④　余0说明恰好20个完整周期，和=300 【知识点睛】前100项=20个完整周期×15=300。 10．【答案】红色，红色68个 解题步骤： ①　周期（红红黄蓝蓝绿）T=6 ②　第200个：200÷6=33余2，取第2项=红 ③　前200个红色：每周期2红，33×2=66，余2项（红红）+2=68 ④　重新：33完整周期中红=33×2=66，余2项(红红)=2，共68朵红 ⑤　但余数2项是第1-2位(红红)，所以是68朵红 【知识点睛】200÷6余2，第200个取第2项红。红色计数=33×2+2=68朵。 11．【答案】星期日 解题步骤： ①　5月1日星期五，5月31日差30天 ②　30÷7=4余2 ③　星期五+2=星期日（5+2=7，对应周日） 【知识点睛】差30天，30÷7余2，周五+2=周日。 12．【答案】40米 解题步骤： ①　一个来回的总路程为 50 + 50 = 100米，蚂蚁速度为2米/秒，所以一个来回（一个周期）所需时间为 100 ÷ 2 = 50秒。 ②　120 ÷ 50 = 2（个周期）…… 20（秒） ③　经过2个完整周期，蚂蚁回到起点。剩余的20秒，蚂蚁从起点向另一端爬行，爬行距离为 20 × 2 = 40米。 ④　由于40米 < 50米，蚂蚁尚未到达另一端，因此距起点40米。 【知识点睛】折返行程周期 = 2×路程长 ÷ 速度。120÷50余20，余数部分按去程方向计算路程。 13．【答案】8 解题步骤： ①　周期T=4（2，4，6，8） ②　100÷4=25余0，余数为0取周期最后一项 ③　第100项为8 【知识点睛】找准数列周期，用总数除以周期，整除则取周期末项。 14．【答案】亮 解题步骤： ① 周期为2亮1灭1亮2灭，组合为：亮、亮、灭、亮、灭、灭，周期T=6 ②　100÷6=16余4，余数为4，取周期第4项 ③　第4项为亮，所以第100个灯泡是亮 【知识点睛】先把文字描述转化为完整周期序列，再通过余数判断状态。 15．【答案】4个 解题步骤： ①　1日星期一，30天内：1,8,15,22,29日是星期一 ②　星期五：5,12,19,26日（1+4，1+11，1+18，1+25=26） ③　共4个星期五 【知识点睛】月1日周一，周五=1+4=5号起，每隔7天：5,12,19,26，共4个。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】149 解题步骤： ①　删去3的倍数后，每3个连续整数剩2个，周期T=3，每周期2个数 ②　第100个剩余数：100÷2=50，即需50个完整组=50×3=150 ③　但要找第100个剩余数：设从1到N中共有k个不被3整除的数 ④　k=N-floor(N/3)，求k=100时N=150，但150是3的倍数 ⑤　150不被3整除的数共150-50=100个，第100个是150 ⑥　实际：1到150中，1-149有多少不被3整除：149-49=100，所以第100个是149 【知识点睛】1到149共有49个3的倍数，149-49=100个，第100个剩余数=149。 17．【答案】199 解题步骤： ① 周期T=3，一个周期余数和为1+2+3=6； ② 100÷3=33余1； ③ 总和=33×6+1=199 【知识点睛】前 N 项和 = 完整周期数 × 单周期和 + 余数项之和。 18．【答案】1月13日 解题步骤： ①　甲每隔3天打一次，意味着每4天一个周期（包括打电话当天）。乙每隔5天打一次，意味着每6天一个周期。 ②　求下一次同时打电话的时间，即求4和6的最小公倍数（LCM）。LCM(4, 6) = 12天。 ③　1月1日 + 12天 = 1月13日。 【知识点睛】“每隔n天”意味着周期为(n+1)天。求共同周期即求两个周期的最小公倍数。 19．【答案】实际时间是2点54分；经过348小时后，时钟再次显示正确时间 解题步骤： ① 分析走时速度：每小时快2分钟，意味着时钟走60分钟，实际时间过58 分钟，时钟时间：实际时间=60:58=30:29。 ② 计算实际时间：时钟显示从0点到3点整，共走了3×60=180分钟。设实际经过x分钟，根据速度比列方程：x180=2930，解得x=180×3029=174分钟。174 分钟=2小时54分，因此实际时间为2点54分。 ③ 计算再次显示正确的实际时长：时钟再次显示正确时间，需累计快出12 小时（720 分钟）。每小时快2分钟，设时钟共走y小时，由2y=720得y=360小时。实际时间=360×6058=348小时。 【知识点睛】快慢钟问题需转化为速度比。显示时间与实际时间成正比。要再次显示正确，快钟必须累计快出一个完整周期（12小时）。 20．【答案】24个 解题步骤： ① 从2026年到2125年共100年。 ② 按每4年一个闰年计算，本应有 100 ÷ 4 = 25 个闰年。 ③ 但其中2100年是整百年，它能被100整除但不能被400整除，因此不是闰年。 ④ 实际闰年数：25 - 1 = 24个。 【知识点睛】100年中通常25个闰年，但需检查是否有被100整除但非400整除的年份。2100年不是闰年，故24个。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $