第三单元 数与运算的再认识【（期中复习讲义）导图知识卡片+知识梳理+13个考点讲练+实战演练 共30题】-2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册知识清单培优讲义

nullnull2026-2027学年苏教版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 期中复习知识清单【真题汇编讲练】 第三单元数与运算的再认识 (知识梳理卡片+知识清单+13个重难点考点讲练+实战演练共30题●原卷版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】加减法算理的一致 【重难点考点二】乘除法算理的一致.· 【重难点考点三】除法转化为乘法 模块一 知识梳理 导图指引 思维导图总览 (6)运算定律的应用 常学习小贴士 1)整数、分数和小数的意义及计数单位 交换律：a+b=b+ ◆远算要细心，符号不马虎 整数 计数单位有：个（一）、十、百、千、万4 加法运算律 ★先观察数据特点，再选择合适 1个计数单位表示1。 9 钴合律：(a+b)+c=a+(b+cl 的方法计算： 把整数“1”平均分城若干份，表示这样1份的数 乘法运算律 交换律：axb量bxa ◆养成验算与检查的好习惯 分数 结合律：(a×b)×c=a×(b×c 就是分数单位。例如。的分数单位是。： 色 分配律：(a+b)×c=a×c+b× 小数 小数的计数单位有十分之一百分之一，千分之一… 例如0.1的计数单位是0.1， 六年级上册期中复习 ☆知识重点 第三单元◇ 2)小数、分数和整数的大小比较 ★理解整数、分数、小数的意义及计数单位。 ◆掌据小数、分数和整数的大小比较方法。 (1)先化成相同计数单位，再比较大小。 ★明确乘、除法的意义及逆运算关系 数与运算的再认识 1000>923(1000是10个百，23不是10个百) ★会运用运算定律进行筒便计算。 号>音（先通分：治>货） ★能根据数量关系解决实际问题， 4.7>3.6(先化成相同的小数位数比较) 009900 (2)分数.小数的大小比较方法与整数的大小比较方法 (⑤乘法、除法的意义与关系 有联系，部可以转化为整数的大小比较 乘法的意义：求几个相同加数的和。 4)数的运算与应用 3)数量关系的探索 除法的意义：已知两个因数的积与其中一个 因数，求另一个因数。 四则运算 同资坛算从左时右： (1)求和：把几个数加起米， 4×3 乘、除法的逆运算关系 及混合远算 两级运算先乘除，后加减： (2)求一份数：总数÷份数 先雨线段 a÷b=c(b≠0)5a=exb 有括号先括号内。眉搭号外 (3)求几份数：一份数×份数 再列式计算 a×=c(b≠0)a=e÷ 远算定律善于观察，合理运用运算定律， (4)求一个数的几分之几是多少：这个数×分数。 ax=ca+b=c 简便计算可以使计算简便。 解题关键：找准总量、份数、一份量，明确单位“1”。 明解题技巧 △易错点拨 数的关系一览表 记一记 心审题要清：弄清题中已知条件和所求问题 1,计数单位混：如把0.1的计数单位看成1 数 意义 关系 脑找准单位“1”：明确是把谁看作单位“1” 2,分数大小比较直接比分子分西：应先化成同分母成网分子 整数自修数，0及其换题段欧的领意 心画图辅助：线段图、表格能帮助避清数量关 3.运算顺序错误：忽略括号或先算后乘除 都可以表示数量， 算定律要灵 分数 窗合理运算：先观家数据特点，再选择方法， 4,定律应用不当：如分配律中漏栗或漏加 分数可以短瓦特 心针真不 窗检验结果：代入或逆运算进行验算 5.单位“1”不明确：导致列式错误 小数数分开写的 可以比大水小位 数学学习更轻松 模块二 知识清单温故知新 知识点一数的意义的一致性 第1页共10页 1.核心本质：整数、小数、分数本质意义高度统一，都是用来表示计数单位的累加，所有数都由若干 个基本计数单位组成。 2.整数：以“1”为基本计数单位，10个一是十、10个十是百，是整数计数单位的累加。 3.小数：以十分之一、百分之一、千分之一为计数单位，一位小数表示几个0.1，两位小数表示几个 0.01,依旧是计数单位的累加。 4.分数：以分数单位（几分之一）为基础，几分之几就表示有几个对应的分数单位，和整数、小数的 计数原理完全一致。 5.总结：所有数的构成逻辑相同，只是计数单位大小不同，这是各类数能够统一运算的根本原因。 知识点二加减法算理的一致性 1.统一算理：整数、小数、分数加减法的核心算理完全相同，只有相同计数单位的个数才能直接相加 减。 2.整数加减法：相同数位对齐，保证个位、十位、百位等计数单位统一，再直接相加减。 3.小数加减法：小数点对齐，本质是保证相同数位对齐，统一计数单位后再加减。 4.分数加减法：异分母分数不能直接加减，必须先通分，统一分数单位后，再对分子进行加减。 5.核心规律：所有加减法运算，归根结底都是相同计数单位个数的合并与抵消。 知识点三乘除法算理的一致性 1.乘法统一算理：整数、小数、分数乘法本质都是计数单位个数的倍数运算，核心是求几个相同加数 的和，或是求一个数的几分之几是多少。 2.整数乘法：求几个相同整数的和，是整数计数单位的倍数累加。 3.小数乘法：是求一个数的十分之几、百分之几，本质是小数计数单位的倍数运算。 4.分数乘法：求一个数的几分之几，是分数计数单位的倍数缩放运算。 5.除法统一算理：所有除法本质都是平均分，是已知整体和份数求每份数，或已知整体和每份数求份 第2页共10页 数，是乘法的逆运算，适用于整数、小数、分数。 知识点四除法转化为乘法的核心思想 1.转化法则：小学所有非0数的除法，都可以转化为乘法计算：除以一个不为0的数，等于乘这个数 的倒数。 2.适用范围：该规律通用于整数、小数、分数除法，是四则运算统一的关键依据。 3.具体转化方法：分数除法直接颠倒除数分子分母相乘；小数除法先化成分数再取倒数计算；整数除 法把整数看成分母为1的分数再转化。 4.转化意义：将复杂的除法运算，统一为简便的乘法运算，实现乘除运算互通，简化计算流程、减少 运算错误。 知识点五数与运算整体规律与核心总结 1.数的统一：整数、小数、分数只是计数单位不同，构成原理完全一致，可相互转化、互通运算。 2.运算统一：加减法统一于“相同计数单位相加减”；乘除法统一于“倍数与平均分”，且除法可全 部转化为乘法。 3.解题思维：遇到复杂四则运算，优先统一数的形式、转化运算类型，简化计算，实现灵活简算。 4.易错提醒：牢记只有相同计数单位可直接加减，除法转化乘法时，务必找准除数的倒数，0不能作 为除数和倒数。 模块三 重难点讲练能力提升 【重难点考点一】加减法算理的一致 【典型例题】(26-27五年级上·全国·课后作业)先想一想下面各题的数量关系，再完成相应的计算。 (1)李老师要临摹一幅字帖，已经临摹了249个字，还剩下186个字没有临摹。这幅字帖一共有多少个字？ 应用( )法计算，列式为( ）。 (2)一根电线第一次用去14.8米，第二次用去16.35米，还剩下20.55米。一共用去了( ）米。 第3页共10页 我发现：整数、小数和分数加法的意义都是()的。整数加法的运算法则是相同() 对齐，小数加法是要把( )对齐，而分数加法是要分母相同，总的来说整数、小数和 分数加法都是要把相同()的个数相加。 【举一反三练习1】(24-25五年级下·浙江宁波·期末)本学期我们学习了分数的加减法，很多同学联想 到以前学过的整数加减法、小数加减法，发现整数加减法的“末位对齐”，小数加减法的“小数点对齐” 与分数加减法的“通分”，它们在计算原理上有相同点。它们的相同点是 ( )。 345 345 +23 -23 +-名+- 6 368 曲5 【举一反三练习2】（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)回到家中，夏明和同学小芳电话聊起刚刚 学完的第六单元《分数的加法和减法》，互相提出了一些问题。 数学书上写着“异分母分数相加、减，先通分再按照同分 母分数加、减法进行计算。”这样计算的道理是什么呢？ 夏明 分数加法和整数加法、小数加法在 计算的过程中有什么相同的地方吗？ 小芳 (1)请你以火+钓例回答夏明的问题，写一写“先通分，再计算”的道理。 (2)请你先分别举一个整数加法的竖式例子和一个小数加法的竖式例子，再回答小芳的问题，要写清整数加 法、小数加法和分数加法计算过程中的相同点。 【举一反三练习3】(24-25五年级下·福建漳州·期末)本学期我们学习了分数的加减法，很多同学联想 到以前学过的整数、小数加减法，发现整数加减法的“末位对齐”，小数加减法的“小数点对齐”与分数 加减法的“通分”，这些在计算原理上有相同点，你知道这个相同点吗？请在下面的框中写下来。 345 345 +23 -24.3 ++名 368 115 第4页共10页 【重难点考点二】乘除法算理的一致 【典型例题】(25-26六年级上·山东枣庄·期中)数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。 第1小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 40×20,=(10×4)×(10×2)=(10×10)×(2×4)=100x8 0.4×0.2=(0.1×4)×(0.1×2)=(0.1×0.1)×(4×2)=0.01×8 (1)以×为例写一写第1小组表达分数乘法计算的道理为( )。 (2)观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间的相同之处为 ( )。 【举一反三练习1】(24-25六年级下·山西晋城·期末)沟通算理。 (1)照样子计算。 200×40=(2×100)×(4×10)=(2×4)×(100×10)=8×1000=8000 0.2×0.04=(2×__)×(4×__) =(_×__)×(_×) 24 3x7 =(2×孕×(4×3) =(X)X（X) (2)仔细观察，整数乘法和小数乘法、分数乘法之间有什么相同之处？ 【举一反三练习2】(25-26五年级下·山西临汾·期末)数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算道 理。启思小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 20×30=(10×2)×(10×3)=(10×10)×(2×3)=100×6 0.2×0.3=(0.1×2)×(0.1×3):=0.1×0.1)×(2×3日=0.01×6 (1)启思小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以是×三为例，写一写。 第5页共10页 (2)观察上面几组算式，整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写你的想法。 【重难点考点三】除法转化为乘法 【典型例题】(26-27六年级上·江苏·单元测试)如果设5.6÷0.2=a,请你通过推理说明5.6÷0.2=5.6 ×5。 【举一反三练习1】(26-27六年级上·江苏·单元测试)观察下图的计算过程并按要求填写。 3×5.5.7 7×6+64 ① ② (1)第①步，计算的依据是什么？( )。 (2)第②步，用到的运算律是( )。 (3)算式 处可填( 【举一反三练习2】(24-25六年级下·浙江杭州·期末)小红小时走了千米，要求她平均每小时走多少 千米。下面是小明的计算过程，为什么“÷号”可以写成“×”？请你说明理由（可以画一画或算一算或写 一写)。 :2=x3= 5 63= 6 4 (千米) ”2 为什么写成“X2 第6页共10页 模块四 优选真题实战演练 1.(26-27六年级上·江苏·周测)子号和品这三个分数中，〈 )的计数单位最大。 A.月 B. c.石 2.(24-25六年级下·福建莆田·期末)在探索÷2时，用商不变的规律进行思考的是( )。 A.把6个平均分成两份，每份就是3个子也就是。 B.把平均分成两份，每份就是的，也就是×= c.2=(（×)÷(2x)=×=。 D.÷2=69=30 3.(25-26六年级下·河北邢台·期末)下列说法错误的是( )。 A.8534267中的“8”表示8个百万 B.0.572中的“7”表示7个0.01 C.中的“2”表示2个一 4.(23-24五年级下·山西晋中·期中)数学家华罗庚提出：“数是数出来的”，回忆我们已经学过的整 数、小数、分数，我们在数这些数时都是在数( )的个数。 A.数位 B.计数单位 C.分子 5.(26-27六年级上·江苏·单元测试)人工智能语音助手播报了一个小数0.254，关于这个数，下面表 述不正确的是( )。 A.由254个0.001组成 B.由2个0.1,5个0.01和4个0.001组成 C.是把整数“1”平均分成100份，表示这样的254份 D.将0.254精确到十分位是0.3 6.(26-27六年级上·江苏·单元测试)下面算式中的图形口表示被遮住的一个数字，计算结果比1小的 是( )。 A.0.47+0.6☐ B.11.1-9.☐9 C.5.89-4.9☐ D.12.2☐-10.2 7.(26-27六年级上·江苏·单元测试)小华在某购物平台购买了一个橡皮礼包，观察竖式和情境图，下 面说法错误的是( ）。 第7页共10页 0.46 209.20 80 皮 120 120 20块/袋 9.20元/袋 0 A.每块橡皮大约0.5元 B.竖式中的“120”相当于120分 C. 商中的“6”相当于6角 D.商中的“4”表示4个0.1 8. (25-26五年级下·湖南邵阳·期末) 3个() （,)(,)个 4 3 4 有人说：数是数出来的。分数也一样，先在括号里填合适的数，再思考：上面直线上的分数，都可以看成 是用( )作单位数出来的。 9.(25-26六年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末)学完分数乘法后，研研将整数、小数、分数乘法进行了如 图所示关联、思考。 30×40=(10×3)×(10×4)=(10×10)×(3×4)=1200 3个十4个十 新的计数单位 12个百 0.3×0.4=(0.1×3)×(0.1×4)=(0.1×0.1)×(3×4)=0.12 3个0.14个0.1 新的计数单位 12个0.01 根据研研的思考，想一想怎样表达分数乘法的道理？ 请以×为例，写一写。 x含（一×一）×(-×一)=(-×-)×（一×-）=一· 10.(25-26六年级上·福建福州·阶段检测)关于整数、小数和分数除法计算的道理，小明写出了三道算 式进行研究： 12÷4=12× 1.2÷0.4 4 =12*号 =3 =3 =12×2 第8页共10页 =3 观察以上算式，我认为它们的计算道理 (填“相同”或“不同”)，理由是： 、 11.(24-25六年级上·山西晋中·期中)学习了分数除法后，乐乐将其与整数除法和小数除法放在一起进 行比较。 ①290÷25÷4=290÷(25×4)=290÷100=2.9 ②56.8÷0.5÷0.2=56.8÷(0.5×0.2)=56.8÷0.1=568 ®%÷*}=名*( )=÷( )=( 通过计算、比较，我们可以发现这些算式都用到了除法的性质，用字母表示为( 12.(24-25五年级下·山东烟台·期末)7000是由( )个千组成的，0.09是由( )个0.01 组成的，是由( )个组成的。整数、小数、分数都是由各自的计数单位累加而成的。 13.(26-27六年级上·江苏连云港·阶段检测)0.6=《。）=18÷( 5 )=( ）:10 =( )%=( )成。 14.(26-27六年级上·江苏连云港·阶段检测)丽丽把一个小数的小数点向左移动一位，发现比原来的数 小72.9，原来的数是( ）。 15.(26-27六年级上·江苏·周测)填一填，观察下面各题中积的计数单位和计数单位的个数。 A:20×3 B:×3 C:200×30 D:x星 =(100×2)×(10 =(10×2)×3 =(Gx2×3 ×3) -(G×2)xG×3) =10×6 1 1 =5×6 =1000×6 206 (1)观察上面的算式，积的计数单位的个数都是( )×( )的积。 (2)A和B的积的计数单位都和第一个乘数的计数单位( )。(填“相同”或“不同”) (3)C和D的积的计数单位是( )的乘积。 16.（26-27六年级上·江苏·单元测试)积的计数单位和两个乘数的计数单位完全相同。( )(判 断对错) 17.整数加减、小数加减、分数加减的共同之处：都是相同计数单位个数的累加和递减。( )(判 断对错) 18.（26-27六年级上·江苏·单元测试)琳琳一家在逛商场时，看到一套厨具，其中有汤锅、奶锅和炒锅， 爸爸让琳琳比较一下它们的价格。汤锅比奶锅贵多少元？汤锅比炒锅便宜多少元？ 第9页共10页 汤锅129.8元 奶锅87.6元 炒锅236.45元 19.(26-27六年级上·江苏·单元测试)逛累了，他们去陕西特色小吃店吃午饭，点了渭南时辰包子。店 里师傅说：“做1个包子需要面粉0千克。”琳琳妈妈早上刚买了一袋5千克的面粉，她决定用去这袋面粉 的做时辰包子。琳琳妈妈能做多少个包子呢？ 20.(24-25六年级下·山东潍坊·期末)(1)在长方形中画一画、涂一涂，表示出×计算的道理和结 果。 (2)在复习数的运算时，同学们把整数、小数和分数乘法放在一起比较，研究它们的算理： ①20×40=(2×10)×(4×10)=(2×4)×(10×10)=8×100=800 ②0.2×0.4=(2×0.1)×(4×0.1)=(2×4)×(0.1×0.1)=8×0.01=0.08 根据以上两个算式，你能写一写下面的算式吗？ ③号×号 第10页共10页 2026-2027学年苏教版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 期中复习知识清单【真题汇编讲练】 第三单元 数与运算的再认识 （知识梳理卡片+知识清单+13个重难点考点讲练+实战演练 共30题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】加减法算理的一致 4 【重难点考点二】乘除法算理的一致 7 【重难点考点三】除法转化为乘法 10 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 知识点一 数的意义的一致性 1. 核心本质：整数、小数、分数本质意义高度统一，都是用来表示计数单位的累加，所有数都由若干个基本计数单位组成。 2. 整数：以“1”为基本计数单位，10个一是十、10个十是百，是整数计数单位的累加。 3. 小数：以十分之一、百分之一、千分之一为计数单位，一位小数表示几个0.1，两位小数表示几个0.01，依旧是计数单位的累加。 4. 分数：以分数单位（几分之一）为基础，几分之几就表示有几个对应的分数单位，和整数、小数的计数原理完全一致。 5. 总结：所有数的构成逻辑相同，只是计数单位大小不同，这是各类数能够统一运算的根本原因。 知识点二 加减法算理的一致性 1. 统一算理：整数、小数、分数加减法的核心算理完全相同，只有相同计数单位的个数才能直接相加减。 2. 整数加减法：相同数位对齐，保证个位、十位、百位等计数单位统一，再直接相加减。 3. 小数加减法：小数点对齐，本质是保证相同数位对齐，统一计数单位后再加减。 4. 分数加减法：异分母分数不能直接加减，必须先通分，统一分数单位后，再对分子进行加减。 5. 核心规律：所有加减法运算，归根结底都是相同计数单位个数的合并与抵消。 知识点三 乘除法算理的一致性 1. 乘法统一算理：整数、小数、分数乘法本质都是计数单位个数的倍数运算，核心是求几个相同加数的和，或是求一个数的几分之几是多少。 2. 整数乘法：求几个相同整数的和，是整数计数单位的倍数累加。 3. 小数乘法：是求一个数的十分之几、百分之几，本质是小数计数单位的倍数运算。 4. 分数乘法：求一个数的几分之几，是分数计数单位的倍数缩放运算。 5. 除法统一算理：所有除法本质都是平均分，是已知整体和份数求每份数，或已知整体和每份数求份数，是乘法的逆运算，适用于整数、小数、分数。 知识点四 除法转化为乘法的核心思想 1. 转化法则：小学所有非0数的除法，都可以转化为乘法计算：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 2. 适用范围：该规律通用于整数、小数、分数除法，是四则运算统一的关键依据。 3. 具体转化方法：分数除法直接颠倒除数分子分母相乘；小数除法先化成分数再取倒数计算；整数除法把整数看成分母为1的分数再转化。 4. 转化意义：将复杂的除法运算，统一为简便的乘法运算，实现乘除运算互通，简化计算流程、减少运算错误。 知识点五 数与运算整体规律与核心总结 1. 数的统一：整数、小数、分数只是计数单位不同，构成原理完全一致，可相互转化、互通运算。 2. 运算统一：加减法统一于“相同计数单位相加减”；乘除法统一于“倍数与平均分”，且除法可全部转化为乘法。 3. 解题思维：遇到复杂四则运算，优先统一数的形式、转化运算类型，简化计算，实现灵活简算。 4. 易错提醒：牢记只有相同计数单位可直接加减，除法转化乘法时，务必找准除数的倒数，0不能作为除数和倒数。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】加减法算理的一致 【典型例题】（26-27五年级上·全国·课后作业）先想一想下面各题的数量关系，再完成相应的计算。 （1）李老师要临摹一幅字帖，已经临摹了249个字，还剩下186个字没有临摹。这幅字帖一共有多少个字？应用（    ）法计算，列式为（ ）。 （2）一根电线第一次用去14.8米，第二次用去16.35米，还剩下20.55米。一共用去了（    ）米。 我发现：整数、小数和分数加法的意义都是（ ）的。整数加法的运算法则是相同（ ）对齐，小数加法是要把（ ）对齐，而分数加法是要分母相同，总的来说整数、小数和分数加法都是要把相同（ ）的个数相加。 【答案】（1）加；（个） （2）31.15 相同；数位；小数点；计数单位 【思路引导】（1）字帖总字数等于已临摹字数加未临摹字数，所以判断用加法运算，对应列出两数相加的式子即可。 （2）一共用去的长度等于两次用去的长度之和，所以将两次用去的长度相加求解。 规律部分：整数、小数、分数加法的核心含义都是把几个部分的数量合并成总数，意义是一样的。计算的时候整数要把相同数位对齐，小数要先对齐小数点（对齐小数点就自动对齐了相同数位），异分母分数要先通分变成同分母分数，本质都是为了让相同计数单位的数量直接相加。 【规范解答】（1）字帖总字数＝已经临摹的字数＋没临摹的字数，把两部分合并成一个总数用加法计算。 列式为： （个） （2）（米） 我发现：整数、小数和分数加法的意义都是（ 相同 ）的。整数加法的运算法则是相同（ 数位 ）对齐，小数加法是要把（ 小数点 ）对齐，而分数加法是要分母相同，总的来说整数、小数和分数加法都是要把相同（ 计数单位 ）的个数相加。 【举一反三练习1】（24-25五年级下·浙江宁波·期末）本学期我们学习了分数的加减法，很多同学联想到以前学过的整数加减法、小数加减法，发现整数加减法的“末位对齐”，小数加减法的“小数点对齐”与分数加减法的“通分”，它们在计算原理上有相同点。它们的相同点是( )。 【答案】相同计数单位才能相加减 【思路引导】整数加减法：末位对齐，目的就是把相同数位对齐，保证几个一和几个一相加、几个十和几个十相加（计数单位相同）。 小数加减法：小数点对齐，也就是相同数位对齐，保证十分位和十分位、百分位和百分位相加减（计数单位相同）。 分数加减法：通分，把异分母分数变成同分母分数，分数单位（计数单位）一样之后，分子才能直接相加减。 【规范解答】由分析可知，三者本质：统一计数单位，再把单位的个数进行加减。 所以它们在计算原理上有相同点。它们的相同点是相同计数单位才能相加减。 （答案不唯一，意思表达清楚即可） 【举一反三练习2】（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）回到家中，夏明和同学小芳电话聊起刚刚学完的第六单元《分数的加法和减法》，互相提出了一些问题。 (1)请你以为例回答夏明的问题，写一写“先通分，再计算”的道理。 (2)请你先分别举一个整数加法的竖式例子和一个小数加法的竖式例子，再回答小芳的问题，要写清整数加法、小数加法和分数加法计算过程中的相同点。 【答案】(1)里面有2个，里面有3个，计数单位不一样，无法直接相加； 先通分，表示10个加上9个等于19个。因此只有分数单位相同的分数才能相加减。 (2)整数加法：120＋35＝155，在计算时，个位上的0和5要对齐，十位上的2和3要对齐，即几个一和几个一相加，几个十和几个十相加； 小数加法：3.5＋2.1＝5.6，在计算时，十分位上的5和1对齐，个位上的3和2对齐，即几个0.1和几个0.1相加，几个一和几个一相加； 相同点：整数加法、小数加法和分数加法在计算过程中，都是把相同计数单位的数相加。（答案不唯一） 【思路引导】（1）分数加减法的本质是计数单位的加减。异分母分数的分数单位不同，不能直接相加减，需要通过通分将它们化成同分母分数，使分数单位相同后再计算。 （2）整数加法要求相同数位对齐，小数加法要求小数点对齐，分数加法要求先通分。这三种运算的共同点在于都是将相同计数单位的数进行相加。解题时需结合具体例子说明这一算理。 【举一反三练习3】（24-25五年级下·福建漳州·期末）本学期我们学习了分数的加减法，很多同学联想到以前学过的整数、小数加减法，发现整数加减法的“末位对齐”，小数加减法的“小数点对齐”与分数加减法的“通分”，这些在计算原理上有相同点，你知道这个相同点吗？请在下面的框中写下来。 【答案】 计算整数、小数和分数加减法，都是把相同计数单位的数相加减。 （答案不唯一） 【思路引导】计算整数、小数加减法时，都是把相同数位对齐，因为相同数位的数的计数单位相同，再把相同数位上的数字（即相同计数单位的数）相加减；计算分数加减法时，如果分母相同，则只把分子相加减，分母不变，因为分母相同，就是分数单位相同，只需把分子（即相同计数单位的数）相加减；如果分母不同，则先通分成同分母分数，再把分子（即相同计数单位的数）相加减。据此解答。 【规范解答】略 【重难点考点二】乘除法算理的一致 【典型例题】（25-26六年级上·山东枣庄·期中）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。第1小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 (1)以为例写一写第1小组表达分数乘法计算的道理为( )。 (2)观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间的相同之处为( )。 【答案】(1)将分数拆分为“计数单位×个数”的形式：可拆为×2，可拆为×5；根据乘法交换律和结合律，将计数单位与个数分别相乘得（）×（2×5）。 (2)都是先把数拆分为“计数单位×个数”的形式，再利用乘法交换律和结合律，分别计算“计数单位的乘积”和“个数的乘积”，最后将两部分结果相乘。 【思路引导】（1）在计算40×20时，因数40表示4个十，把40改写成10×4；因数20表示2个十，把20改写成10×2；然后根据乘法交换律和乘法结合律，把整数与整数相乘，计数单位与计数单位相乘；据此把整数乘法转化为整数乘计数单位的形式进行计算。在计算0.4×0.2时，因数0.4表示4个0.1，把0.4改写成0.1×4；因数0.2表示2个0.1，把0.2改写成0.1×2；然后根据乘法交换律和乘法结合律，把整数与整数相乘，计数单位与计数单位相乘；据此把小数乘法转化为整数乘计数单位的形式进行计算。 参考整数、小数乘法的拆分思路，将分数拆分为“计数单位×个数”的形式：可拆为×2，可拆为×5；根据乘法交换律和结合律，将计数单位与个数分别相乘得（）×（2×5）。 （2）整数、小数、分数乘法的计算道理，都是先把数拆分为“计数单位×个数”的形式，再利用乘法交换律和结合律，分别计算“计数单位的乘积”和“个数的乘积”，最后将两部分结果相乘。 【规范解答】（1） ＝（）×（） ＝（）×（2×5） ＝×10 ＝ 计算道理为：将分数拆分为“计数单位×个数”的形式：可拆为×2，可拆为×5；根据乘法交换律和结合律，将计数单位与个数分别相乘得（）×（2×5）。 （2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间的相同之处都是先把数拆分为“计数单位×个数”的形式，再利用乘法交换律和结合律，分别计算“计数单位的乘积”和“个数的乘积”，最后将两部分结果相乘。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·山西晋城·期末）沟通算理。 (1)照样子计算。 200×40＝（2×100）×（4×10）＝（2×4）×（100×10）＝8×1000＝8000 0.2×0.04＝（2×____）×（4×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ ＝（2×）×（4×） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ (2)仔细观察，整数乘法和小数乘法、分数乘法之间有什么相同之处？ 【答案】(1) (2)整数乘法、小数乘法、分数乘法都运用了乘法结合律和乘法交换律，本质都是先把各个数的“计数单位的个数”相乘，再把“计数单位”相乘，最后将两个结果相乘。 【思路引导】（）观察的计算过程，将拆成（），拆成（），即把一个数拆成计数单位个数乘相应计数单位的形式，再根据乘法交换律和乘法结合律，转化成（）×（），先算“计数单位个数”和的乘积，再算“计数单位和的乘积，最后将两部分结果相乘；将转化成，转化成，然后先求与的积和与的积，最后将两次乘得的积相乘；将转化成，转化成，然后先求与的积和与的积，最后将两次乘得的积相乘； （）整数乘法、小数乘法和分数乘法都运用了乘法结合律和乘法交换律，本质都是先把各个数的“计数单位的个数”相乘，再把“计数单位”相乘，最后将两个结果相乘。 【规范解答】（1）0.2×0.04＝（2×）×（4×） ＝（×）×（×） ＝× ＝ ＝（2×）×（4×） ＝（×）×（×） ＝× ＝ 【举一反三练习2】（25-26五年级下·山西临汾·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算道理。启思小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 (1)启思小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以为例，写一写。 (2)观察上面几组算式，整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写你的想法。 【答案】(1) (2)都是拆分为“计数单位×个数”，分别计算计数单位的乘积与个数的乘积，最后将两部分结果相乘。（答案不唯一） 【思路引导】（1）参考整数、小数乘法的拆分思路，将分数拆分为“计数单位×个数”的形式：可拆为，可拆为；根据乘法交换律和结合律，将计数单位与个数分别相乘得。 （2）整数、小数、分数乘法的计算道理，都是先把数拆分为“计数单位×个数”的形式，再利用乘法交换律和结合律，分别计算“计数单位的乘积”和“个数的乘积”，最后将两部分结果相乘。（答案不唯一） 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2）分别计算“计数单位的乘积”和“个数的乘积”，最后将两部分结果相乘。（答案不唯一） 【重难点考点三】除法转化为乘法 【典型例题】（26-27六年级上·江苏·单元测试）如果设5.6÷0.2＝a，请你通过推理说明5.6÷0.2＝5.6×5。 【答案】5.6÷0.2＝a，根据商不变的规律得：（5.6×5）÷（0.2×5）＝a，因为0.2×5＝1，则5.6×5÷1＝a，即5.6×5＝a；所以5.6÷0.2＝5.6×5。 【思路引导】要验证5.6÷0.2与5.6×5相等，可利用商不变的规律，让5.6÷0.2的被除数和除数同时乘5，商不变，将除数0.2转化为1，再结合“一个数除以1等于它本身”，进而把除法算式转化为乘法形式。 【规范解答】略 【举一反三练习1】（26-27六年级上·江苏·单元测试）观察下图的计算过程并按要求填写。 (1)第①步，计算的依据是什么？( )。 (2)第②步，用到的运算律是( )。 (3)算式处可填( )。 【答案】(1)除以一个数等于乘这个数的倒数 (2)乘法分配律 (3) 【思路引导】（1）第①步是分数与分数的除法，一个数除以分数等于一个数乘这个分数的倒数，再根据分数乘法的计算方法计算即可。 （2）乘法分配律是指两个数的和（或差）与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加（或相减）‌。 （3）计算出结果填写方框中。先算小括号中的加法，再算括号外的乘法。 【规范解答】（1）计算的依据是一个数除以分数等于一个数乘这个分数的倒数。 （2）用到的运算定律是乘法分配律。 （3） = = 所以算式处可填。 【举一反三练习2】（24-25六年级下·浙江杭州·期末）小红小时走了千米，要求她平均每小时走多少千米。下面是小明的计算过程，为什么“”可以写成“”？请你说明理由（可以画一画或算一算或写一写）。 【答案】 先求出小时走了多少千米：因为小时里有2个小时，所以1个小时走的路程是千米的，即；再求1小时走多少千米：因为1小时是3个小时，所以1小时走的路程就是小时走的3倍，即。根据乘法结合律，可得。 【思路引导】画图说明：先画一条线段表示1小时走的路程，平均分成3份，其中的1份表示小时走的路程，其中的2份表示小时走了千米。 已知小红小时走了千米，根据“速度＝路程÷时间”可列出算式为； 从分数单位的定义可知，小时里有2个小时，1小时里有3个小时；先求出1个小时走的路程，再乘3即是1小时走的路程；据此列出算式，根据乘法结合律得出，由此推导出。 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27六年级上·江苏·周测）、和这三个分数中，（    ）的计数单位最大。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，就是分数的计数单位，也叫分数单位。分别确定、和的计数单位；根据分子相同的分数，分母越小，分数越大，据此判断即可。 【规范解答】的计数单位是 的计数单位是 的计数单位是 因为 所以 综上所述，的计数单位最大；A选项符合题意。 2．（24-25六年级下·福建莆田·期末）在探索时，用商不变的规律进行思考的是（    ）。 A．把6个平均分成两份，每份就是3个，也就是。 B．把平均分成两份，每份就是的，也就是。 C．。 D．。 【答案】C 【思路引导】商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。据此判断。 【规范解答】A．以为分数单位，将理解为6个，即；平均分成两份，6÷2＝3，每份就是3个，即，是乘法的意义，不是商不变规律。 B． 根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”，将分数除法转化为分数乘法进行计算，不是商不变规律。 C． 被除数和除数2同时乘，符合商不变规律。 D． 根据分数除以整数的计算方法，分母不变，分子除以整数，不是商不变规律。 3．（25-26六年级下·河北邢台·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．8534267中的“8”表示8个百万 B．0.572中的“7”表示7个0.01 C．中的“2”表示2个一 【答案】C 【思路引导】整数的数位从右往左依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位……；小数的数位从小数点往右依次是十分位、百分位、千分位……，对应的计数单位分别是0.1、0.01、0.001……；分数的分子表示含有分数单位的个数，分母表示把单位"1"平均分成的份数。据此解答。 【规范解答】A． 8534267是七位数，最高位是百万位，数字“8”在百万位上，表示8个百万，此选项正确； B． 0.572中，数字“7”在小数点后的第二位，即百分位上，百分位的计数单位是0.01，表示7个0.01，此选项正确； C． 是把单位“1”平均分成9份，表示其中的2份，分数单位是，分子“2”表示有2个，而不是2个一，此选项错误。 4．（23-24五年级下·山西晋中·期中）数学家华罗庚提出：“数是数出来的”，回忆我们已经学过的整数、小数、分数，我们在数这些数时都是在数（    ）的个数。 A．数位 B．计数单位 C．分子 【答案】B 【思路引导】整数的计数单位是1，10，100，1000……；小数的计数单位是0.1，0.01，0.001……；分数的计数单位是，，……，所以我们在数这些数的时候都是在数计数单位的个数，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 我们已经学过的整数、小数、分数，我们在数这些数时都是在数计数单位的个数。 故答案为：B 5．（26-27六年级上·江苏·单元测试）人工智能语音助手播报了一个小数0.254，关于这个数，下面表述不正确的是（    ）。 A．由254个0.001组成 B．由2个0.1，5个0.01和4个0.001组成 C．是把整数“1”平均分成100份，表示这样的254份 D．将0.254精确到十分位是0.3 【答案】C 【思路引导】根据数位顺序表可知，小数点的左边是整数位，小数整数部分的数位与整数的数位相同，依次是个位、十位、百位、千位……，对应的计数单位分别是一、十、百、千……；小数点的右边是小数位，依次是十分位、百分位、千分位……，对应的计数单位分别是十分之一或0.1、百分之一或0.01、千分之一或0.001……；数位上是几，就表示有几个这样的计数单位。 小数的近似数：根据“四舍五入”求近似数的方法，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【规范解答】A．由254个0.001组成的小数是0.254，表述正确。 B．由2个0.1，5个0.01和4个0.001组成的小数是0.254，表述正确。 C．把整数“1”平均分成100份，每份是0.01，254份对应的数为2.54，而非0.254，表述错误。 D．0.254精确到十分位，观察百分位是5，向十分位进1，结果为0.3，表述正确。 6．（26-27六年级上·江苏·单元测试）下面算式中的图形□表示被遮住的一个数字，计算结果比1小的是（    ）。 A．0.47＋0.6□ B．11.1－9.□9 C．5.89－4.9□ D．12.2□－10.2 【答案】C 【思路引导】分别计算各选项的极端情况的结果，判断是否一定小于1即可。加法找最小的和，减法找最小的差，若最小的结果都大于1则不符合要求，若最大的结果都小于1则符合要求。 【规范解答】A．0.6□最小是0.60，和为，，不符合题意。 B．9.□9最大是9.99，差为，，不符合题意。 C．4.9□最大是4.99，差为；4.9□最小是4.90，差为，两个结果均小于1，符合题意。 D．12.2□最小是12.20，差为，，不符合题意。 7．（26-27六年级上·江苏·单元测试）小华在某购物平台购买了一个橡皮礼包，观察竖式和情境图，下面说法错误的是（    ）。 A．每块橡皮大约0.5元 B．竖式中的“120”相当于120分 C．商中的“6”相当于6角 D．商中的“4”表示4个0.1 【答案】C 【思路引导】20块橡皮总价9.20元，计算每块橡皮价格9.20÷20＝0.46元，逐个判断选项。 【规范解答】A．0.46元大约0.5元，说法正确。 B．竖式里120表示120个0.01元，等于120分，说法正确。 C．商0.46，6在百分位，表示6分，不是6角，说法错误。 D．商中的4在十分位，表示4个0.1，说法正确。 8．（25-26五年级下·湖南邵阳·期末） 有人说：数是数出来的。分数也一样，先在括号里填合适的数，再思考：上面直线上的分数，都可以看成是用（    ）作单位数出来的。 【答案】；4；； 【思路引导】根据分数的意义，图中直线上把1个单位长度平均分成4份；在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位，每个分数的分子都可以表示分数单位的个数，据此数一数。 【规范解答】 上面直线上的分数，都可以看成是用作单位数出来的。 9．（25-26六年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）学完分数乘法后，研研将整数、小数、分数乘法进行了如图所示关联、思考。 根据研研的思考，想一想怎样表达分数乘法的道理？ 请以为例，写一写。 （____×____）×（____×____）＝（____×____）×（____×____）＝____。 【答案】 2 4 2 4 【思路引导】分析题目，30表示3个十，40表示4个十，据此把30×40写成（10×3）×（10×4），再利用乘法交换律和乘法结合律写成（10×10）×（3×4）；0.3表示3个0.1，0.4表示4个0.1，据此把0.3×0.4写成（0.1×3）×（0.1×4），再利用乘法交换律和乘法结合律写成（0.1×0.1）×（3×4）；据此根据表示2个，表示4个，结合前面的计算方法计算即可。 【规范解答】＝＝＝ 10．（25-26六年级上·福建福州·阶段检测）关于整数、小数和分数除法计算的道理，小明写出了三道算式进行研究： 观察以上算式，我认为它们的计算道理______（填“相同”或“不同”），理由是：________________。 【答案】 相同 均遵循“除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数”的原理 【思路引导】分别分析整数除法，小数除法，分数除法的计算道理即可。 分析整数除法的计算道理：对于整数除法12÷4，将其转化为，这里4的倒数是，即； 分析小数除法的计算道理：对于小数除法1.2÷0.4，将0.4转化为，那么1.2÷0.4就变为，将其转化为，这里是的倒数，即； 分析分数除法的计算道理：对于分数除法，将其转化为，这里是的倒数，即。 由此可见，这三个算式均遵循“除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数”的原理。 【规范解答】观察以上算式，我认为它们的计算道理相同，理由是：均遵循“除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数”的原理。 11．（24-25六年级上·山西晋中·期中）学习了分数除法后，乐乐将其与整数除法和小数除法放在一起进行比较。 ①290÷25÷4＝290÷（25×4）＝290÷100＝2.9 ②56.8÷0.5÷0.2＝56.8÷（0.5×0.2）＝56.8÷0.1＝568 ③( )＝÷( )＝( ) 通过计算、比较，我们可以发现这些算式都用到了除法的性质，用字母表示为( )。 【答案】 （×） 【思路引导】根据除法性质可知，一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积，用字母表示：，由此求解。 ①290÷25÷4＝290÷（25×4）＝290÷100＝2.9 ②56.8÷0.5÷0.2＝56.8÷（0.5×0.2）＝56.8÷0.1＝568 ③前两个算式都根据除法性质计算，同理，是连续除以两个分数，等于除以后两个分数之积。 【规范解答】 则＝÷（×）＝÷＝，通过计算、比较，我们可以发现这些算式都用到了除法的性质，用字母表示为。 12．（24-25五年级下·山东烟台·期末）7000是由( )个千组成的，0.09是由( )个0.01组成的，是由( )个组成的。整数、小数、分数都是由各自的计数单位累加而成的。 【答案】 7 9 5 【思路引导】对于整数，计数单位是“千”“百”“十”等，7000的计数单位是“千”。 对于小数，0.09是两位小数，计数单位是0.01。 对于分数，的计数单位是。 【规范解答】7000的计数单位是“千”，所以7000是由7个千组成的。 0.09的计数单位是0.01，所以0.09是由9个0.01组成的。 的计数单位是，所以是由5个组成的。 13．（26-27六年级上·江苏连云港·阶段检测）0.6＝＝18÷（    ）＝（    ）∶10＝（    ）％＝（    ）成。 【答案】3；30；6；60；六 【思路引导】将小数0.6化成分数，0.6＝，约分后得； 根据分数与除法的关系，＝3÷5。被除数由3变为18，扩大到原来的6倍。根据商不变性质，除数也应扩大到原来的6倍，即5×6＝30； 根据分数与比的关系，＝3：5，后项由5变为10，扩大到原来的2倍。根据比的基本性质，前项也应扩大到原来的2倍，即3×2＝6； 将小数0.6化成百分数，把小数点向右移动两位，同时添上百分号，即60%； 成数表示一个数是另一个数的十分之几。60%＝，即十分之六，写作“六成”。 【规范解答】0.6＝＝18÷（30）＝（6）∶10＝（60）％＝（六）成。 14．（26-27六年级上·江苏连云港·阶段检测）丽丽把一个小数的小数点向左移动一位，发现比原来的数小72.9，原来的数是( )。 【答案】81 【思路引导】根据小数点移动引起小数大小变化的规律，小数点向左移动一位，这个数就缩小到原来的，即原来的数是移动后数的10倍。原来的数比移动后的数大72.9，这72.9对应的是原来数与移动后数的倍数差，即（10－1）倍。据此先求出移动后的数，再乘10求出原来的数。 【规范解答】72.9÷（10－1）×10 ＝72.9÷9×10 ＝8.1×10 ＝81 原来的数是81。 15．（26-27六年级上·江苏·周测）填一填，观察下面各题中积的计数单位和计数单位的个数。 A： B： C： D： (1)观察上面的算式，积的计数单位的个数都是( )×( )的积。 (2)A和B的积的计数单位都和第一个乘数的计数单位( )。（填“相同”或“不同”） (3)C和D的积的计数单位是( )的乘积。 【答案】(1) 2 3 (2)相同 (3)两个乘数各自的计数单位 【思路引导】（1）观察4道算式的最后一步，都是用一个计数单位去乘6，而6刚好是原来两个乘数里包含的计数单位个数2和3相乘得到的，所以积的计数单位的个数都是2×3的积。 （2）A里第一个乘数20的计数单位是10，最后积的计数单位也是10；B里第一个乘数的计数单位是，最后积的计数单位也是，所以它们积的计数单位都和第一个乘数的计数单位相同。 （3）C里两个乘数的计数单位分别是100和10，积的计数单位1000刚好是100×10的结果；D里两个乘数的计数单位分别是和，积的计数单位刚好是的结果，所以C和D积的计数单位是两个乘数各自的计数单位的乘积。 【规范解答】（1）观察上面的算式，积的计数单位的个数都是2×3的积。 （2）A和B的积的计数单位都和第一个乘数的计数单位相同。 （3）C和D的积的计数单位是两个乘数各自的计数单位的乘积。 16．（26-27六年级上·江苏·单元测试）积的计数单位和两个乘数的计数单位完全相同。( ) 【答案】× 【思路引导】因为积的计数单位由两个乘数的计数单位共同决定，所以需要结合整数、小数等不同类型数乘法的计数单位变化情况，判断该表述是否符合普遍规律；据此解答。 【规范解答】整数乘法：20×30＝600，20的计数单位是10，30的计数单位是10，计数单位相乘：10×10＝100，积600的计数单位是100； 小数乘法：0.2×0.3＝0.06，0.2的计数单位是0.1，0.3的计数单位是0.1，计数单位相乘：0.1×0.1＝0.01，积0.06的计数单位是0.01； 分数乘法：，乘数的计数单位分别是、，相乘得到新的计数单位是，积的计数单位是； 综上所述，说法错误。 故答案为：× 17．（22-23五年级下·山东滨州·期中）整数加减、小数加减、分数加减的共同之处：都是相同计数单位个数的累加和递减。( ) 【答案】√ 【思路引导】整数加减法的计算法则是相同数位对齐再相加减；小数加减法的计算法则是小数点对齐，相同数位上面的数字相加减；分数加减法的计算法则是先通分，把分数单位不同的分数化为分数单位相同的分数，再按照分母不变，分子相加减的方法计算，据此解答。 【规范解答】分析可知，整数、小数、分数加减法的计算法则看上去不同，但本质是一样的，都是相同计数单位个数相加减，如：21＋40＝61，3.6＋7.2＝10.8，＝＝＝。 故答案为：√ 【考点剖析】掌握整数、小数、分数加减法的计算方法是解答题目的关键。 18．（26-27六年级上·江苏·单元测试）琳琳一家在逛商场时，看到一套厨具，其中有汤锅、奶锅和炒锅，爸爸让琳琳比较一下它们的价格。汤锅比奶锅贵多少元？汤锅比炒锅便宜多少元？ 【答案】贵42.2元；便宜106.65元 【思路引导】求汤锅比奶锅贵多少，用汤锅价格减去奶锅价格；求汤锅比炒锅便宜多少，用炒锅价格减去汤锅价格。 【规范解答】129.8－87.6＝42.2（元） 236.45－129.8＝106.65（元） 答：汤锅比奶锅贵42.2元，汤锅比炒锅便宜106.65元。 19．（26-27六年级上·江苏·单元测试）逛累了，他们去陕西特色小吃店吃午饭，点了渭南时辰包子。店里师傅说：“做1个包子需要面粉千克。”琳琳妈妈早上刚买了一袋5千克的面粉，她决定用去这袋面粉的做时辰包子。琳琳妈妈能做多少个包子呢？ 【答案】25个 【思路引导】先算出用于做包子的面粉质量，再用做包子的面粉总质量除以做1个包子需要的面粉质量，即可求出能做的包子数量。 【规范解答】计算做包子用的面粉质量：（千克） 计算能做的包子数量： （个） 答：琳琳妈妈能做25个包子呢。 20．（24-25六年级下·山东潍坊·期末）（1）在长方形中画一画、涂一涂，表示出计算的道理和结果。 （2）在复习数的运算时，同学们把整数、小数和分数乘法放在一起比较，研究它们的算理： ①20×40＝（2×10）×（4×10）＝（2×4）×（10×10）＝8×100＝800 ②0.2×0.4＝（2×0.1）×（4×0.1）＝（2×4）×（0.1×0.1）＝8×0.01＝0.08 根据以上两个算式，你能写一写下面的算式吗？ ③＝ 【答案】（1） （2）＝（2×）×（4×）＝（2×4）×（）＝8×＝ 【思路引导】（1）把长方形平均分成3行，将其中的2行涂上一种颜色（比如灰色），这表示长方形的。把已经涂灰色的这部分再平均分成5列，将其中的4列涂上另一种颜色（比如绿色）。此时，绿色部分就表示的，也就是。从图中可以直观地看到，整个长方形被平均分成了3×5＝15份，绿色部分占了2×4＝8份，所以＝。 （2）从已知算式可知，整数乘法、小数乘法，可以先把乘数看成有几个计数单位，然后把计数单位的个数和计数单位分别相乘，得到的积再相乘。 【规范解答】（1）＝，图略。 （2）可以把看成2×，把看成4×，再根据乘法交换律和结合律计算即可。 ＝（2×）×（4×）＝（2×4）×（）＝8×＝ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏教版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」 期中复习知识清单【真题汇编讲练】 第三单元 数与运算的再认识 （知识梳理卡片+知识清单+13个重难点考点讲练+实战演练 共30题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】加减法算理的一致 3 【重难点考点二】乘除法算理的一致 5 【重难点考点三】除法转化为乘法 6 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 知识点一 数的意义的一致性 1. 核心本质：整数、小数、分数本质意义高度统一，都是用来表示计数单位的累加，所有数都由若干个基本计数单位组成。 2. 整数：以“1”为基本计数单位，10个一是十、10个十是百，是整数计数单位的累加。 3. 小数：以十分之一、百分之一、千分之一为计数单位，一位小数表示几个0.1，两位小数表示几个0.01，依旧是计数单位的累加。 4. 分数：以分数单位（几分之一）为基础，几分之几就表示有几个对应的分数单位，和整数、小数的计数原理完全一致。 5. 总结：所有数的构成逻辑相同，只是计数单位大小不同，这是各类数能够统一运算的根本原因。 知识点二 加减法算理的一致性 1. 统一算理：整数、小数、分数加减法的核心算理完全相同，只有相同计数单位的个数才能直接相加减。 2. 整数加减法：相同数位对齐，保证个位、十位、百位等计数单位统一，再直接相加减。 3. 小数加减法：小数点对齐，本质是保证相同数位对齐，统一计数单位后再加减。 4. 分数加减法：异分母分数不能直接加减，必须先通分，统一分数单位后，再对分子进行加减。 5. 核心规律：所有加减法运算，归根结底都是相同计数单位个数的合并与抵消。 知识点三 乘除法算理的一致性 1. 乘法统一算理：整数、小数、分数乘法本质都是计数单位个数的倍数运算，核心是求几个相同加数的和，或是求一个数的几分之几是多少。 2. 整数乘法：求几个相同整数的和，是整数计数单位的倍数累加。 3. 小数乘法：是求一个数的十分之几、百分之几，本质是小数计数单位的倍数运算。 4. 分数乘法：求一个数的几分之几，是分数计数单位的倍数缩放运算。 5. 除法统一算理：所有除法本质都是平均分，是已知整体和份数求每份数，或已知整体和每份数求份数，是乘法的逆运算，适用于整数、小数、分数。 知识点四 除法转化为乘法的核心思想 1. 转化法则：小学所有非0数的除法，都可以转化为乘法计算：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 2. 适用范围：该规律通用于整数、小数、分数除法，是四则运算统一的关键依据。 3. 具体转化方法：分数除法直接颠倒除数分子分母相乘；小数除法先化成分数再取倒数计算；整数除法把整数看成分母为1的分数再转化。 4. 转化意义：将复杂的除法运算，统一为简便的乘法运算，实现乘除运算互通，简化计算流程、减少运算错误。 知识点五 数与运算整体规律与核心总结 1. 数的统一：整数、小数、分数只是计数单位不同，构成原理完全一致，可相互转化、互通运算。 2. 运算统一：加减法统一于“相同计数单位相加减”；乘除法统一于“倍数与平均分”，且除法可全部转化为乘法。 3. 解题思维：遇到复杂四则运算，优先统一数的形式、转化运算类型，简化计算，实现灵活简算。 4. 易错提醒：牢记只有相同计数单位可直接加减，除法转化乘法时，务必找准除数的倒数，0不能作为除数和倒数。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】加减法算理的一致 【典型例题】（26-27五年级上·全国·课后作业）先想一想下面各题的数量关系，再完成相应的计算。 （1）李老师要临摹一幅字帖，已经临摹了249个字，还剩下186个字没有临摹。这幅字帖一共有多少个字？应用（    ）法计算，列式为（ ）。 （2）一根电线第一次用去14.8米，第二次用去16.35米，还剩下20.55米。一共用去了（    ）米。 我发现：整数、小数和分数加法的意义都是（ ）的。整数加法的运算法则是相同（ ）对齐，小数加法是要把（ ）对齐，而分数加法是要分母相同，总的来说整数、小数和分数加法都是要把相同（ ）的个数相加。 【举一反三练习1】（24-25五年级下·浙江宁波·期末）本学期我们学习了分数的加减法，很多同学联想到以前学过的整数加减法、小数加减法，发现整数加减法的“末位对齐”，小数加减法的“小数点对齐”与分数加减法的“通分”，它们在计算原理上有相同点。它们的相同点是( )。 【举一反三练习2】（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）回到家中，夏明和同学小芳电话聊起刚刚学完的第六单元《分数的加法和减法》，互相提出了一些问题。 (1)请你以为例回答夏明的问题，写一写“先通分，再计算”的道理。 (2)请你先分别举一个整数加法的竖式例子和一个小数加法的竖式例子，再回答小芳的问题，要写清整数加法、小数加法和分数加法计算过程中的相同点。 【举一反三练习3】（24-25五年级下·福建漳州·期末）本学期我们学习了分数的加减法，很多同学联想到以前学过的整数、小数加减法，发现整数加减法的“末位对齐”，小数加减法的“小数点对齐”与分数加减法的“通分”，这些在计算原理上有相同点，你知道这个相同点吗？请在下面的框中写下来。 【重难点考点二】乘除法算理的一致 【典型例题】（25-26六年级上·山东枣庄·期中）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。第1小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 (1)以为例写一写第1小组表达分数乘法计算的道理为( )。 (2)观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间的相同之处为( )。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·山西晋城·期末）沟通算理。 (1)照样子计算。 200×40＝（2×100）×（4×10）＝（2×4）×（100×10）＝8×1000＝8000 0.2×0.04＝（2×____）×（4×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ ＝（2×）×（4×） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ (2)仔细观察，整数乘法和小数乘法、分数乘法之间有什么相同之处？ 【举一反三练习2】（25-26五年级下·山西临汾·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算道理。启思小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 (1)启思小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以为例，写一写。 (2)观察上面几组算式，整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写你的想法。 【重难点考点三】除法转化为乘法 【典型例题】（26-27六年级上·江苏·单元测试）如果设5.6÷0.2＝a，请你通过推理说明5.6÷0.2＝5.6×5。 【举一反三练习1】（26-27六年级上·江苏·单元测试）观察下图的计算过程并按要求填写。 (1)第①步，计算的依据是什么？( )。 (2)第②步，用到的运算律是( )。 (3)算式处可填( )。 【举一反三练习2】（24-25六年级下·浙江杭州·期末）小红小时走了千米，要求她平均每小时走多少千米。下面是小明的计算过程，为什么“”可以写成“”？请你说明理由（可以画一画或算一算或写一写）。 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27六年级上·江苏·周测）、和这三个分数中，（    ）的计数单位最大。 A． B． C． 2．（24-25六年级下·福建莆田·期末）在探索时，用商不变的规律进行思考的是（    ）。 A．把6个平均分成两份，每份就是3个，也就是。 B．把平均分成两份，每份就是的，也就是。 C．。 D．。 3．（25-26六年级下·河北邢台·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．8534267中的“8”表示8个百万 B．0.572中的“7”表示7个0.01 C．中的“2”表示2个一 4．（23-24五年级下·山西晋中·期中）数学家华罗庚提出：“数是数出来的”，回忆我们已经学过的整数、小数、分数，我们在数这些数时都是在数（    ）的个数。 A．数位 B．计数单位 C．分子 5．（26-27六年级上·江苏·单元测试）人工智能语音助手播报了一个小数0.254，关于这个数，下面表述不正确的是（    ）。 A．由254个0.001组成 B．由2个0.1，5个0.01和4个0.001组成 C．是把整数“1”平均分成100份，表示这样的254份 D．将0.254精确到十分位是0.3 6．（26-27六年级上·江苏·单元测试）下面算式中的图形□表示被遮住的一个数字，计算结果比1小的是（    ）。 A．0.47＋0.6□ B．11.1－9.□9 C．5.89－4.9□ D．12.2□－10.2 7．（26-27六年级上·江苏·单元测试）小华在某购物平台购买了一个橡皮礼包，观察竖式和情境图，下面说法错误的是（    ）。 A．每块橡皮大约0.5元 B．竖式中的“120”相当于120分 C．商中的“6”相当于6角 D．商中的“4”表示4个0.1 8．（25-26五年级下·湖南邵阳·期末） 有人说：数是数出来的。分数也一样，先在括号里填合适的数，再思考：上面直线上的分数，都可以看成是用（    ）作单位数出来的。 9．（25-26六年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）学完分数乘法后，研研将整数、小数、分数乘法进行了如图所示关联、思考。 根据研研的思考，想一想怎样表达分数乘法的道理？ 请以为例，写一写。 （____×____）×（____×____）＝（____×____）×（____×____）＝____。 10．（25-26六年级上·福建福州·阶段检测）关于整数、小数和分数除法计算的道理，小明写出了三道算式进行研究： 观察以上算式，我认为它们的计算道理______（填“相同”或“不同”），理由是：________________。 11．（24-25六年级上·山西晋中·期中）学习了分数除法后，乐乐将其与整数除法和小数除法放在一起进行比较。 ①290÷25÷4＝290÷（25×4）＝290÷100＝2.9 ②56.8÷0.5÷0.2＝56.8÷（0.5×0.2）＝56.8÷0.1＝568 ③( )＝÷( )＝( ) 通过计算、比较，我们可以发现这些算式都用到了除法的性质，用字母表示为( )。 12．（24-25五年级下·山东烟台·期末）7000是由( )个千组成的，0.09是由( )个0.01组成的，是由( )个组成的。整数、小数、分数都是由各自的计数单位累加而成的。 13．（26-27六年级上·江苏连云港·阶段检测）0.6＝＝18÷（    ）＝（    ）∶10＝（    ）％＝（    ）成。 14．（26-27六年级上·江苏连云港·阶段检测）丽丽把一个小数的小数点向左移动一位，发现比原来的数小72.9，原来的数是( )。 15．（26-27六年级上·江苏·周测）填一填，观察下面各题中积的计数单位和计数单位的个数。 A： B： C： D： (1)观察上面的算式，积的计数单位的个数都是( )×( )的积。 (2)A和B的积的计数单位都和第一个乘数的计数单位( )。（填“相同”或“不同”） (3)C和D的积的计数单位是( )的乘积。 16．（26-27六年级上·江苏·单元测试）积的计数单位和两个乘数的计数单位完全相同。( )（判断对错） 17．整数加减、小数加减、分数加减的共同之处：都是相同计数单位个数的累加和递减。( )（判断对错） 18．（26-27六年级上·江苏·单元测试）琳琳一家在逛商场时，看到一套厨具，其中有汤锅、奶锅和炒锅，爸爸让琳琳比较一下它们的价格。汤锅比奶锅贵多少元？汤锅比炒锅便宜多少元？ 19．（26-27六年级上·江苏·单元测试）逛累了，他们去陕西特色小吃店吃午饭，点了渭南时辰包子。店里师傅说：“做1个包子需要面粉千克。”琳琳妈妈早上刚买了一袋5千克的面粉，她决定用去这袋面粉的做时辰包子。琳琳妈妈能做多少个包子呢？ 20．（24-25六年级下·山东潍坊·期末）（1）在长方形中画一画、涂一涂，表示出计算的道理和结果。 （2）在复习数的运算时，同学们把整数、小数和分数乘法放在一起比较，研究它们的算理： ①20×40＝（2×10）×（4×10）＝（2×4）×（10×10）＝8×100＝800 ②0.2×0.4＝（2×0.1）×（4×0.1）＝（2×4）×（0.1×0.1）＝8×0.01＝0.08 根据以上两个算式，你能写一写下面的算式吗？ ③＝ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $