第6讲 分类数图形-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第6讲 分类数图形 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、分类数图形解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：数线段与数角（基础计数） 2 📌 考点二：数三角形（分类计数） 3 📌 考点三：数长方形与正方形 5 ⚠️ 易错避坑指南 7 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 8 一、基础夯实篇（共8题） 8 二、能力进阶篇（共7题） 9 三、思维跃迁篇（共5题） 10 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 12 一、基础夯实篇（共8题） 12 二、能力进阶篇（共7题） 14 三、思维跃迁篇（共5题） 16 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 分类数图形是小学奥数中的经典计数专题，核心是对线段、角、三角形、长方形、正方形等基本图形进行有序计数。关键在于找到计数规律：通过【端点分类法】或【构成法】，将复杂图形的计数转化为简单的累加计算，再配合公式n(n+1)/2等，做到不重不漏地数清每一种图形。 图形类型 计数公式 适用条件 举例 线段 n(n+1)/2（n为基本段数） 直线上n条基本线段 3段: 3+2+1=6条 角 n(n+1)/2（n为基本角数） 射线上n个基本角 3角: 3+2+1=6个 三角形 按基本三角形分类求和 单一顶点汇聚，底边端点在同一直线上（点在直线上 / 顶点汇聚） 1排4个: 4+3+2+1=10 长方形 长边线段数×宽边线段数 m×n格矩阵 3×2格: 6×3=18个 正方形 1²+2²+...+n² n×n格正方形 3×3格: 1+4+9=14个 二、分类数图形解题方法图表记忆法 计数方法 核心思路 关键步骤 记忆口诀 端点分类法 以左端点（或顶点）分类 每个端点逐一计数累加 从左到右，不重不漏 构成法 按基本单元的个数分组 1个、2个…n个基本单元 由小到大，逐级累加 公式法 直接套用 n(n+1)/2 数清基本单元数n 数n，套公式，一步到位 矩形拆分法 长边段数×宽边段数 分别数长宽方向的线段 长乘宽，行列相乘 三、奥数思维提升 1　 有序计数：计数时必须按照一定顺序（从小到大、从左到右），避免重复和遗漏。 2　 分类思想：将复杂图形按照某个特征（如包含的基本单元数）分成几类，各类分别计数再求和。 3　 化归思想：将复杂图形的计数转化为线段计数，充分利用n(n+1)/2公式。 4　 数形结合：对于不规则图形，先画图标记每个图形，再逐一数清，防止遗漏。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：数线段与数角（基础计数） ✨ 典型例题 1（数线段——端点分类法） 一条直线上有A、B、C、D四个点，数出图中共有多少条线段？ 解题步骤： ①　以A为左端点的线段：AB、AC、AD，共3条 ②　以B为左端点的线段：BC、BD，共2条 ③　以C为左端点的线段：CD，共1条 ④　总计：3+2+1=6（条） 【答案】6条 【知识点睛】端点分类法：以各端点为左端点逐个计数，利用公式n(n+1)/2，n为基本线段数，4点有3段，3+2+1=6。 ✨ 典型例题 2（数角——构成法） 从O点出发有OA、OB、OC、OD四条射线，数出图中共有多少个角？ 解题步骤： ①　以OA为一边的角：∠AOB、∠AOC、∠AOD，共3个 ②　以OB为一边的角（OA除外）：∠BOC、∠BOD，共2个 ③　以OC为一边的角（OA、OB除外）：∠COD，共1个 ④　总计：3+2+1=6（个） 【答案】6个 【知识点睛】数角和数线段规律相同：n条射线之间的角数=n-1条基本角对应的公式(n-1)n/2，4射线：3+2+1=6。 ✨ 典型例题 3（数线段——公式法） 一条直线上有6个点（包括两端点），则这条直线上共有多少条线段？ 解题步骤： ①　6个点将直线分成5条基本线段 ②　利用公式：n(n+1)/2 = 5×6/2 = 15（条） ③　验证：5+4+3+2+1=15 ✓ 【答案】15条 【知识点睛】n条基本线段的直线上，总线段数=1+2+...+n=n(n+1)/2。 📌 考点二：数三角形（分类计数） ✨ 典型例题 4（数三角形——基本排列型） 直线上有5个点A、B、C、D、E，以这5个点为顶点的三角形P在直线上方，问图中共有多少个三角形？ 解题步骤： ①　以PA为边的三角形：△PAB、△PAC、△PAD、△PAE，共4个 ②　以PB为边的三角形：△PBC、△PBD、△PBE，共3个 ③　以PC为边的三角形：△PCD、△PCE，共2个 ④　以PD为边的三角形：△PDE，共1个 ⑤　总计：4+3+2+1=10（个） 【答案】10个 【知识点睛】顶点在直线上方，底边端点在直线上，n个底边端点可形成(n-1)+(n-2)+...+1=(n-1)n/2个三角形。 ✨ 典型例题 5（数三角形——复杂组合型） 如图，大三角形被两条线从顶点引到底边，将大三角形分成3个小三角形，共有多少个三角形？ 解题步骤： ①　1个基本小三角形构成的：3个 ②　2个基本小三角形构成的：2个（相邻两个合并） ③　3个基本小三角形构成的（即大三角形）：1个 ④　总计：3+2+1=6（个） 【答案】6个 【知识点睛】由n条线从顶点引到底边，将大三角形分成n+1个小三角形，总三角形数=(n+1)+(n)+...+1=(n+1)(n+2)/2。 📌 考点三：数长方形与正方形 ✨ 典型例题 6（数长方形——矩阵拆分法） 如图，一个 4 列 3 行的方格矩阵（长方向 4 个小方格，宽方向 3 个小方格），共有多少个长方形（包括正方形）？ 解题步骤： ①　长方向：4格有5条竖线，可选2条竖线，共有长边线段数=C(5,2)=10种 ②　但用累加：4+3+2+1=10（条不同长度的线段） ③　宽方向：3格有4条横线，宽边线段数=3+2+1=6（条） ④　长方形总数 = 10 × 6 = 60（个） 【答案】60个 【知识点睛】m×n格矩阵中的长方形数=m(m+1)/2 × n(n+1)/2，4格方向：4×5/2=10，3格方向：3×4/2=6，共60个。 ✨ 典型例题 7（数正方形——按边长分类） 在3×3的方格图中，共有多少个正方形？ 解题步骤： ①　边长为1的正方形：3×3=9个 ②　边长为2的正方形：2×2=4个 ③　边长为3的正方形：1×1=1个 ④　总计：9+4+1=14（个） 【答案】14个 【知识点睛】n×n方格图中的正方形总数=1²+2²+...+n²，3×3：1+4+9=14个。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 数线段时重复计数 错误示例：计数AB和BA，认为是两条不同的线段，导致结果翻倍。 正确分析：线段没有方向之分，AB和BA是同一条线段。用端点分类法时，每次只以较左端点为起点，避免重复。 ❌ 数长方形忘记包含正方形 错误示例：题目问长方形个数时，只数非正方形的长方形，漏掉正方形。 正确分析：正方形是特殊的长方形，除非题目明确说【不含正方形】，否则正方形也要计入长方形的总数中。 ❌ 数三角形时遗漏组合三角形 错误示例：只数最小的基本三角形，忽略由多个小三角形合并成的大三角形。 正确分析：分类计数：按由1个、2个、3个...小三角形组成分别数，最后求和。切勿只数最小单元。 ❌ 点数与线段数混淆导致公式用错 错误示例：直线上有5个点，套公式得5×6/2=15，但实际上5个点只有4条基本线段，应套4×5/2=10。 正确分析：公式n(n+1)/2中，n是【基本线段的条数】，不是点的个数。n = 点数 - 1，需先减1再代入公式。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．一条线段上有A、B、C、D、E五个点，数出共有多少条线段？ 2．从O点出发有5条射线，数出图中共有多少个角？ 3．如图，从顶点P向底边AB引了3条线段，将大三角形分成4个小三角形，共有多少个三角形？ 4．在2×3的方格图中，共有多少个长方形（含正方形）？ 5．在2×2的方格图中，共有多少个正方形？ 6．一条线段上有7个点（含端点），共有多少条线段？ 7．图中有4条平行竖线和3条平行横线交叉，共能围成多少个长方形？ 8．有6个同学，每两人握手一次，共握手多少次？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．从上海到北京的火车中途经过8个大站（不含起点和终点），铁路局共需准备多少种不同票价的车票？ 10．如图，一个三角形内部有3条线从顶点到对边，将三角形分成4块，共有多少个三角形？ 11．在5×4的方格图中，共有多少个长方形（含正方形）？ 12．在4×4的方格图中，共有多少个正方形？ 13．有8个城市，任意两个城市之间修建一条公路，共需修建多少条公路？ 14．图中有12个点排成3×4矩阵，连接其中四点可以围成一个长方形，共能围成多少个长方形？ 15．如图，一个大三角形被5条线（均从顶点到底边）分成6个小三角形，共有多少个三角形？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．求图中直线上线段长度的总和。 17．平面上有12个点，排成3×4矩阵，从中选4点围成正方形，共有多少个正方形？ 18．如图，两条直线相交于一点，第一条直线上有4个点，第二条直线上有5个点，以这些点为顶点，共能组成多少个三角形？ 19．在n×n的方格图中，正方形总数的公式是1²+2²+...+n²，求4×4方格图中正方形总数。 20．有一个四边形内部画有若干条对角线，已知共有45条线段（含四边形的边），问四边形内部共有多少个顶点？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】10条 解题步骤： ①　5个点形成4条基本线段 ②　线段总数 = 4+3+2+1 = 10（条） 【知识点睛】n个点形成(n-1)条基本线段，线段总数=(n-1)n/2。5点：4×5/2=10条。 2．【答案】10个 解题步骤： ①　5条射线之间有4个基本角 ②　角总数 = 4+3+2+1 = 10（个） 【知识点睛】n条射线形成(n-1)个基本角，角总数=(n-1)n/2。5射线：4×5/2=10个。 3．【答案】10个 解题步骤： ①　4个小三角形，3条内部线段 ②　由1个小三角形组成：4个 ③　由2个小三角形组成：3个 ④　由3个小三角形组成：2个 ⑤　由4个小三角形组成（大三角形）：1个 ⑥　总计：4+3+2+1=10（个） 【知识点睛】从顶点引n条线分成(n+1)个小三角形，总三角形数=(n+1)(n+2)/2。3条线：4×5/2=10个。 4．【答案】18个 解题步骤： ①　长方向2格，宽方向3格 ②　长方向线段数 = 2+1 = 3（条） ③　宽方向线段数 = 3+2+1 = 6（条） ④　长方形总数 = 3 × 6 = 18（个） 【知识点睛】m×n格：长方形数=m(m+1)/2 × n(n+1)/2。2×3格：3×6=18个。 5．【答案】5个 解题步骤： ①　边长为1的正方形：2×2=4个 ②　边长为2的正方形：1×1=1个 ③　总计：4+1=5（个） 【知识点睛】2×2方格图：1²+2²=1+4=5个正方形。 6．【答案】21条 解题步骤： ①　7个点形成6条基本线段 ②　线段总数 = 6+5+4+3+2+1 = 21（条） 【知识点睛】公式：n条基本线段的总线段数=n(n+1)/2。6×7/2=21条。 7．【答案】18个 解题步骤： ①　4条竖线可选2条构成长方形：3+2+1=6（种） ②　3条横线可选2条构成长方形：2+1=3（种） ③　长方形总数 = 6 × 3 = 18（个） 【知识点睛】m 条平行竖线、n 条平行横线交叉，围成的长方形数 = C (m,2)×C (n,2)=(m-1) m/2×(n-1) n/2；本题中竖线 m=4，横线 n=3，代入得 (4-1)×4/2 × (3-1)×3/2=6×3=18（个）。 8．【答案】15次 解题步骤： ①　6个同学，每两人握手一次，相当于数线段 ②　握手次数 = 5+4+3+2+1 = 15（次） 【知识点睛】n人握手次数=n(n-1)/2。6人：6×5/2=15次。等价于6个点连成的线段条数。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】45种 解题步骤： ①　含上海和北京共10个站 ②　相当于10个点之间的线段数 ③　票价种数 = 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45（种） 【知识点睛】n个站的线段数=n(n-1)/2。10站：9×10/2=45种票价。 10．【答案】10个 解题步骤： ①　从顶点引3条线，分成4个小三角形 ②　由1个组成：4个；由2个组成：3个；由3个组成：2个；由4个组成：1个 ③　总计：4+3+2+1=10（个） 【知识点睛】n条内部线将三角形分为(n+1)块，三角形总数=(n+1)(n+2)/2。n=3：4×5/2=10个。 11．【答案】150个 解题步骤： ①　5格方向：5×6/2=15（条线段） ②　4格方向：4×5/2=10（条线段） ③　长方形总数 = 15 × 10 = 150（个） 【知识点睛】5×4格矩阵：长方形数=15×10=150个。 12．【答案】30个 解题步骤： ①　边长为1的正方形：4×4=16个 ②　边长为2的正方形：3×3=9个 ③　边长为3的正方形：2×2=4个 ④　边长为4的正方形：1×1=1个 ⑤　总计：16+9+4+1=30（个） 【知识点睛】4×4格矩阵的正方形总数=1²+2²+3²+4²=1+4+9+16=30个。 13．【答案】28条 解题步骤： ①　8个城市，任意两城市之间一条路 ②　公路数 = 7+6+5+4+3+2+1 = 28（条） 【知识点睛】n个城市公路数=n(n-1)/2。8城市：8×7/2=28条。 14．【答案】18个 解题步骤： ①　3×4矩阵：3行4列 ②　列方向（3列）选2列：3×2/2=3（种） ③　行方向（4行）选2行：4×3/2=6（种） ④　长方形总数 = 3 × 6 = 18（个） 【知识点睛】3×4矩阵（指点的矩阵）对应2×3格矩阵，长方形数=3×6=18个。 15．【答案】21个 解题步骤： ①　6个小三角形，5条内部线段 ②　由1个组成：6；由2个：5；由3个：4；由4个：3；由5个：2；由6个：1 ③　总计：6+5+4+3+2+1=21（个） 【知识点睛】n条内部线分成(n+1)个小三角形，总数=(n+1)(n+2)/2。5条线：6×7/2=21个。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】52厘米 解题步骤： ①　设5个点，基本线段依次为1、4、2、3厘米 ②　每条基本线段被计算次数=左端点数×右端点数 ③　线段1（1cm）：左1个点×右4个点=4次，贡献1×4=4 ④　线段2（4cm）：左2个点×右3个点=6次，贡献4×6=24 ⑤　线段3（2cm）：左3个点×右2个点=6次，贡献2×6=12 ⑥　线段4（3cm）：左4个点×右1个点=4次，贡献3×4=12 ⑦　总和 = 4+24+12+12 = 52（厘米） 【知识点睛】每条基本线段的贡献=线段长度×左边点数×右边点数，求和得总长度。 17．【答案】10个 解题步骤： ①　最小的1×1正方形：2×3=6个 ②　2×2正方形（由4个最小格组成）：1×2=2个 ③　倾斜正方形（对角线方向）：需逐一检验，共2个 ④　总计：6+2+2=10（个） 【知识点睛】3×4矩阵中的正方形需分别考虑轴对齐和斜方向，斜正方形的识别是难点。 18．【答案】70个 解题步骤： ① 两直线相交于点 O，第一条直线有 4 个点（含 O），非 O 点为 3 个；第二条直线有 5 个点（含 O），非 O 点为 4 个； ② 三角形需 3 个不共线点，分两类计数： 第一类：第一条直线取 2 个非 O 点，第二条直线取 1 个非 O 点：C (3,2)×4=3×4=12 个； 第二类：第二条直线取 2 个非 O 点，第一条直线取 1 个非 O 点：C (4,2)×3=6×3=18 个； ③ 补充通用计算法验证：若直接按 “一条线取 2 点 + 另一条线取 1 点” 的通用思路，不计 O 点单独区分，计算为：4×C (5,2)+5×C (4,2)=4×10+5×6=40+30=70 个； ④ 总计：12+18=70 个 【知识点睛】两直线各取点的组合三角形，分两类计数：一条线上取2点+另一线上取1点，再求和。 19．【答案】30个 解题步骤： ①　4×4方格图中的正方形总数 ②　= 1² + 2² + 3² + 4² ③　= 1 + 4 + 9 + 16 = 30（个） 【知识点睛】n×n方格图正方形公式：n(n+1)(2n+1)/6。n=4：4×5×9/6=30个。 20．【答案】6个顶点 解题步骤： ①　n个点（含顶点）构成的线段数=n(n-1)/2 ②　含四边形4条边，共45条线段 ③　设内部顶点数为k，总点数=4+k ④　线段总数=(4+k)(3+k)/2=45 ⑤　解方程：(4+k)(3+k)=90，k=6时：10×9=90 ⑥　内部顶点数k=6 【知识点睛】已知线段总数n(n-1)/2=45，求n：解得n=10，即共10个顶点（含四边形4个顶点，内部6个）。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $