第3讲 鸡兔同笼问题-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

知途引航 导航知识——科学提分 第3讲 鸡兔同笼问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、鸡兔同笼解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：基本鸡兔同笼问题 2 📌 考点二：鸡兔同笼变形问题 3 📌 考点三：复杂鸡兔同笼问题 4 ⚠️ 易错避坑指南 4 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 5 一、基础夯实篇（共8题） 5 二、能力进阶篇（共7题） 6 三、思维跃迁篇（共5题） 6 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 7 一、基础夯实篇（共8题） 7 二、能力进阶篇（共7题） 10 三、思维跃迁篇（共5题） 12 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学趣题，最早记载于《孙子算经》。基本形式是已知鸡兔总头数和总腿数，求鸡兔各几只。核心是【假设法】和【方程法】的应用，以及【头与腿的对应关系】，需精准掌握以下知识点： 核心要素 符号 定义 关键公式 总头数 H 鸡和兔的总个数 鸡 + 兔 = H 总脚数 F 鸡和兔的脚的总数 2×鸡 + 4×兔 = F 鸡脚数 2 每只鸡的脚数 固定值2 兔脚数 4 每只兔的脚数 固定值4 脚数差 2 兔比鸡多的脚数 4 - 2 = 2 二、鸡兔同笼解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键公式/步骤 记忆技巧 假设全是鸡 假设后求差 兔=(F-2×H)÷2 多出的是兔腿 假设全是兔 假设后求差 鸡=(4×H-F)÷2 少的是鸡腿 方程法 设未知数 2x+4(H-x)=F 复杂问题用 差量法 利用数量差 根据差列方程 已知差时用 三、奥数思维提升 1．假设思想：通过假设简化问题，再根据差异调整 2．对应思想：头与腿的对应关系，建立数学模型 3．方程思想：用代数方法解决复杂问题 4．转化思想：将实际问题转化为鸡兔同笼模型 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：基本鸡兔同笼问题 ✨ 典型例题 1（基础型——基本假设法） 鸡兔同笼，共有头35个，腿94条，鸡有多少只？兔有多少只？ 解题步骤： ①　假设全是鸡，应有腿：35×2=70（条） ②　实际多出腿：94-70=24（条） ③　每只兔比鸡多2条腿，兔数=24÷2=12（只） ④　鸡数=35-12=23（只） ⑤　检验：23×2+12×4=46+48=94（条），正确 【答案】鸡23只，兔12只 【知识点睛】假设全是鸡时，多出的腿数就是兔子的腿数。每只兔比鸡多2条腿，所以兔数=多出的腿÷2。 ✨ 典型例题 2（提高型——假设全是兔） 笼中有鸡兔共20只，脚共56只。鸡比兔多几只？ 解题步骤： ①　假设全是兔，应有脚：20×4=80（只） ②　实际少脚：80-56=24（只） ③　每只鸡比兔少2只脚，鸡数=24÷2=12（只） ④　兔数=20-12=8（只） ⑤　鸡比兔多：12-8=4（只） 【答案】鸡比兔多4只 【知识点睛】两种假设方法都可以，选择计算简便的。求差值时注意用大数减小数。 📌 考点二：鸡兔同笼变形问题 ✨ 典型例题 3（综合型——得分问题） 数学竞赛共20道题，做对一题得5分，做错或不做扣2分。小明得了79分，他做对了几道？ 解题步骤： ①　假设全做对，应得：20×5=100（分） ②　实际少得：100-79=21（分） ③　每错一题少得：5+2=7（分）（少得5分还扣2分） ④　错题数=21÷7=3（道） ⑤　对题数=20-3=17（道） 【答案】做对17道 【知识点睛】得分问题的关键是计算'得失差'，即做对与做错的分数差。做错一题比做对一题少得(对分+错分)。 ✨ 典型例题 4（技巧型——得失问题） 小朋友分糖果，每人分5颗多16颗，每人分7颗少12颗。有多少小朋友？多少糖果？ 解题步骤： ①　这是'盈不足'问题，转化为鸡兔同笼思想 ②　两次分配相差：16+12=28（颗） ③　每人多分：7-5=2（颗） ④　小朋友数=28÷2=14（人） ⑤　糖果数=14×5+16=86（颗） 【答案】14个小朋友，86颗糖果 【知识点睛】盈亏问题可看作鸡兔同笼的变形。总差额÷每人差额=人数。 📌 考点三：复杂鸡兔同笼问题 ✨ 典型例题 5（综合型——三种动物） 蜘蛛（8腿）、蜻蜓（6腿）、蝉（6腿）共18只，腿共118条，翅膀20对（蜻蜓2对，蝉1对）。三种动物各几只？ 解题步骤： ①　先把蜻蜓和蝉看作一类（6腿），转化为两种动物 ②　假设全是6腿动物，应有腿：18×6=108（条） ③　实际多腿：118-108=10（条） ④　蜘蛛数=10÷(8-6)=5（只） ⑤　蜻蜓+蝉=18-5=13（只） ⑥　假设13只全是蝉，应有翅膀13对 ⑦　实际多翅膀：20-13=7（对） ⑧　蜻蜓数=7÷(2-1)=7（只），蝉=13-7=6（只） 【答案】蜘蛛5只，蜻蜓7只，蝉6只 【知识点睛】三种动物分两步：第一步按腿数分类求出蜘蛛，第二步按翅膀数区分蜻蜓和蝉。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 混淆假设对象 错误示例：假设全是鸡，算出的却是鸡的数量。 正确分析：假设全是鸡，算出的是兔的数量（因为多出的腿是兔子的）；假设全是兔，算出的是鸡的数量。 ❌ 计算脚数差错误 错误示例：鸡兔脚数差算成4-2=2，但用的时候忘了。 正确分析：鸡2脚、兔4脚，差值是2。最后除以2时，要明确这个2的来源。 ❌ 得分问题得失差计算错误 错误示例：得分问题中，做错一题只少得5分。 正确分析：做错一题不仅不得5分，还要扣2分，所以少得5+2=7分。得失差=对分+错分。 ❌ 三种动物问题一步到位 错误示例：三种动物直接用假设法，没有分步处理。 正确分析：三种动物必须分两步：第一步把两种动物合并为一类（按共同特征），求出第三种；第二步再区分合并的两种。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．鸡兔同笼，头共30个，脚共84只。鸡有（ ）只，兔有（ ）只。 2．笼中有鸡兔共25只，脚70只。鸡比兔多（ ）只。 3．停车场有汽车和摩托车共32辆，轮子共108个。汽车有（ ）辆。（汽车4轮，摩托2轮） 4．买5角和8角的邮票共20张，花了13元6角。5角邮票买了（ ）张。 5．鸡兔同笼，鸡比兔多12只，共有脚108只。鸡有（ ）只。 6．搬运1000只花瓶，完好运到得3元，损坏一只赔5元。共得2600元，损坏了（ ）只。 7．全班46人去划船，共乘12只船，大船坐5人，小船坐3人。大船有（ ）只。 8．鸡兔共有脚100只，若鸡兔互换则有脚86只。鸡有（ ）只，兔有（ ）只。 二、能力进阶篇（共7题） 9．数学竞赛共15题，做对得8分，做错扣4分。小刚得了72分，他做对了（ ）道。 10．蜘蛛（8腿）、蜻蜓（6腿）共15只，腿共100条。蜘蛛有（ ）只。 11．买甲（7元）、乙（5元）两种笔共20支，花了124元。甲种笔买了（ ）支。 12．鸡兔同笼，兔比鸡的3倍少6只，共有脚200只。鸡有（ ）只。 13．100个和尚吃100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚3人吃1个。大和尚有（ ）人。 14．运送2000块玻璃，完好得运费2元，损坏赔10元。共得3760元，损坏了（ ）块。 15．鸡兔同笼，鸡头比兔头多20个，兔脚比鸡脚多40只。鸡有（ ）只。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．三种昆虫：蝉（6腿1翅）、蜻蜓（6腿2翅）、蜘蛛（8腿）。共18只，腿118条，翅膀22对。蜻蜓有（ ）只。 17．鸡兔同笼，若兔增加3只，则鸡兔脚数相等；若鸡减少5只，则鸡脚是兔脚的一半。原有鸡（ ）只。 18．100人吃100个饼，大人每人吃4个，小孩每4人吃1个。大人有（ ）人。 19．买苹果（5元/kg）和梨（3元/kg）共15kg，苹果花的钱比梨多15元。买了苹果（ ）kg。 20．鸡兔同笼，若鸡增加10只，则鸡脚比兔脚多20只；若兔增加10只，则兔脚是鸡脚的3倍。原有鸡（ ）只，兔（ ）只。 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】鸡18只，兔12只 解题步骤： ①　假设全是鸡，30×2=60（只脚） ②　多84-60=24（只脚） ③　兔=24÷2=12（只） ④　鸡=30-12=18（只） 【知识点睛】假设全是鸡时，多出的脚数就是兔子的脚数，兔数=多出的脚÷2。 2．【答案】鸡比兔多5只 解题步骤： ①　假设全是鸡，25×2=50（只脚） ②　多70-50=20（只脚） ③　兔=20÷2=10（只） ④　鸡=25-10=15（只） ⑤　鸡比兔多：15-10=5（只） 【知识点睛】两种假设方法都可以，选择计算简便的。求差值时注意用大数减小数。 3．【答案】22辆 解题步骤： ①　假设全是摩托，32×2=64（个轮） ②　多108-64=44（个轮） ③　汽车=44÷(4-2)=22（辆） 【知识点睛】汽车4轮摩托2轮，把汽车看作'兔'，摩托看作'鸡'，用鸡兔同笼方法。 4．【答案】8张 解题步骤： ①　13元6角=136角 ②　假设全是5角，20×5=100（角） ③　多136-100=36（角） ④　8角邮票=36÷(8-5)=12（张） ⑤　5角邮票=20-12=8（张） 【知识点睛】把8角看作'兔'，5角看作'鸡'，金额差就是'脚数差'。 5．【答案】26只 解题步骤： ①　去掉多出的12只鸡，剩12×2=24（只脚） ②　剩余脚数：108-24=84（只） ③　此时鸡兔相等，鸡=兔=84÷(2+4)=14（只） ④　原有鸡=14+12=26（只） 【知识点睛】鸡比兔多12只，去掉这12只鸡后鸡兔数量相等，再求解。 6．【答案】50只 解题步骤： ①　假设全完好，1000×3=3000（元） ②　少3000-2600=400（元） ③　损坏一只少得3+5=8（元） ④　损坏=400÷8=50（只） 【知识点睛】损坏一只不仅不得3元，还要赔5元，共少得8元。 7．【答案】5只 解题步骤： ①　假设全小船，12×3=36（人） ②　多46-36=10（人） ③　大船=10÷(5-3)=5（只） 【知识点睛】大船坐5人小船坐3人，差2人，多出来的人数÷2=大船数。 8．【答案】鸡12只，兔19只 解题步骤： ①　设鸡x只，兔y只 ②　2x+4y=100，4x+2y=86 ③　解得x=12，y=19 【知识点睛】互换后脚数变化，用方程组求解更直接。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】11道 解题步骤： ①　假设全对，15×8=120（分） ②　少120-72=48（分） ③　每错一题少得8+4=12（分） ④　错=48÷12=4（道） ⑤　对=15-4=11（道） 【知识点睛】得分问题关键是计算得失差，做对与做错的分差是得分加扣分。 10．【答案】5只 解题步骤： ①　假设全是蜻蜓，15×6=90（条腿） ②　多100-90=10（条腿） ③　蜘蛛=10÷(8-6)=5（只） 【知识点睛】蜻蜓6腿蜘蛛8腿，把蜘蛛看作'兔'，蜻蜓看作'鸡'。 11．【答案】12支 解题步骤： ①　假设全买乙，20×5=100（元） ②　多124-100=24（元） ③　甲=24÷(7-5)=12（支） 【知识点睛】甲7元乙5元，差价2元，多出的钱÷差价=甲的数量。 12．【答案】16只 解题步骤： ①　设鸡x只，则兔(3x-6)只 ②　2x+4(3x-6)=200 ③　2x+12x-24=200 ④　14x=224，x=16 【知识点睛】根据倍数关系设未知数，列方程求解。 13．【答案】25人 解题步骤： ①　假设全小和尚，100人吃100÷3≈33.33个馒头 ②　多100-33.33=66.67个馒头 ③　一个大和尚比小和尚多吃3-1/3=8/3个 ④　大和尚=66.67÷(8/3)=25（人） 【知识点睛】小和尚3人吃1个，即每人吃1/3个，用鸡兔同笼思想。 14．【答案】20块 解题步骤： ①　假设全完好，2000×2=4000（元） ②　少4000-3760=240（元） ③　损坏一块少得2+10=12（元） ④　损坏=240÷12=20（块） 【知识点睛】损坏一块不仅不得2元运费，还要赔10元，共少得12元。 15．【答案】60只 解题步骤： ①　设鸡x只，兔(x-20)只 ②　4(x-20)-2x=40 ③　4x-80-2x=40 ④　2x=120，x=60 【知识点睛】根据脚数差列方程，兔脚-鸡脚=40。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】7只 解题步骤： ①　先算蜘蛛：(118-18×6)÷(8-6)=5（只） ②　蜻蜓+蝉=18-5=13（只） ③　假设13只全是蝉，应有翅膀13对 ④　实际多翅膀：22-13=9（对） ⑤　蜻蜓=9÷(2-1)=9（只） ⑥　蝉=13-9=4（只） 【知识点睛】三种动物分两步：第一步按腿数分类求蜘蛛，第二步按翅膀数区分蜻蜓和蝉。 17．【答案】鸡20只，兔7只 解题步骤： ①　设鸡x只，兔y只 ②　鸡增加10只后：2(x+10)=4y ③　兔增加10只后：4(y+10)=3×2x ④　解得x=20，y=7 【知识点睛】根据两种变化情况列方程组，注意脚数关系的变化。 18．【答案】20人 解题步骤： ①　假设全小孩，100人吃100÷4=25个饼 ②　多100-25=75个饼 ③　大人比小孩多吃4-0.25=3.75个 ④　大人=75÷3.75=20（人） 【知识点睛】小孩4人吃1个即每人0.25个，用鸡兔同笼思想求解。 19．【答案】7.5kg 解题步骤： ①　设苹果x kg，则梨(15-x)kg ②　5x-3(15-x)=15 ③　5x-45+3x=15 ④　8x=60，x=7.5 【知识点睛】根据苹果钱-梨钱=15列方程。 20．【答案】鸡20只，兔10只 解题步骤： ①　设鸡x只，兔y只 ②　鸡增加10只：2(x+10)-4y=20 ③　兔增加10只：4(y+10)=6x ④　解得x=20，y=10 【知识点睛】根据两种条件变化分别列方程，联立求解。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $