第13讲 倍数问题-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第13讲 倍数问题 📋 核心方法论与知识体系构建 2 一、知识体系全景梳理 2 二、倍数问题解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：和倍问题 3 📌 考点二：变化倍数问题 4 📌 考点三：多步倍数问题 5 ⚠️ 易错避坑指南 7 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 8 一、基础夯实篇（共8题） 8 二、能力进阶篇（共7题） 9 三、思维跃迁篇（共5题） 9 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 11 一、基础夯实篇（共8题） 11 二、能力进阶篇（共7题） 13 三、思维跃迁篇（共5题） 15 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 倍数问题研究两个或多个数之间的倍数关系，核心是利用【份数】思想：把小数（或某量）看作1份，大数看作几份，总量或差量即可表达为份数。解题关键：用线段图表示倍数关系，将倍数关系转化为加减运算，避免直接用乘除迷失方向。 类型 典型描述 数量关系 解题策略 基本倍数 甲是乙的N倍 甲=N×乙 以乙为1份，甲为N份 和倍问题 和及倍数已知 小数=和÷(N+1) 总份=N+1 差倍问题 差及倍数已知 小数=差÷(N-1) 差份=N-1 多次变化 A给B若干，改变倍数 方程或线段图 追踪变化前后 比例转换 比=倍数 a:b=m:n表示a是b的m/n倍 换算统一份数 二、倍数问题解题方法图表记忆法 方法 适用场景 核心思路 注意事项 份数法 基本倍数问题 把小数设为1份 份数确定后直接乘除 线段图法 多量倍数关系 画线段标份数 保持比例一致 方程法 变化问题 设x列等式 验证代回原题 比例法 多量同时变化 用比例关系联立 统一比较基准 三、奥数思维提升 1　 份数思想：倍数问题的精髓是将【倍数关系】转化为【份数关系】，将求倍数变成求份数。 2　 变化追踪：当两量之间发生转移或变化时，用方程来跟踪变化前后的关系。 3　 线段图辅助：不清楚数量关系时，画线段图，长度对应份数，直观清晰。 4　 统一基准：多量倍数关系时，选择最小量或题目要求的量作为基准（1份）。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：和倍问题 ✨ 典型例题 1（和倍问题——基本和倍） 甲、乙两数之和为72，甲是乙的2倍，求甲、乙各是多少？ 解题步骤： ①　设乙为1份，甲为2份，共3份 ②　乙=72÷3=24 ③　甲=24×2=48 ④　验证：48+24=72 ✓，48=2×24 ✓ 【答案】甲=48，乙=24 【知识点睛】和倍：乙=和÷(倍数+1)=72÷3=24，甲=2×24=48。 ✨ 典型例题 2（和倍问题——三量和倍） 甲、乙、丙三数之和为120，甲是乙的2倍，丙是乙的3倍，求三数。 解题步骤： ①　设乙为1份，甲=2份，丙=3份，共1+2+3=6份 ②　乙=120÷6=20 ③　甲=40，丙=60 ④　验证：20+40+60=120 ✓ 【答案】甲=40，乙=20，丙=60 【知识点睛】三量和倍：总份数=1+2+3=6，乙=120÷6=20。 ✨ 典型例题 3（差倍问题——基本差倍） 甲比乙多36，甲是乙的4倍，求甲、乙各是多少？ 解题步骤： ①　设乙为1份，甲为4份，差=3份 ②　乙=36÷3=12 ③　甲=12×4=48 ④　验证：48-12=36 ✓，48=4×12 ✓ 【答案】甲=48，乙=12 【知识点睛】差倍：乙=差÷(倍数-1)=36÷3=12，甲=4×12=48。 📌 考点二：变化倍数问题 ✨ 典型例题 4（变化倍数——给予后倍数变化） 甲有钱是乙的3倍，甲给乙12元后，两人钱数相等，甲原来有多少元？ 解题步骤： ①　设乙原有x元，甲原有3x元 ②　甲给乙12元后：3x-12=x+12 ③　2x=24，x=12 ④　乙原有12元，甲原有36元 【答案】甲原有36元，乙原有12元 【知识点睛】变化类：设小数为x，用给予前后的等量关系列方程。 ✨ 典型例题 5（变化倍数——增减后倍数变化） 甲有80个玩具，乙有40个，若甲每天给乙2个，几天后乙的数量是甲的2倍？ 解题步骤： ①　设x天后：甲=80-2x，乙=40+2x ②　条件：40+2x=2×(80-2x) ③　40+2x=160-4x，6x=120，x=20天 【答案】20天后 【知识点睛】设x天，用条件列方程(40+2x)=2×(80-2x)，解得x=20。 📌 考点三：多步倍数问题 ✨ 典型例题 6（多步倍数——连续倍数） 有三堆石子，第二堆是第一堆的3倍，第三堆是第二堆的2倍，三堆共240个，每堆各多少？ 解题步骤： ①　设第一堆=1份，第二堆=3份，第三堆=6份，共10份 ②　第一堆=240÷10=24 ③　第二堆=72，第三堆=144 ④　验证：24+72+144=240 ✓ 【答案】第一堆24，第二堆72，第三堆144 【知识点睛】连续倍数：第一堆1份，第二3份，第三6份，共10份。 ✨ 典型例题 7（多步倍数——综合倍数） A班人数是B班的1.5倍，C班比A班少12人，三班共180人，每班各多少人？ 解题步骤： ①　设B班为x，A班=1.5x，C班=1.5x-12 ②　x+1.5x+(1.5x-12)=180 ③　4x-12=180，4x=192，x=48 ④　B=48，A=72，C=60 ⑤　验证：72+48+60=180 ✓ 【答案】A=72，B=48，C=60 【知识点睛】设B为x，A=1.5x，C=1.5x-12，列方程求解。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 和倍问题中加1还是不加1搞错 错误示例：甲是乙的3倍，和为80，用80÷3=26.7，忘记加乙本身的1份。 正确分析：和倍中总份数=倍数+1（加上乙自身的1份），乙=80÷4=20，甲=60。 ❌ 差倍问题中减1还是不减1搞错 错误示例：甲是乙的4倍，差为15，用15÷4=3.75，没有减1。 正确分析：差倍中份数差=倍数-1（甲4份-乙1份=3份），乙=15÷3=5，甲=20。 ❌ 变化类问题设错未知数方向 错误示例：甲给乙后两人相等，设变化后甲=x，但分析变化前后关系时方向搞混。 正确分析：建议：用变化后的等量关系列方程，变化前=变化后±变化量，一步步推导。 ❌ 忽略分数倍情况 错误示例：甲是乙的1.5倍，认为份数是整数，直接用整数计算出现小数。 正确分析：1.5倍可以处理：设乙=2份，则甲=3份，这样避免小数，或直接用方程法。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．甲、乙之和为60，甲是乙的2倍，甲、乙各是多少？ 2．甲比乙多20，甲是乙的3倍，甲、乙各是多少？ 3．三数之和为100，第二数是第一数的3倍，第三数是第二数的2倍，三数各是多少？ 4．父亲年龄是儿子的4倍，父子年龄之和是50岁，父子各多少岁？ 5．一箱苹果和梨共180个，苹果是梨的2倍，两种各有多少个？ 6．甲有钱是乙的3倍，若甲给乙10元，则两人钱数相等，甲乙原来各有多少钱？ 7．大小两个数之差为28，大数是小数的5倍，两数各是多少？ 8．两桶水共48升，大桶是小桶的3倍，两桶各几升？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．甲有糖是乙的2倍，乙有糖是丙的3倍，三人共有70块，各有多少块？ 10．A班人数是B班的1.5倍，A班比B班多12人，两班各有多少人？ 11．仓库甲的货物是乙的4倍，从甲移15吨到乙后，两仓货物相等，各有多少吨？ 12．父亲比儿子大28岁，5年前父亲年龄是儿子的5倍，现在父子各多少岁？ 13．甲有100元，乙有20元，甲每天给乙4元，几天后甲是乙的2倍？ 14．三个连续偶数之和为78，这三个数各是多少？ 15．A、B、C三个数之和为360，A:B=2:3，B:C=3:4，三数各是多少？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．甲、乙、丙三人钱数之比为3:4:5，若甲给乙20元，则乙是甲的3倍，三人原来各有多少钱？ 17．父亲年龄是儿子的3倍，8年后父亲年龄是儿子的2倍，父子现在各多少岁？ 18．一批货物分三次运完，第一次运总量的1/3，第二次运剩余的1/2，第三次运了45吨，总量是多少？ 19．甲数是乙数的4倍，若甲减18，乙加12，则甲乙相等，甲乙原来各是多少？ 20．两数之积是300，两数之比是3:4，两数各是多少？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】甲=40，乙=20 解题步骤： ①　乙=60÷(2+1)=20 ②　甲=40 【知识点睛】和倍：乙=60÷3=20，甲=40。 2．【答案】甲=30，乙=10 解题步骤： ①　乙=20÷(3-1)=10 ②　甲=30 【知识点睛】差倍：乙=20÷2=10，甲=30。 3．【答案】第一数10，第二30，第三60 解题步骤： ①　份：1+3+6=10份 ②　第一=100÷10=10 【知识点睛】10份总量100，第一份=10。 4．【答案】父亲40岁，儿子10岁 解题步骤： ①　儿子=50÷(4+1)=10 ②　父亲=40 【知识点睛】和倍：儿子=50÷5=10。 5．【答案】苹果120个，梨60个 解题步骤： ①　梨=180÷(2+1)=60 ②　苹果=120 【知识点睛】和倍：梨=180÷3=60，苹果=120。 6．【答案】甲30元，乙10元 解题步骤： ①　相等时两人各有多少：设相等时各有x，甲=x+10，乙=x-10 ②　甲是乙的3倍：x+10=3(x-10)，x+10=3x-30，2x=40，x=20 ③　甲原有=20+10=30，乙=20-10=10 【知识点睛】设相等后各有x，建立倍数方程求解。 7．【答案】大数=35，小数=7 解题步骤： ①　小数=28÷(5-1)=7 ②　大数=35 【知识点睛】差倍：小=28÷4=7，大=35。 8．【答案】大桶36升，小桶12升 解题步骤： ①　小桶=48÷(3+1)=12 ②　大桶=36 【知识点睛】和倍：小桶=48÷4=12，大桶=36。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】甲42块，乙21块，丙7块 解题步骤： ① 设丙=1份，乙=3份，甲=6份，共1+3+6=10份 ② 丙=70÷10=7块 ③ 乙=7×3=21块，甲=7×6=42块 ④ 验证：7+21+42=70块 ✓ 【知识点睛】设丙为1份，根据倍数关系确定甲、乙份数，总份数求和后计算每份数量。 10．【答案】A=36人，B=24人 解题步骤： ①　A=1.5B，A-B=12=0.5B，B=24，A=36 【知识点睛】差=0.5B=12，B=24，A=36。 11．【答案】甲原有40吨，乙原有10吨 解题步骤： ① 移前：甲=4乙，移后甲-15=乙+15（移后两仓相等） ② 代入甲=4乙，得4乙-15=乙+15 ③ 整理得3乙=30，解得乙=10吨 ④ 甲=4×10=40吨 ⑤ 验证移后：甲=40-15=25吨，乙=10+15=25吨，符合题意 ✓ 【知识点睛】根据“移后相等”确定等量关系，代入倍数关系列方程求解，计算后务必验证结果。 12．【答案】父亲现在40岁，儿子现在12岁 解题步骤： ① 设儿子现在x岁，父亲年龄=x+28（年龄差不变） ② 5年前：父亲年龄=(x+28)-5=x+23，儿子年龄=x-5 ③ 根据题意列方程：x+23=5(x-5) ④ 展开方程：x+23=5x-25，整理得4x=48，解得x=12 ⑤ 儿子现在12岁，父亲现在12+28=40岁 ⑥ 验证5年前：父亲35岁，儿子7岁，35=5×7，符合题意 ✓ 【知识点睛】年龄差始终不变，设现在儿子年龄为x，根据5年前的倍数关系列方程，推导后同步计算父子现在年龄，确保步骤与结果一致。 13．【答案】5天 解题步骤： ①　设x天后，甲=100-4x，乙=20+4x ② 100-4x=2(20+4x) ③ 100-4x=40+8x，12x=60，x=5 ④ 验证：甲=100-20=80，乙=20+20=40，80=2×40 ✓ 【知识点睛】设x天，根据倍数关系列方程。 14．【答案】24，26，28 解题步骤： ①　设中间数为x，三数x-2,x,x+2 ②　3x=78，x=26 ③　三数：24,26,28 【知识点睛】连续偶数：设中间数x，三数和=3x=78，x=26。 15．【答案】A=80，B=120，C=160 解题步骤： ①　A:B=2:3，B:C=3:4，所以A:B:C=2:3:4 ②　总份=2+3+4=9份 ③　A=360÷9×2=80，B=120，C=160 【知识点睛】统一比例A:B:C=2:3:4，总9份，A=80，B=120，C=160。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】甲原有48元，乙原有64元，丙原有80元 解题步骤： ①　设比例系数为k，根据甲、乙、丙三人钱数之比3:4:5，可得甲=3k，乙=4k，丙=5k ② 甲给乙20元后，甲的钱数=3k-20，乙的钱数=4k+20 ③ 根据题意列方程：4k+20=3(3k-20) ④ 展开方程：4k+20=9k-60，整理得5k=80，解得k=16 ⑤ 计算三人原有钱数：甲=3×16=48元，乙=4×16=64元，丙=5×16=80元 ⑥ 验证：甲给乙20元后，甲=28元，乙=84元，84=3×28，符合题意 ✓ 【知识点睛】利用比例系数k表示三人钱数，根据变化后的倍数关系列方程，推导后核对答案，确保步骤与结果一致。。 17．【答案】父亲24岁，儿子8岁 解题步骤： ①　设儿子x岁，父亲3x ②　8年后：3x+8=2(x+8)，3x+8=2x+16，x=8 ③　儿子8岁，父亲24岁 ④　验证8年后：父32，子16，32=2×16 ✓ 【知识点睛】设现在子x，父3x，8年后方程(3x+8)=2(x+8)。 18．【答案】总量135吨 解题步骤： ①　第三次45吨=第二次后剩余量 ②　第二次运后剩余=45吨，第二次前=45×2=90吨（运了一半） ③　第一次前=90÷(2/3)=135吨 【知识点睛】逆推：第三次45=第二次后剩，第二次前=90，第一次后=90，第一次前=90÷(2/3)=135。 19．【答案】甲数原有40，乙数原有10 解题步骤： ① 设乙数为x，根据甲数是乙数的4倍，可得甲数=4x ② 根据题意列方程：4x-18=x+12 ③ 整理方程：4x-x=12+18，3x=30，解得x=10 ④ 甲数=4×10=40 ⑤ 验证：40-18=22，10+12=22，符合题意 ✓ 【知识点睛】设小数（乙数）为x，根据倍数关系表示大数（甲数），利用“甲减18，乙加12后相等”列方程。 20．【答案】较小数15，较大数20 解题步骤： ①　设两数为3k和4k，乘积12k²=300，k²=25，k=5 ②　两数：15和20 ③　验证：15×20=300 ✓，15:20=3:4 ✓ 【知识点睛】设3k和4k，乘积12k²=300，k=5，两数15和20。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $