第2讲 等差数列-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第2讲 等差数列 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、等差数列公式图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：等差数列基本公式应用 2 📌 考点二：等差数列综合应用 3 ⚠️ 易错避坑指南 4 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 5 一、基础夯实篇(8题) 5 二、能力进阶篇(7题) 5 三、思维跃迁篇(5题) 6 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 8 一、基础夯实篇(8题) 8 二、能力进阶篇(7题) 10 三、思维跃迁篇(5题) 11 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 等差数列是小学奥数数列模块的核心内容，围绕【首项、末项、项数、公差、求和】五大要素展开，核心是【通项公式与求和公式】的灵活应用，需精准掌握以下知识点： 核心要素 符号 定义 关键公式 首项 a₁ 数列的第一个数 已知条件或推导得出 末项 aₙ 数列的最后一个数 aₙ = a₁ + (n-1)×d 项数 n 数列中数的个数 n = (aₙ-a₁)÷d + 1 公差 d 相邻两项的差 d = (aₙ-a₁)÷(n-1) 求和 Sₙ 数列所有项的总和 Sₙ = (a₁+aₙ)×n÷2 二、等差数列公式图表记忆法 公式类型 核心公式 适用场景 记忆技巧 通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)×d 已知首项、公差、项数，求末项 首项加(n-1)个公差 项数公式 n = (aₙ-a₁)÷d + 1 已知首项、末项、公差，求项数 总差除以公差再加1 求和公式 Sₙ = (a₁+aₙ)×n÷2 已知首项、末项、项数，求总和 首末相加乘项数除以2 中项求和 Sₙ= 中间项×n 项数为奇数时 中间项就是平均数 三、奥数思维提升 1．对应思想：明确五大要素之间的对应关系，灵活选择公式 2．方程思想：设未知数，根据等量关系列方程求解 3．整体思想：将数列看作整体，利用中项性质简化计算 4．逆向思维：从结果反推条件，解决复杂等差数列问题 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：等差数列基本公式应用 ✨ 典型例题 1（基础型——求末项） 等差数列1，4，7，10...的第20项是多少？ 解题步骤： ①　确定已知条件：a₁=1，d=4-1=3，n=20 ②　应用通项公式：a₂₀ = 1 + (20-1)×3 ③　计算：a₂₀ = 1 + 57 = 58 【答案】58 【知识点睛】通项公式aₙ=a₁+(n-1)×d是求等差数列任意项的基本工具，关键是找准首项、公差和项数。 ✨ 典型例题 2（基础型——求项数） 等差数列2，5，8，11...80，这个数列共有多少项？ 解题步骤： ①　确定已知条件：a₁=2，aₙ=80，d=5-2=3 ②　应用项数公式：n = (80-2)÷3 + 1 ③　计算：n = 78÷3 + 1 = 26 + 1 = 27 【答案】27项 【知识点睛】项数公式n=(aₙ-a₁)÷d+1，注意总差除以公差后还要加1，因为首项也算一项。 ✨ 典型例题 3（基础型——求和） 计算1+3+5+7+...+99的和。 解题步骤： ①　确定已知条件：a₁=1，aₙ=99，d=2 ②　求项数：n=(99-1)÷2+1=50 ③　应用求和公式：S₅₀=(1+99)×50÷2=2500 【答案】2500 【知识点睛】求连续奇数的和，先求项数，再用求和公式。连续奇数的个数等于(末项+1)÷2。 📌 考点二：等差数列综合应用 ✨ 典型例题 4（提高型——已知和求项） 一个等差数列的首项是5，末项是93，公差是4，求这个数列的和。 解题步骤： ①　先求项数：n=(93-5)÷4+1=88÷4+1=22+1=23 ②　再求和：S₂₃=(5+93)×23÷2 ③　计算：S₂₃=98×23÷2=1127 【答案】1127 【知识点睛】当已知首项、末项、公差时，先利用项数公式求出项数，再用求和公式计算。 ✨ 典型例题 5（综合型——中项性质） 一个等差数列共有11项，中间一项是15，求这个数列的和。 解题步骤： ①　项数为奇数11，中间项是第6项 ②　中间项就是平均数：a₆=15 ③　利用中项求和：S₁₁=15×11=165 【答案】165 【知识点睛】当项数为奇数时，中间项等于首末项的平均数，也等于所有项的平均数，可直接用中间项×项数求和。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 混淆项数与公差的关系 错误示例：问题：求2，5，8...80的项数，错误计算：(80-2)÷3=26项 正确分析：忘记加1。正确做法：(80-2)÷3+1=27项。项数=总差÷公差+1，首项也要算一项。 ❌ 通项公式中(n-1)误用为n 错误示例：问题：求第20项，a₁=1，d=3，错误计算：1+20×3=61 正确分析：通项公式是aₙ=a₁+(n-1)×d，不是a₁+n×d。正确：1+(20-1)×3=58。 ❌ 求和公式忘记除以2 错误示例：问题：求1+2+3+...+100，错误计算：(1+100)×100=10100 正确分析：求和公式是Sₙ=(a₁+aₙ)×n÷2，不要忘记除以2。正确：(1+100)×100÷2=5050。 ❌ 奇偶项数混淆中项 错误示例：问题：10项的等差数列，错误地用第5项作为中间项乘以10求和 正确分析：中项求和只适用于奇数项。偶数项没有单一中间项，应使用标准求和公式。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇(8题) 1．等差数列3，7，11，15...的第15项是多少？ 2．等差数列1，5，9，13...81，共有多少项？ 3．计算2+4+6+8+...+100的和。 4．等差数列首项是4，末项是40，公差是3，求和。 5．一个等差数列第3项是12，第7项是28，求公差。 6．等差数列5，9，13...的第20项是多少？ 7．计算1+2+3+...+50的和。 8．等差数列首项是7，公差是4，求前15项的和。 二、能力进阶篇(7题) 9．等差数列第5项是20，第10项是35，求第15项。 10．一个等差数列共有13项，中间一项是20，求总和。 11．计算11+13+15+...+99的和。 12．等差数列首项是6，末项是90，项数是15，求公差。 13．求所有两位数中被3除余1的数的和。 14．等差数列前10项和是200，首项是5，求末项。 15．一个等差数列的第3项是14，第8项是39，求前10项的和。 三、思维跃迁篇(5题) 16．100个连续自然数的和是8450，取出其中第1个、第3个...第99个（所有奇数项），将剩下的数相加，和是多少？ 17．有10个连续的偶数，最大的偶数是最小的偶数的4倍，求这10个偶数的和。 18．一个等差数列的前5项和是50，前10项和是200，求前15项的和。 19． 剧院有25排座位，第一排有20个座位，以后每排比前一排多2个座位，这个剧院共有多少个座位？ 20．从1到100这100个数中，所有不能被3整除的数的和是多少？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇(8题) 1．【答案】59 解题步骤： ①　a₁=3，d=4，n=15 ②　a₁₅=3+(15-1)×4=3+56=59 【知识点睛】直接应用通项公式。 2．【答案】21项 解题步骤： ①　a₁=1，aₙ=81，d=4 ②　n=(81-1)÷4+1=21 【知识点睛】项数公式应用。 3．【答案】2550 解题步骤： ①　a₁=2，aₙ=100，d=2 ②　n=(100-2)÷2+1=50 ③　S₅₀=(2+100)×50÷2=2550 【知识点睛】偶数数列求和。 4．【答案】308 解题步骤： ①　n=(40-4)÷3+1=13 ②　S₁₃=(4+40)×13÷2=308 【知识点睛】先求项数再求和。 5．【答案】4 解题步骤： ①　a₇-a₃=4d ②　28-12=4d，d=4 【知识点睛】两项相差4个公差。 6．【答案】81 解题步骤： ①　a₁=5，d=4，n=20 ②　a₂₀=5+(20-1)×4=81 【知识点睛】通项公式应用。 7．【答案】1275 解题步骤： ①　S₅₀=(1+50)×50÷2=1275 【知识点睛】标准求和公式。 8．【答案】525 解题步骤： ①　a₁₅=7+(15-1)×4=63 ②　S₁₅=(7+63)×15÷2=525 【知识点睛】先求末项再求和。 二、能力进阶篇(7题) 9．【答案】50 解题步骤： ①　a₅=20，a₁₀=35，5d=15，d=3 ②　a₁₅=a₁₀+5d=35+15=50 【知识点睛】利用间隔求公差。 10．【答案】260 解题步骤： ①　中间项是第7项=20 ②　S₁₃=20×13=260 【知识点睛】中项求和公式。 11．【答案】2475 解题步骤： ①　a₁=11，aₙ=99，d=2 ②　n=(99-11)÷2+1=45 ③　S₄₅=(11+99)×45÷2=2475 【知识点睛】奇数数列求和。 12．【答案】6 解题步骤： ①　d=(90-6)÷(15-1)=84÷14=6 【知识点睛】公差公式应用。 13．【答案】1605 解题步骤： ①　数列为10，13，16...97 ②　n=(97-10)÷3+1=30 ③　S₃₀=(10+97)×30÷2=1605 【知识点睛】先确定数列范围。 14．【答案】35 解题步骤： ①　S₁₀=(5+a₁₀)×10÷2=200 ②　5+a₁₀=40，a₁₀=35 【知识点睛】逆向使用求和公式。 15．【答案】265 解题步骤： ①　a₃=14，a₈=39，5d=25，d=5 ②　a₁=14-2×5=4，a₁₀=4+9×5=49 ③　S₁₀=(4+49)×10÷2=265 【知识点睛】先求首项和末项。 三、思维跃迁篇(5题) 16．【答案】4250 解题步骤： ①　奇数项50个，偶数项50个 ②　奇数项和+偶数项和=8450 ③　偶数项和-奇数项和=50×d=50 ④　偶数项和=(8450+50)÷2=4250 【知识点睛】利用奇偶项差为常数。 17．【答案】150 解题步骤： ①　设最小偶数为x，最大为x+18 ②　x+18=4x，x=6 ③　和=(6+24)×10÷2=150 【知识点睛】设未知数列方程。 18．【答案】450 解题步骤： ①　S₅=50，S₁₀-S₅=150，S₁₅-S₁₀=250 ②　差值成等差：50，150，250 ③　S₁₅=200+250=450 【知识点睛】等差数列片段和也成等差。 19．【答案】1100个 解题步骤： ①　a₁=20，d=2，n=25 ②　a₂₅=20+(25-1)×2=68 ③　S₂₅=(20+68)×25÷2=1100 【知识点睛】实际应用问题。 20．【答案】3367 解题步骤： ①　1 到 100 的总和：S=(1+100)×100÷2=5050 ②　被 3 整除的数列为 3，6，9…99，a₁=3，aₙ=99，d=3，项数 n=99÷3=33 ③　被 3 整除的数的和：S₃₃=(3+99)×33÷2=1683 ④　不能被 3 整除的数的和：5050-1683=3367 【知识点睛】用间接法求解，先求整体和，再减去符合条件的数的和。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $