第12讲 长方体和正方体-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第12讲 长方体和正方体 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、长方体正方体解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：表面积计算 2 📌 考点二：体积计算 3 📌 考点三：棱长总和 4 ⚠️ 易错避坑指南 5 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 5 一、基础夯实篇（共8题） 5 二、能力进阶篇（共7题） 6 三、思维跃迁篇（共5题） 7 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 9 一、基础夯实篇（共8题） 9 二、能力进阶篇（共7题） 10 三、思维跃迁篇（共5题） 13 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 长方体和正方体是三维立体图形的基础，本讲围绕三大核心概念展开：表面积（6个面的总面积）、体积（三维空间大小）和棱长（所有棱的总长度）。解题关键是建立三维空间直觉，准确数出顶点、棱、面的数量，并灵活运用公式。正方体是长=宽=高的特殊长方体。 图形 公式 数量特征 记忆要点 长方体表面积 2(ab+bc+ca) 6面，12棱，8顶点 三对面积对×2求和 长方体体积 V=长×宽×高=abc 三边之积 底面积×高 正方体表面积 6a² 6个相等的正方形面 边长平方×6 正方体体积 V=a³ 边长的三次方 边长自乘三次 棱长总和 4(a+b+c)或12a 长+宽+高各4条 各4条边，先求和再×4 二、长方体正方体解题方法图表记忆法 方法 适用场景 关键公式 记忆技巧 展开图法 求表面积 展开后各面积之和 正方体展开图有11种 截面法 切割体积/面积问题 原体积=各部分体积之和 沿棱切，截面面积不变 计数法 数顶点棱面 V8F6E12 F+V-E=2(欧拉公式) 拼接法 多个正方体拼合 体积=个数×单个体积 表面积≤原面积之和 三、奥数思维提升 1　 三维直觉培养：长方体有3组不同大小的面（上下、前后、左右），表面积=这3组面积各算2份。 2　 拼接思维：多个正方体拼合时，体积相加，但表面积因为粘合面被内部藏起来而减少。 3　 展开图：正方体展开图有11种不同形态，记住【田】字形不是展开图（折叠后有面重叠）。 4　 单位换算：体积单位是长度单位的三次方（1m³=1000000cm³），计算时需统一单位。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：表面积计算 ✨ 典型例题 1（表面积——基本计算） 一个长方体，长8厘米，宽5厘米，高4厘米，表面积是多少平方厘米？ 解题步骤： ①　上下面：2×(8×5)=80 ②　前后面：2×(8×4)=64 ③　左右面：2×(5×4)=40 ④　表面积=80+64+40=184平方厘米 【答案】184平方厘米 【知识点睛】表面积=2(ab+bc+ca)=2(40+20+32)=2×92=184。 ✨ 典型例题 2（表面积——正方体） 正方体棱长为6厘米，表面积和体积各是多少？ 解题步骤： ①　表面积=6×6²=6×36=216平方厘米 ②　体积=6³=216立方厘米 【答案】表面积216cm²，体积216cm³ 【知识点睛】正方体边长6：表面积=6a²=216，体积=a³=216，正好数值相等。 ✨ 典型例题 3（表面积——缺面问题） 将一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体放在桌面上，外面要刷油漆，需刷多少面积？ 解题步骤： ① 长方体放在桌面上，与桌面接触的底面无需刷漆。 ② 刷漆面积 = 长方体总表面积 - 底面积。 ③ 计算过程： 总表面积 = 2×(10×8+10×6+8×6)=376cm2 底面积 = 10×8=80cm2 刷漆面积 = 376−80=296cm2 【答案】296平方厘米 【知识点睛】遇到 “缺面” 问题（如靠墙、放桌面），用总表面积减去底面积（S刷漆​=S总​−S底​）比直接算5个面更快捷。 📌 考点二：体积计算 ✨ 典型例题 4（体积——基本计算） 一个长5dm、宽4dm、高3dm的鱼缸，最多能装多少升水（1dm³=1L）？ 解题步骤： ①　体积=长×宽×高=5×4×3=60立方分米 ②　60dm³=60升 【答案】60升 【知识点睛】体积=abc=5×4×3=60dm³=60L。 ✨ 典型例题 5（体积——拼接问题） 4个棱长3cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积和表面积各是多少？ 解题步骤： ①　每个正方体体积=3³=27cm³，4个总体积=108cm³ ②　拼成长方体（1×4排列）：长=12cm，宽=3cm，高=3cm ③　表面积=2(12×3+3×3+12×3)=2(36+9+36)=162cm² 【答案】体积108cm³，表面积162cm² 【知识点睛】拼接时体积相加；表面积=拼后长方体总面积（内藏面不计入）。 📌 考点三：棱长总和 ✨ 典型例题 6（棱长——基本计算） 一个长方体，长6cm、宽4cm、高3cm，所有棱长的总和是多少？ 解题步骤： ①　长方体有12条棱：长4条、宽4条、高4条 ②　棱长总和=4×(6+4+3)=4×13=52cm 【答案】52厘米 【知识点睛】棱长总和=4(长+宽+高)，无论什么长方体，均可套此公式。 ✨ 典型例题 7（棱长——反推边长） 一个正方体所有棱长总和为60cm，边长是多少？体积是多少？ 解题步骤： ①　正方体12条棱，每条相等 ②　边长=60÷12=5cm ③　体积=5³=125cm³ 【答案】边长5cm，体积125cm³ 【知识点睛】正方体棱长总和=12a，a=60÷12=5；体积=5³=125。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 忘记表面积有6个面（漏掉底面） 错误示例：计算长方体外面刷漆面积时，按全部6面计算，没有减去底面。 正确分析：放在桌面上的长方体只刷5面（无底面），需根据题目情境判断哪些面不需要计算。 ❌ 体积单位换算出错 错误示例：1m³=100cm³，认为1m=100cm所以1m³=100cm³。 正确分析：体积单位是三次方关系：1m³=1000000cm³（100的三次方），不是100。 ❌ 拼接后表面积计算错误 错误示例：4个正方体拼在一起，表面积=4×6个面=24个面的面积。 正确分析：拼接时粘合面被内部隐藏，不计入表面积。拼接减少的面积=粘合处面积×2（两个面各贡献一面）。 ❌ 棱长总和公式中加的项数错误 错误示例：长方体棱长总和=长+宽+高，忘记每种边有4条，应乘以4。 正确分析：长方体有12条棱：长4条+宽4条+高4条=4×(长+宽+高)。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．长方体长10cm、宽6cm、高4cm，求表面积和体积。 2．正方体棱长5cm，求表面积和体积。 3．正方体棱长总和60cm，求边长和体积。 4．长方体长8cm、宽6cm、高4cm，求所有棱长的总和。 5．一个水箱，内部长50cm、宽30cm、高20cm，最多能装多少升水？ 6．将一个正方体放在桌面上，需要涂色的面有几个？面积是多少？（棱长4cm） 7．长方体体积120cm³，底面积是24cm²，高是多少？ 8．正方体体积512cm³，棱长是多少？表面积是多少？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．2个相同的正方体（棱长4cm）并排放成长方体，求体积和表面积。 10．一个长方体，长比宽多3cm，宽比高多2cm，高为5cm，求体积。 11．一个铁皮水箱（无盖），外部长60cm、宽40cm、高30cm，铁皮厚不计，需要多少cm²铁皮？ 12．将一个长 12cm、宽 9cm、高 8cm 的长方体切成 2 个相同的长方体，切法是什么？体积不变，表面积增加多少？ 13．正方体棱长12cm，从每条棱上各截去1cm，截去后有多少条棱？表面积变化了多少？ 14．4个棱长2cm的正方体按2×2排列拼成一个大正方体，求这个大正方体的棱长和体积。 15．一个长方体礼盒，外面要包装纸（6面全包），长30cm、宽20cm、高10cm，需要包装纸多少cm²？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．将一个大正方体（棱长6cm）切成棱长1cm的小正方体，共切成多少个？表面积增加了多少？ 17．一个长方体，已知三组面的面积分别是12cm²、20cm²、15cm²，求体积。 18．用12根等长的棍子（每根1dm）搭一个长方体骨架，找出所有可能的长方体尺寸。 19．一个正方体放在长方体上面（两个图形的底面中心对齐），已知正方体棱长4cm，长方体10×8×6cm，两者合并后的表面积是多少？ 20．用相同的小正方体（棱长1cm）搭成一个实心的3×4×5的长方体，共用多少个小正方体？外表面涂色后，有几个小正方体一面都没有涂色？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】表面积248cm²，体积240cm³ 解题步骤： ①　表面积=2(10×6+6×4+10×4)=2(60+24+40)=248 ②　体积=10×6×4=240 【知识点睛】表面积=2(ab+bc+ca)，体积=abc。 2．【答案】表面积150cm²，体积125cm³ 解题步骤： ①　表面积=6×5²=150 ②　体积=5³=125 【知识点睛】正方体：表面积=6a²=150，体积=a³=125。 3．【答案】边长5cm，体积125cm³ 解题步骤： ①　边长=60÷12=5 ②　体积=5³=125 【知识点睛】正方体棱长总和=12a=60，a=5，体积=125。 4．【答案】72cm 解题步骤： ①　棱长总和=4×(8+6+4)=4×18=72 【知识点睛】4×(长+宽+高)=4×18=72cm。 5．【答案】30升=30000mL 解题步骤： ①　体积=50×30×20=30000cm³=30L 【知识点睛】1L=1000cm³，30000cm³=30L。 6．【答案】5个面，80cm² 解题步骤： ①　放桌面底面不涂，涂5面 ②　底面=4²=16，上面=16，四侧面=4×4×4=64 ③　5面=16+4×(4×4)=16+64=80cm² 【知识点睛】放桌面：5面=上面+4个侧面=16+64=80cm²。 7．【答案】5cm 解题步骤： ①　高=体积÷底面积=120÷24=5 【知识点睛】高=体积÷底面积=120÷24=5cm。 8．【答案】棱长8cm，表面积384cm² 解题步骤： ①　a³=512，a=8 ②　表面积=6×8²=6×64=384 【知识点睛】512=8³，棱长8，表面积=6×64=384cm²。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】体积128cm³，表面积160cm² 解题步骤： ①　2个正方体并排：长=8，宽=4，高=4 ②　体积=8×4×4=128 ③　表面积=2(8×4+4×4+8×4)=2(32+16+32)=160 【知识点睛】并排后粘合面=4×4×2=32，表面积=2×(6×16)-32=192-32=160。 10．【答案】350cm³ 解题步骤： ①　高=5，宽=5+2=7，长=7+3=10 ②　体积=10×7×5=350 【知识点睛】按题意：高5，宽=7，长=10，体积=350cm³。 11．【答案】8400cm² 解题步骤： ① 无盖水箱，需计算 5 面（底面 + 4 个侧面）； ② 底面面积 = 60×40=2400cm²； ③ 前后侧面面积 = 2×(60×30)=3600cm²； ④ 左右侧面面积 = 2×(40×30)=2400cm²； ⑤ 总面积 = 2400+3600+2400=8400cm² 【知识点睛】无盖水箱计算 5 面，直接求和底面与 4 个侧面面积。 12．【答案】切法：沿高的中点切开（得到两个 12×9×4 的长方体）；表面积增加 216cm² 解题步骤： ① 切法：沿高的中点切开（将高 8cm 分成两个 4cm），得到两个 12×9×4 的长方体（或沿长、宽中点切开，任选一种合理切法）； ② 每次切开，截面面积 = 12×9=108cm²，切成 2 块会增加 2 个截面面积； ③ 增加的表面积 = 108×2=216cm² 【知识点睛】切开时，截面面积×2为增加的表面积，切12×9截面：216cm²。 13．【答案】36 条棱，表面积减少 264cm² 解题步骤： ① 原正方体有 12 条棱、8 个顶点，从每条棱两端各截去 1cm，相当于截去 8 个顶点。 ② 每截去 1 个顶点新增 3 条棱，总棱数 = 原棱数 + 新增棱数。 ③ 计算过程： 总棱数 = 12+8×3=36 条 原表面积 = 6×12²=864cm² 新棱长 = 12−2=10cm 新表面积 = 6×10²=600cm² 表面积减少 = 864−600=264cm² 【知识点睛】正方体每截去 1 个顶点会新增 3 条棱，总棱数 = 12+3×顶点数；从每条棱两端截去相等长度，棱长整体缩短，表面积按新棱长重新计算。 14．【答案】棱长4cm，体积64cm³ 解题步骤： ①　4个棱长2cm，体积各8cm³ ②　2×2排列成2×2×2大正方体 ③　棱长=2×2=4cm，体积=4³=64cm³ 【知识点睛】4个棱长2拼成2×2×1层，再2×2×2层=棱长4，体积64。 15．【答案】2200cm² 解题步骤： ①　6面全包：2(30×20+20×10+30×10)=2(600+200+300)=2200 【知识点睛】包装纸=表面积=2×(ab+bc+ca)=2200cm²。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】216个小正方体，表面积增加1080cm² 解题步骤： ①　大正方体棱长6，小正方体棱长1 ②　切成数=6³=216个 ③　大正方体表面积=6×36=216cm² ④　216个小正方体总表面积=216×6=1296cm² ⑤　增加=1296-216=1080cm² 【知识点睛】切割增加表面积=内部截面数×截面面积×2，也可总面积差求。 17．【答案】体积60cm³ 解题步骤： ①　设三边a,b,c：ab=12，bc=20，ca=15 ②　(abc)²=12×20×15=3600，abc=60 ③　体积V=abc=60cm³ ④　验证： a=3cm、b=4cm、c=5cm，ab=12cm²、bc=20cm²、ca=15cm²，符合题干条件 【知识点睛】由三组面的面积乘积开平方，可快速求出长方体体积，核心是利用 “(abc)²=ab×bc×ca” 的数量关系。 18．【答案】1+1+1正方体（特殊长方体） 解题步骤： ① 棱长总和 = 12dm，由长方体棱长总和公式可知 4 (a+b+c)=12，即 a+b+c=3（a、b、c 为正整数）； ② 正整数求和为 3 的组合：1+1+1（正方体），无其他正整数组合（1+1+1 是唯一组合）； ③ 结论：用 12 根等长棍子（每根 1dm），只能搭成棱长 1dm 的正方体（特殊长方体） 【知识点睛】正方体是特殊的长方体，长=宽=高。 19．【答案】表面积440cm² 解题步骤： ①　长方体表面积=2(10×8+8×6+10×6)=2(80+48+60)=376cm² ②　正方体表面积=6×4²=96cm² ③　粘合面：正方体放在长方体上，底面4×4=16cm²，被遮盖2次 ④　合并表面积=376+96-2×16=376+96-32=440cm² 【知识点睛】合并表面积=各自表面积之和-2×遮盖面积=376+96-32=440cm²。 20．【答案】共用 60 个小正方体，完全未涂色的有 6 个 解题步骤： ①　总小正方体=3×4×5=60个 ② 外表面涂色后，完全未涂色的小正方体在长方体内部，需去掉表面一层，尺寸为 (3-2)×(4-2)×(5-2)=1×2×3 【知识点睛】实心长方体内部完全未涂色的小正方体个数 =(长 - 2)×(宽 - 2)×(高 - 2)，总个数 = 长 × 宽 × 高，两者需明确区分。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $