第11讲-盈亏问题-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第11讲 盈亏问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、盈亏问题解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：基本盈亏（一盈一亏） 2 📌 考点二：复合盈亏 3 📌 考点三：综合应用 4 ⚠️ 易错避坑指南 6 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 7 一、基础夯实篇（共8题） 7 二、能力进阶篇（共7题） 8 三、思维跃迁篇（共5题） 8 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 10 一、基础夯实篇（共8题） 10 二、能力进阶篇（共7题） 12 三、思维跃迁篇（共5题） 13 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 盈亏问题是经典的小学奥数分配问题。核心思路：将两种分法产生的盈余或亏欠之差，除以每人分配数量之差，即可求出人数；再代入任意一种分法求总量。关键公式：，即【盈亏之和÷每人差量】。 情况类型 特征 公式 例子 一盈一亏 一次多了一次少了 人数=(盈+亏)÷每人差 每人多3少2，差5 两次都盈 两次都多了 人数=(大盈-小盈)÷每人差 多10和多6，差4 两次都亏 两次都少了 人数=(大亏-小亏)÷每人差 缺10和缺6，差4 恰好分完 一次盈/亏一次恰好 人数=盈亏÷每人差 多了就是盈，少了就是亏 多种情况 条件超过两个 逐对应用公式验证 交叉验算确认 二、方法图表记忆 方法 核心公式 求人数 求总量 盈亏标准法 人数=(盈+亏)/差 差=每人多分数-每人少分 总量=每人数×人数±盈亏 线段图法 画两种分配图 线段差=总量不变 直观看出差量关系 假设法 假设按一种分，调整 调整量=盈亏量 系统化列式 方程法 设人数为x 列方程验证 适合复杂多条件 三、奥数思维提升 1　 盈亏转化：盈余量是多了，亏欠量是少了，无论哪种情况，总量是固定不变的。 2　 差量分析：两种分法的差量=总人数×每人分配差，利用此关系逆推人数。 3　 统一单位：确保每人的分配量和盈亏量的单位一致，避免混淆。 4　 验证习惯：求出人数后代入两种分法验证总量是否相同。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：基本盈亏（一盈一亏） ✨ 典型例题 1（盈亏问题——一盈一亏） 班级分苹果，每人分6个多10个，每人分8个少6个，班级有多少人？苹果有多少个？ 解题步骤： ①　人数=(盈+亏)÷每人差=(10+6)÷(8-6)=16÷2=8人 ②　苹果数=每人6个×8人+多出10个=48+10=58个 ③　验证：8人每人8个=64个，64-58=6，亏6 ✓ 【答案】8人，58个苹果 【知识点睛】盈亏公式：人数=(盈+亏)÷每人差；总量=少分数×人数+盈余（或多分数×人数-亏欠）。 ✨ 典型例题 2（盈亏问题——两次都盈） 分糖果，每人分5个多14个，每人分7个多2个，有多少个小朋友？ 解题步骤： ①　两次都盈，人数=(大盈-小盈)÷每人差=(14-2)÷(7-5)=12÷2=6人 ②　糖果=5×6+14=30+14=44个 ③　验证：6人每人7个=42个，44-42=2，盈2 ✓ 【答案】6人，44个糖果 【知识点睛】两次都盈时：人数=(大盈-小盈)÷每人差，用大盈减小盈。 ✨ 典型例题 3（盈亏问题——两次都亏） 分铅笔，每人分3支缺9支，每人分4支缺15支，有多少个小朋友？ 解题步骤： ①　两次都亏，人数=(大亏-小亏)÷每人差=(15-9)÷(4-3)=6÷1=6人 ②　铅笔总量=每人分配数×人数-亏欠量（两次都亏，总量=少分法总量-亏欠），即3×6 - 9 = 9个 ③　验证：6人每人4支需24个，缺15个，实际铅笔数=24-15=9个，与计算结果一致 ✓ 【答案】6人 【知识点睛】两次都亏：人数=(大亏-小亏)÷每人差；铅笔=每人少分数×人数-亏欠。 📌 考点二：复合盈亏 ✨ 典型例题 4（盈亏问题——多人多次） 若干人分钱，每人分3元多5元，每人分5元少7元，这笔钱有多少元？有多少人？ 解题步骤： ①　人数=(5+7)÷(5-3)=12÷2=6人 ②　钱数=3×6+5=18+5=23元 ③　验证：6×5=30，30-23=7，亏7 ✓ 【答案】6人，23元 【知识点睛】公式直接套用：人数=(盈+亏)÷差=12÷2=6。 ✨ 典型例题 5（盈亏问题——条件变化） 小朋友搬砖，每次搬4块还剩16块，每次搬6块还差8块，共有多少次？共有多少块砖？ 解题步骤： ①　次数=(16+8)÷(6-4)=24÷2=12次 ②　砖数=4×12+16=48+16=64块 ③　验证：12×6=72，72-64=8，差8 ✓ 【答案】12次，64块砖 【知识点睛】将【次数】作为盈亏问题中的人数，方法完全一致。 📌 考点三：综合应用 ✨ 典型例题 6（盈亏问题——实际应用） 植树节，每班种树，每班种15棵多24棵，每班种20棵少6棵，有几个班？共种多少棵树？ 解题步骤： ①　班数=(24+6)÷(20-15)=30÷5=6班 ②　树数=15×6+24=90+24=114棵 ③　验证：6×20=120，120-114=6，少6 ✓ 【答案】6班，114棵 【知识点睛】盈亏公式中，将班级当作人，每班种树数当作每人分配量。 ✨ 典型例题 7（盈亏问题——三种情况） 分组做实验，每组8人多2人，每组9人少7人，每组10人少16人，共有多少人？多少个组？ 解题步骤： ①　用前两种：人数=(2+7)÷(9-8)=9÷1=9组 ②　总人数=8×9+2=72+2=74人 ③　用后两种验证：(7+16)÷(10-9)=23÷1=23，不一致，可能题目有误 ④　用前两种结论：9组，74人 【答案】9组，74人（以前两种条件为准） 【知识点睛】有三种条件时，任取两种用公式，第三种用于验证（可能题目设计时已保证一致）。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 盈亏公式中加减方向搞错 错误示例：一次多10个一次少6个，用(10-6)÷差=4÷差，漏掉了亏欠量。 正确分析：一盈一亏时用【盈+亏】，两次都盈用【大盈-小盈】，两次都亏用【大亏-小亏】。 ❌ 求总量时方向搞反 错误示例：每人6个多10个，用6×人数-10求总量，结果减去了多余的量导致错误。 正确分析：多了说明按少分法还有剩余：总量=少分数×人数+剩余=6×8+10=58，不是6×8-10。 ❌ 忘记验证答案 错误示例：求出人数后直接给出答案，没有代回验证两种方法结果是否一致。 正确分析：验证方法：两种分配方式都应给出同样的总量，如果不一致说明计算有误。 ❌ 每人差量计算错误 错误示例：每人6个和每人8个，差量算成8+6=14。 正确分析：每人差量=多分-少分=8-6=2，是差值不是和。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．分橘子，每人分4个多8个，每人分5个少2个，有多少人？橘子多少个？ 2．发练习本，每人发3本多5本，每人发4本少2本，有多少学生？共多少本？ 3．搬书，每次搬5本还剩10本，每次搬8本还差5本，共需搬几次？共多少本书？ 4．分糖，每人分6块多4块，每人分8块少8块，有多少小朋友？多少块糖？ 5．排队，每排站5人多7人，每排站6人少2人，有几排？共几人？ 6．买铅笔，每人买3支多15支，每人买6支少6支，有几个人？共几支铅笔？ 7．分作业本，每人3本多9本，每人5本少7本，有多少学生？共多少本？ 8．发球，每人发4个多20个，每人发6个多8个，有多少人？多少个球？ 二、能力进阶篇（共7题） 9．分苹果，每人3个少9个，每人4个少13个，有几个人？共几个苹果？ 10．发奖品，每组5件多2件，每组3件多14件，有多少组？共多少件奖品？ 11．学生做题，每人做6题多10题，每人做8题少2题，共有多少学生？ 12．分水果，苹果每人3个差6个，梨子每人2个多4个。若把苹果和梨合并，每人5个，盈亏如何？ 13．一批水泥，如果每天用10吨，还会剩余5吨；如果每天用12吨，就会缺少7吨。共有多少天的工期？水泥共有多少吨？ 14．若干学生分桌，每桌坐6人多2人，每桌坐7人少5人，有多少桌？多少学生？ 15．排座位，每行坐9人多1人，每行坐10人少5人，共有几行座位？共有多少个座位？ 三、思维跃迁篇（共5题） 16．分一批书，每人分4本多3本，每人分5本少2本，求人数和书的总量？ 17．分苹果，每人分7个多10个，每人分9个少6个，若增加2人，每人分6个，苹果还剩多少个？ 18．工厂完成一批零件，若每天做150个，则需多用3天；若每天做200个，则可少用2天。这批零件共有多少个？ 19．分苹果，人数和苹果数都是整数，若每人分6个多4个，若每人分8个少4个，求人数和苹果总量？ 20．分糖果，每人分5个多12个，每人分7个多2个，若减少3人，每人分8个，糖果还剩多少个？ 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】10人，48个 解题步骤： ①　人数=(8+2)÷(5-4)=10÷1=10 ②　橘子=4×10+8=48 【知识点睛】(盈+亏)÷差=10人。 2．【答案】7人，26本 解题步骤： ①　人数=(5+2)÷(4-3)=7÷1=7 ②　练习本=3×7+5=26 【知识点睛】(5+2)÷1=7人，总本数=21+5=26。 3．【答案】5次，35本 解题步骤： ①　次数=(10+5)÷(8-5)=15÷3=5 ②　书=5×5+10=35 【知识点睛】(10+5)÷3=5次，总数=25+10=35。 4．【答案】6人，40块 解题步骤： ①　人数=(4+8)÷(8-6)=12÷2=6 ②　糖=6×6+4=40 【知识点睛】(4+8)÷2=6人，糖=36+4=40。 5．【答案】9排，52人 解题步骤： ①　排数=(7+2)÷(6-5)=9÷1=9 ②　人=5×9+7=52 【知识点睛】(7+2)÷1=9排，人数=45+7=52。 6．【答案】7人，36支 解题步骤： ①　人数=(15+6)÷(6-3)=21÷3=7 ②　铅笔=3×7+15=36 【知识点睛】(15+6)÷3=7人，铅笔=21+15=36。 7．【答案】8人，33本 解题步骤： ①　人数=(9+7)÷(5-3)=16÷2=8 ②　本=3×8+9=33 【知识点睛】(9+7)÷2=8人，本数=24+9=33。 8．【答案】6人，44个 解题步骤： ①　两次都盈：人数=(20-8)÷(6-4)=12÷2=6 ②　球=4×6+20=44 【知识点睛】两次都盈：人数=(大盈-小盈)÷差=12÷2=6。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】4人，3个（注意：两次都亏） 解题步骤： ①　两次都亏：人数=(13-9)÷(4-3)=4÷1=4 ②　苹果=3×4-9=3（即4人需12个但只有3个，差9） ③　苹果实际=每人少分×人数-亏=3×4-9=3 【知识点睛】两次都亏：(大亏-小亏)÷差=4人，苹果=3×4-9=3个。 10．【答案】6组，32件 解题步骤： ①　两次都盈：(14-2)÷(5-3)=12÷2=6 ②　奖品=5×6+2=32 ③　验证：3×6+14=32 ✓ 【知识点睛】两次都盈：(大盈-小盈)÷差=12÷2=6组。 11．【答案】6人 解题步骤： ① 用前两个条件求解：(10+2)÷(8-6)=12÷2=6人 ② 计算总题数：6×6+10=46题 【知识点睛】 12．【答案】合并后每人分5个，亏2个 解题步骤： ① 设人数为x人，苹果总数=3x-6，梨总数=2x+4 ② 苹果和梨合并总数=（3x-6）+（2x+4）=5x-2 ③ 每人分5个，需5x个，合并总数5x-2比5x少2个 【知识点睛】先分别表示出苹果和梨的总量，再求合并总量，与每人5个的需求量对比，判断盈亏。 13．【答案】6天，65吨 解题步骤： ①　天数=(5+7)÷(12-10)=12÷2=6天 ②　水泥=10×6+5=65吨 【知识点睛】(盈+亏)÷差=12÷2=6天，总量=60+5=65吨。 14．【答案】7桌，44人 解题步骤： ①　桌数=(2+5)÷(7-6)=7÷1=7 ②　学生=6×7+2=44 【知识点睛】(2+5)÷1=7桌，44人。 15．【答案】6行，55个 解题步骤： ①　行数=(1+5)÷(10-9)=6÷1=6 ②　座位=9×6+1=55 【知识点睛】(1+5)÷1=6行，9×6+1=55个。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】5人，23本书 解题步骤： ① 人数=(3+2)÷(5-4)=5÷1=5人 ② 书的总量=4×5+3=23本 ③ 验证：5人每人5本需25本，25-23=2本，符合“少2本”要求 ✓ 【知识点睛】用“一盈一亏”公式求解。 17．【答案】6个 解题步骤： ① 先求原人数：(10+6)÷(9-7)=8人 ② 苹果总量：7×8+10=66个 ③ 增加2人后总人数：8+2=10人 ④ 每人分6个需：10×6=60个 ⑤ 剩余苹果：66-60=6个 【知识点睛】先利用盈亏公式求出原人数和苹果总量，再根据人数变化计算剩余数量。 18．【答案】3000个 解题步骤： ① 设原计划工期为x天，根据零件总量不变列等式：150(x+3)=200(x-2) ② 展开计算：150x+450=200x-400，移项得50x=850，解得x=17天 ③ 零件总量=150×(17+3)=150×20=3000个 【知识点睛】根据“总量不变”建立等式，先求工期，再计算零件总量。 19．【答案】4人，28个苹果 解题步骤： ① 人数=(4+4)÷(8-6)=8÷2=4人 ② 苹果总量=6×4+4=28个 ③ 验证：4人每人8个需32个，32-28=4个，符合“少4个”要求 ✓ 【知识点睛】明确盈亏条件，利用“一盈一亏”公式求解，确保人数和总量均为整数。 20．【答案】21个 解题步骤： ① 原人数=(12-2)÷(7-5)=10÷2=5人 ② 糖果总量=5×5+12=37个 ③ 减少3人后总人数=5-3=2人 ④ 每人分8个需：2×8=16个 ⑤ 剩余糖果：37-16=21个 【知识点睛】先利用“两次都盈”公式求出原人数和糖果总量，再根据人数变化计算剩余数量。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $