第02讲 与圆有关的位置关系（5命题点+10题型+4突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第六章 圆 第02讲 与圆有关的位置关系 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 与圆有关的位置关系 题型01点与圆的位置关系 题型02直线与圆的位置关系 题型03圆与圆的位置关系 题型04利用切线的性质求解 题型05证明某直线是圆的切线 题型06切线的性质与判定综合 题型07应用切线长定理求解或证明 题型08由三角形外接圆求值 题型09由三角形内切圆求值 题型10三角形内心有关的应用 05·重难突破·思维进阶难 25 突破一直线与圆的最值问题 突破二三角形内切圆与外接圆综合 突破三切线长定理综合 突破四圆位置关系与函数综合 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 直线与圆的位置关系 广州卷T9 广州卷T24 了解点与圆的位置关系；了解直线与圆的位置关系； 切线的性质与判定 广东卷 T17 广州卷 T16 深圳卷T18 广东卷T17 广州卷T24 深圳卷T18 广东卷T22 深圳卷T20 掌握切线的概念，探索并证明切线长定理； 三角形的内切圆、外接圆 广州卷T9 了解三角形的内心与外心； 命题预测 本专题中切线的判定和性质是圆的相关问题中的重点，常以解答题的形式出现，掌握切线的判定定理是解题的关键，注意其常用辅助线的作法:“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径”同时，切线长定理也有考查。 本专题内容是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大. 预计2026年广东中考数学仍会重点考查本专题内容，分值大概在10分左右，复习时需认真对待； 考点一 点与圆的位置关系 知识点01 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 2．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是______；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为______． 3．（2025·广东广州·二模）已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 4．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，点是上一点，且． (1)的最大值为 ； (2)若与相切，延长，交边于点，过点作于点，求的长． 考点二 直线与圆的位置关系 知识点01 直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2个 1个 无 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线l与⊙O相交d<r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d>r 从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置关系的判断. 5．（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 7．（2025·江苏镇江·一模）已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，点到线段的距离为______．以点为圆心，以2为半径作优弧，交于点，交于点，点在优弧上从点开始移动，到达点时停止，连接，则面积的取值范围是______． 考点三 圆与圆的位置关系 知识点01 圆与圆的位置关系 设的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 外离 无 两圆外离 外切 1个切点 两圆外切 相交 两个交点 两圆相交 内切 1个切点 两圆内切 内含 无 两圆内含 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 9．（2025·广东江门·二模）两圆的半径分别是x2﹣5x＋6＝0的两根，圆心距是6，则这两圆的位置关系是_____． 10．（2025·上海青浦·二模）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __． 11．（2023·广东深圳·三模）近段时间，淄博烧烤成为话题“顶流”，和三五好友在路边小摊上说说笑笑、感受人间烟火气成为时下最受欢迎的休闲方式之一．为恢复和提振消费，越来越多的城市加入支持“地摊经济”的队伍．近日深圳某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”．每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．    (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)社区有一长10米，宽7米的长方形区域，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可以看成半径为米的圆形（如图1所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于米的前提下，此区域内能否摆下四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在右下方方格网（每小格表示边长为米的正方形）内画出设计示意图． 12．（2025·上海闵行·二模）如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是______． 考点四 切线的有关性质 知识点01 切线的性质定理与切线的判定定理 切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线） 【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径. 知识点02 切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 13．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，．与边、、分别相切于点、、，与边交于点，则的长度是______． 15．（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为________． 16．（2025·广东深圳·三模）如图，点P是外一点，是的切线，切点为B，连接． (1)尺规作图：在上方作射线，满足（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中， ①求证：是的切线； ②连接并延长，交射线于点D，若，，求的半径． 考点五 三角形的内接圆与外接圆 知识点01 三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 知识点02 三角形内切圆与内心 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点. 三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等. 17．（2025·广东江门·三模）如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为：__________． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ______． 19．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 _________； 20．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 命题点一 与圆有关的位置关系 ►题型01 点与圆的位置关系 根据点到圆心的距离与半径比较大小，从而得到位置关系.设半径为r，点到圆心的距离为d1）若d＜r，则点P在圆内；2）若d=r，则点P在圆上；3）若d＞r，则点P在圆外. 【典例】（2024·广东·模拟预测）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 【变式2】（2025·广东广州·二模）如图，在正方形中，是平面内一点，，连接．过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②；③当时，；④的最小值为．其中正确的结论是___________． 【变式3】（2025·广东惠州·一模）如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度_____． ►题型02 直线与圆的位置关系 判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： 1、根据直线与圆的公共点的个数判断； ①若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交； ②若直线与圆有一个交点，则直线与圆相切； ③若直线与圆有没有交点，则直线与圆相离. 2、根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 设半径为r，直线到圆心的距离为d ①若d＜r，则直线与圆相交；②若d=r，则直线与圆相切；③若d＞r，则直线与圆相离. 【典例】（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【变式1】（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，，顶点为． (1)求的取值范围及顶点的坐标； (2)若的面积为8， ①当时，抛物线与直线能有两个公共点，求的取值范围； ②点为轴上一点，当最大时，求此时的值． 【变式3】（2023·广东广州·二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是_____________． ►题型03 圆与圆的位置关系 【典例】（2024·天津·模拟预测）已知半径为1，半径为r， 圆心距，如果与相切，则_____ 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知和的半径分别为2和3，若，则和的位置关系是______． 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）在中，，，，O为线段上的动点，圆O的半径为，与射线交于点M，圆A的半径为，与射线交于点N． (1)如图1，当时，判断圆O与圆A的位置关系； (2)如图2，当圆O与圆A存在公共弦时，与交于点H． ①设，，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围； ②若，求两圆重合部分的周长l． ③设圆A与边交于点F，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求圆O的半径． 【变式3】（2025·福建泉州·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； (2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径； (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． ►题型04 利用切线的性质求解 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，点O是的边上一点，以点O为圆心,长为半径作，与相切于点D，过点A作于点E，连接交于点F，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图所示，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·二模）如图，为的直径，C是上一点，为的切线，过点B作于点D，连接，． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，，过点的圆与斜边相切于点，与，边分别交于点，（异于的交点）． (1)求的值； (2)的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由； (3)若与相似，连接，求的面积． ►题型05 证明某直线是圆的切线 1、给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”. 2、给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”. 3、当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”. 【典例】（2026·广东佛山·一模）如图，是的直径，点C是半圆上的一点，过点C作，垂足为D，连接． (1)若，，求的长； (2)若直线经过点C，平分，求证：是的切线． 【变式1】（2026·广东深圳·一模）如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的面积． 【变式2】（2026·广东广州·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，以的中点为圆心，为直径的圆交于，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是圆的切线： (2)若，，求的长． ►题型06 切线的性质与判定综合 【典例】（2025·湖北宜昌·一模）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式1】（2025·广东·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，点为的中点．连接，点为直径下方半圆的中点，过作，分别与，的延长线交于点、，． (1)求的值； (2)求证为的切线； (3)求的长． 【变式2】（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． ►题型07 应用切线长定理求解或证明 【典例】（2025·广东广州·二模）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 【变式1】（2025·四川宜宾·一模）如图，正方形中，，点E为中点，以为直径的半圆交线段于点F，连接交于点G．下列结论：①；②；③；④当点E在边上（不与B、C重合）运动时，有最大值．其中正确结论有________． 【变式2】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 【变式3】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，以为直径的半圆交于D，过D作圆的切线交于E．    求证： (1)； (2)． ►题型08 由三角形外接圆求值 【典例】（2026·广东深圳·一模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，是圆心． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以为对角线，、为边的平行四边形； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 【变式1】（2025·广东潮州·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，是第一象限的抛物线下方一点． (1)求抛物线的解析式； (2)当，则外接圆圆心坐标为__________； (3)当，求的最小值． 【变式2】（2025·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（   ） A． B． C．8 D．4 【变式3】（2024·广东广州·二模）已知线段． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，作，与交于点D，求的最小值，并直接写出此时线段的长： (3)如图3，当时，点E是线段上，关于对称线段为，延长交的延长线于点G，求当点E在方向上运动时，点G的运动路径长． ►题型09 由三角形内切圆求值 【典例】（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____． 【变式1】（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点I是的内心，的延长线与的外接圆交于点D，与交于点E，延长、相交于点F，的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】（2023·广东珠海·三模）如图，点是的内心，的延长线与的外接圆和分别相交于点，，连接并延长，分别交，于，．    (1)求证：； (2)当为中点，时，求的长； (3)若，求证：． 【变式3】（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 ►题型10 三角形内心有关的应用 【典例】（2024·广东汕头·二模）如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（   ） （1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是_________________________． 【变式2】（2023·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【变式3】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 __； （2）是的外心，连接，则的长为 __． 突破一 直线与圆的最值问题 【典例】（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为___________． 【变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长最小是______． 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则______． 【变式3】如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是______． 突破二 三角形内切圆与外接圆综合 【典例】（2025·江苏镇江·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮上切一块最大的且无破损的圆形铁皮． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，不写作法) (2)三角形铁皮上有一破损小洞(点)． ①如图②，点在的中心，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明) ②点不在的中心，点的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路． 【变式1】（2026·陕西西安·二模）探索四边形与矩形中的角度及边长关系 问题提出： (1)如图①，在四边形中，，，，，求四边形的对角线的长； 问题解决： (2)如图②，矩形为某公园内的一片空地，现计划将此区域修建为园林景观，其中将区域建设为池塘，四边形区域放置假山，其余区域种植花草树木．已知，，G为的中点，，．根据设计要求，需将假山区修建的尽可能小．试问四边形面积是否存在最小值？若存在，求出四边形PEGF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 【变式3】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 突破三 切线长定理综合 【典例】（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【变式1】（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【变式2】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，是的直径，，分别与相切于点A，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； (3)如图3，半径为的在边长为的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______． 突破四 圆位置关系与函数综合 【典例】（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式． 【变式1】（2025·广东潮州·一模）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，点，点是菱形的边的中点，反比例函数经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，求点的坐标； (3)如图2，点在上，连接，，点是线段上的动点，连接，作关于直线的轴对称图形，作的外接圆，当的圆心在菱形上或内部时，求的半径的取值范围． 【变式2】（2023·广东珠海·三模）如图，在中，，，．点是边上的一个动点，以为圆心作半圆，与边相切于点，交线段于点，过点作，交射线于点，交射线于点F．    (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)为半圆的切线，为切点，当时，求的长． 【变式3】（2024·广东珠海·一模）综合与实践 素材：一张边长为4的正方形纸片 步骤1：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点在边上，过点作的垂线交射线于点． (1)如图1，若点落在边上，直接写出的度数； (2)如图2， 设，， 试求y关于x的函数表达式； (3)如图3， 为的外接圆，若与边相切，求的长． 1．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，是的切线，切点是点D，直线交于点A、B，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州·一模）已知的半径为5，当线段时，则点与的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 3．（2025·广东广州·二模）如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 5．（2025·广东清远·一模）如图，，是的切线，，为切点，若，则___________． 6．（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是______ 7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为_______． 8．（2024·广东佛山·一模）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，A．若，则的面积为______．    9．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，已知直线经过上的点C，有下列条件：①；②直线是的切线；③．请任意选择其中两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 10．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．    (1)求证：平分； (2)若，求的值． 11．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，点C为弦的中点连接、，点D是上任意一点，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·广东广州·二模）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（   ）． A． B． C．平分 D． 13．（2025·广东河源·模拟预测）如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·广东云浮·一模）为了测量一张光盘的直径，把直尺、光盘、三角尺按图所示放置于桌面上，量出，这张光盘的直径是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·广东深圳·一模）如图，是内接正边形的一条边，若，则_________． 16．（2025·广东东莞·一模）如图，在中，以点O为圆心作与直线相切，点E是上一个动点，连接交于点F，则的最大值是______． 17．（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则______． 18．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 19．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点； (2)在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为______．（使用备用图分析） 20．（2025·广东惠州·三模）如图，在中，点P为直径延长线上一点，直线切于点D，过点B作，垂足为H，交于点C，连接． (1)求证：平分． (2)如果，，求的长？ 21．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 22．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 25．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 29．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为_____． 30．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 31．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 32．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____． 33．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 34．（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 35．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 36．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 37．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 38．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 39．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)，，求的长． 40．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 41．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 42．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 43．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 44．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． 45．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 46．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 47．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 48．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 49．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 50．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆 第02讲 与圆有关的位置关系 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 28 命题点一 与圆有关的位置关系 题型01点与圆的位置关系 题型02直线与圆的位置关系 题型03圆与圆的位置关系 题型04利用切线的性质求解 题型05证明某直线是圆的切线 题型06切线的性质与判定综合 题型07应用切线长定理求解或证明 题型08由三角形外接圆求值 题型09由三角形内切圆求值 题型10三角形内心有关的应用 05·重难突破·思维进阶难 90 突破一直线与圆的最值问题 突破二三角形内切圆与外接圆综合 突破三切线长定理综合 突破四圆位置关系与函数综合 06·优题精选·练能提分 125 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 直线与圆的位置关系 广州卷T9 广州卷T24 了解点与圆的位置关系；了解直线与圆的位置关系； 切线的性质与判定 广东卷 T17 广州卷 T16 深圳卷T18 广东卷T17 广州卷T24 深圳卷T18 广东卷T22 深圳卷T20 掌握切线的概念，探索并证明切线长定理； 三角形的内切圆、外接圆 广州卷T9 了解三角形的内心与外心； 命题预测 本专题中切线的判定和性质是圆的相关问题中的重点，常以解答题的形式出现，掌握切线的判定定理是解题的关键，注意其常用辅助线的作法:“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径”同时，切线长定理也有考查。 本专题内容是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大. 预计2026年广东中考数学仍会重点考查本专题内容，分值大概在10分左右，复习时需认真对待； 考点一 点与圆的位置关系 知识点01 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 点在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 点P在圆外d>r 【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系． 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 2．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是______；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为______． 【答案】 【分析】由题意可得点在外，从而得出，再由切线长定理可得，，，又，则，所以，可得，故有，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵过点可以引的两条切线，， ∴点在外， ∴， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2025·广东广州·二模）已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在内； 故选B． 4．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，点是上一点，且． (1)的最大值为 ； (2)若与相切，延长，交边于点，过点作于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质、圆外一点到圆上距离的最值、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、证明三角形相似是解题的关键； （1）根据圆外一点到圆上距离的最值解答即可； （2）证明，求出，进而可得，易得，可得，再利用相似三角形的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴当A、C、D三点共线，且点D是的延长线与的交点时，最大，最大为； 故答案为： （2）解：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 考点二 直线与圆的位置关系 知识点01 直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2个 1个 无 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线l与⊙O相交d<r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d>r 从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置关系的判断. 5．（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 6．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论． 【详解】解：过点D作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴则圆与直线的关系是相离． 故选：B． 7．（2025·江苏镇江·一模）已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，掌握圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系是关键． 根据圆的半径与圆心到直线的距离的关系判定即可，即，相离；，相切；，相交，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， 以为直径的的半径为， ∵与边有交点， ∴，即， ∴， 故选：A ． 8．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，点到线段的距离为______．以点为圆心，以2为半径作优弧，交于点，交于点，点在优弧上从点开始移动，到达点时停止，连接，则面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，由勾股定理可求出，再根据面积法可求出点到线段的距离；由图易知的边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于的直线上，求出最小高和最大高，进而求出的面积为S的取值范围． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， 设点到线段的距离为， 又 ∴， ∴点到线段的距离为； 如图： Ⅰ．由图可知，的边最小高为M在D时， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为S的最小值． Ⅱ．在过点O且垂直于的直线上时，的边的高最大， ∴的边的高最大值为， ∴的面积为S的最大值为． ∴取值范围为：． 故答案为：；． 考点三 圆与圆的位置关系 知识点01 圆与圆的位置关系 设的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 外离 无 两圆外离 外切 1个切点 两圆外切 相交 两个交点 两圆相交 内切 1个切点 两圆内切 内含 无 两圆内含 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 9．（2025·广东江门·二模）两圆的半径分别是x2﹣5x＋6＝0的两根，圆心距是6，则这两圆的位置关系是_____． 【答案】外离 【分析】解此一元二次方程即可求得两圆半径R和r的值，又由两圆的圆心距等于6，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 【详解】解：∵x2﹣5x＋6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x＝2或x＝3， ∵R、r是方程x2﹣5x＋6＝0的两根， ∴R＝3，r＝2， ∵R＋r＝5，两圆的圆心距等于6， ∴两圆位置关系是外离． 故答案是：外离． 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法，解此题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 10．（2025·上海青浦·二模）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __． 【答案】或 【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示： ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 最大值为圆与圆E内切，切点为Q， ∴， 当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意， 设，则， ∴， ∴， 则长度的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系． 11．（2023·广东深圳·三模）近段时间，淄博烧烤成为话题“顶流”，和三五好友在路边小摊上说说笑笑、感受人间烟火气成为时下最受欢迎的休闲方式之一．为恢复和提振消费，越来越多的城市加入支持“地摊经济”的队伍．近日深圳某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”．每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．    (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)社区有一长10米，宽7米的长方形区域，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可以看成半径为米的圆形（如图1所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于米的前提下，此区域内能否摆下四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在右下方方格网（每小格表示边长为米的正方形）内画出设计示意图． 【答案】(1)每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积3平方米； (2)见解析 【分析】（1）设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意图形满足：每个圆的半径为；每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于；设计两圆的圆心的距离不小于． 【详解】（1）解：设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为平方米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积3平方米； （2）设计方案如图所示．   ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及应用设计与作图，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）确定这些圆的圆心位置（圆心在平行四边形的顶点处）． 12．（2025·上海闵行·二模）如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是能够将移动的过程中两圆的位置关系全部考虑到． 在移动过程中有两次内切，两次外切，根据两圆的各种位置关系中圆心距和两圆的半径之间的关系列出有关时间t的方程求解即可． 【详解】解：设点运动到点时两圆相切， 两圆第一次外切时，， 有， 得， 两圆第一次内切时，， 有， 得， 两圆第二次内切时，， 有， 得， 两圆第二次外切时，， 有， 得， 故答案为：或或或． 考点四 切线的有关性质 知识点01 切线的性质定理与切线的判定定理 切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线） 【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径. 知识点02 切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 13．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【详解】证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，．与边、、分别相切于点、、，与边交于点，则的长度是______． 【答案】 【分析】如图所示，连接，，，，首先推出点F，O，C三点共线，即是的直径，然后求出，然后由切线长定理得到，，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，， ∵与边、、分别相切于点、、， ∴，， ∵四边形是平行四边形 ∴，，， ∴点F，O，C三点共线，即是的直径 ∵ ∴ ∴ ∵与边、、分别相切于点、、， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，切线长定理，解直角三角形等知识．连接，如图，由正方形的性质得，再由折叠的性质得，接着根据切线长定理得到平分，则，所以，则利用可计算出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵沿折叠至， ∴， ∵，与以正方形的中心为圆心的相切， ∴平分， ∴， ∴， 而， ∴， 在中，． 故答案为：． 16．（2025·广东深圳·三模）如图，点P是外一点，是的切线，切点为B，连接． (1)尺规作图：在上方作射线，满足（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中， ①求证：是的切线； ②连接并延长，交射线于点D，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）尺规作图作一个角等于已知角，依据的是全等三角形的判定定理，通过圆规截取等长线段构造全等三角形来实现角的相等． （2）①过点O作于点，根据角平分线的性质可得，即可解答； ②根据，可得，，再由切线长定理可得，然后根据，即可解答． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）①证明：如图，过点O作于点 ∵是的切线， ∴， ， ， 是的切线； ②解：， ，， ∵，是的切线， ∴， ， 在和中， ，， ， ， ， 的半径为 【点睛】本题主要考查尺规作图、切线的性质与判定、切线长定理、三角函数的定义、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练运用这些知识，利用角平分线性质判断直线与圆的位置关系，借助三角函数和相似三角形对应边成比例来求解线段长度． 考点五 三角形的内接圆与外接圆 知识点01 三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径. 知识点02 三角形内切圆与内心 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点. 三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等. 17．（2025·广东江门·三模）如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为：__________． 【答案】3 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点H，因为是的高，所以于点D，由点O是的内心，证明平分，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H， ∵是的高， ∴于点D， ∵点O是的内心， ∴平分， ∵点O在的平分线上，且于点H，于点D， ∴， ∴点O到边的距离为3， 故答案为：3． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ______． 【答案】 【分析】连接，，，延长交于点，连接，由折叠的性质可知，，，证明，然后证明，则，从而求出，则，连接，，，然后通过，得，求出的值即可． 【详解】解：连接，，，延长交于点，连接，如图， 由题意得：， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵分别与相切，切点分别为， ∴的半径，，，， 连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 _________； 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 20．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 命题点一 与圆有关的位置关系 ►题型01 点与圆的位置关系 根据点到圆心的距离与半径比较大小，从而得到位置关系.设半径为r，点到圆心的距离为d1）若d＜r，则点P在圆内；2）若d=r，则点P在圆上；3）若d＞r，则点P在圆外. 【典例】（2024·广东·模拟预测）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东广州·二模）如图，在正方形中，是平面内一点，，连接．过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②；③当时，；④的最小值为．其中正确的结论是___________． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，可证明是等腰直角三角形，得到，则，由正方形的性质得到，则可证明，得到，进而得到，据此可判断①②；过点A作，当时，则，可得，据此可判断③；作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，可证明，过点O作交延长线于T，连接，根据，可得当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故①正确 ∴， ∴，即，故②正确； 如图所示，过点A作， 当时，则， ∴，故③错误； 如图所示，作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点O作交延长线于T，连接， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，即最小值为，故④正确； 故答案为：①②④． 【变式3】（2025·广东惠州·一模）如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度_____． 【答案】2.4 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，点的坐标． 根据题意得出最大的情况是解题的关键． 连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，根据勾股定理求出，延长交于点，此时最大，，由，此时，然后 根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∴， 延长交于点，此时最大，， ∵，此时， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.4． ►题型02 直线与圆的位置关系 判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： 1、根据直线与圆的公共点的个数判断； ①若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交； ②若直线与圆有一个交点，则直线与圆相切； ③若直线与圆有没有交点，则直线与圆相离. 2、根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 设半径为r，直线到圆心的距离为d ①若d＜r，则直线与圆相交；②若d=r，则直线与圆相切；③若d＞r，则直线与圆相离. 【典例】（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 【变式1】（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，，顶点为． (1)求的取值范围及顶点的坐标； (2)若的面积为8， ①当时，抛物线与直线能有两个公共点，求的取值范围； ②点为轴上一点，当最大时，求此时的值． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)①；② 【分析】（1）由抛物线轴有2个交点可得，求出的取值范围，再利用二次函数的顶点式求出顶点的坐标即可； （2）①令，表示出的长，再利用三角形的面积公式求出的值，得出抛物线的解析式为，根据直线得出恒过定点，再分和两种情况讨论的取值范围即可求解；②先求出点的坐标和的长，作的外接圆，过点作轴于点，连接、、，利用外接圆的性质得出圆心在抛物线的对称轴上，即点到轴的距离为3，再利用直线与圆的位置关系得出，再利用圆周角定理证出，分析得到当最大时，有最大值，再利用正弦的定义求出的最大值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ， 顶点的坐标为． 综上所述，的取值范围为，顶点的坐标为． （2）解：①由（1）得，， 令，则， 解得：， ， 的面积为8， ， 解得：， 抛物线； 直线， 当时，， 直线经过定点， 当时，直线， 联立， 解得：或， 抛物线与直线的交点为和， 当时，抛物线与直线能有两个公共点，即符合题意； 当时，则，直线中的随增大而增大， 由图象可得，此时抛物线与直线有两个交点，一个在点的下方，另一个在点的上方， 又当时，抛物线与直线能有两个公共点， ； 综上所述，的取值范围为． ②由①中的结论得，抛物线， 抛物线的对称轴为， 令，则， 解得：，， 设点在点的左侧，则，，， 如图，作的外接圆，过点作轴于点，连接、、， ， 点在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上， 点到轴的距离为3， 点在轴上， 与轴至少有1个交点， 的半径点到轴的距离，即， 轴，， ，， 又 ， 当最大时，也最大，即有最大值， 在中，， ，， ， 的最大值为，此时最大， 当最大时，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、三角形外接圆的性质、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决难题的学生． 【变式3】（2023·广东广州·二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是_____________． 【答案】相交 【分析】由以及题意知，，，由，可判断直线l与的位置关系． 【详解】解：， 由题意知，， ∵， ∴直线l与相交， 故答案为：相交． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握． ►题型03 圆与圆的位置关系 【典例】（2024·天津·模拟预测）已知半径为1，半径为r， 圆心距，如果与相切，则_____ 【答案】 【分析】本题考查圆与圆的位置关系以及根据圆的位置关系求圆心距与半径的关系．根据题意与相切可知，此时存在两圆内切或外切的情况，画出两种情况的示意图即可表示出圆心距d与半径之间的关系． 【详解】解：由题意知，与相切， 此时分内切和外切两种情况： ①当与外切时，如图： ∴， ∴， ②当与内切时，如图： 延长至内切点A， ∴，即， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知和的半径分别为2和3，若，则和的位置关系是______． 【答案】外切 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差），据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵和的半径分别为2和3，且， ∴和的位置关系是外切， 故答案为：外切 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）在中，，，，O为线段上的动点，圆O的半径为，与射线交于点M，圆A的半径为，与射线交于点N． (1)如图1，当时，判断圆O与圆A的位置关系； (2)如图2，当圆O与圆A存在公共弦时，与交于点H． ①设，，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围； ②若，求两圆重合部分的周长l． ③设圆A与边交于点F，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求圆O的半径． 【答案】(1)圆O与圆A外切，理由见解析 (2)①；②；③当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或． 【分析】（1）根据两圆的位置关系可判断圆O与圆A外切； （2）①由题意得四边形是菱形，在中，由勾股定理列式即可求解； ②先求得，，证明是等边三角形，利用勾股定理求得，再利用弧长公式求解即可； ③分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：圆O与圆A外切，理由如下： 当时， ∴圆O的直径为，圆A的半径为， ∵， ∴圆O与圆A外切； （2）解：①由题意得，则四边形是菱形， ∴，，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 整理得； ②∵， ∴，，则是等边三角形， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的长； ∴两圆重合部分的周长； ③当时，如图， ∴圆O的半径为； 当时，如图，圆O与圆A重合， ∴圆O的半径为； 当时，如图，连接，作于点， ，，， ∵，，， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， 由题意得是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 设，则， 同理， 解得． 综上，当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或． 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式3】（2025·福建泉州·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； (2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径； (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）任务1：由题可知两圆的直径为，则圆的最大半径为； （2）任务2：连接，，利用勾股定理求出，利用三角形内切圆的性质证明四边形为正方形，即可解答； （3）任务3：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点，利用勾股定理求得半径的值，根据题意求出符合的半径即可． 【详解】（1）解：从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘，两圆沿矩形铁片长边并排排列， 两圆的直径为， 圆的最大半径为； （2）解：如图，连接，， 设的半径为， 在中，， 是的内切圆， ，，，，， 又， 四边形为正方形， ． （3）解：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距， 如图，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点， 则，， 在中，， 整理得， 解得， 当时，，不符题意； 当时，，且， 任务3中圆的最大半径为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查两圆相切的性质，三角形内切圆的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，掌握两圆相切的性质，勾股定理是解题的关键． ►题型04 利用切线的性质求解 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，点O是的边上一点，以点O为圆心,长为半径作，与相切于点D，过点A作于点E，连接交于点F，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理．解题的关键是：（1）通过连接半径构造直角三角形，利用证明，结合切线性质证得是切线；（2）利用“等角对等边”证得，结合的比例关系求圆的半径，再通过直角三角形勾股定理与相似比计算的长度． （1）连接，由是切线得；利用、、，证，得，即，证是切线（全程不涉及）． （2）设，得；由得，求解得；在中用勾股定理求，再由相似比得，最后算． 【详解】（1）证明：连接， ∵ 与相切于点， ∴ （圆的切线垂直于过切点的半径）， ∵ 、均为的半径， ∴ ， 在和中，， ∴ （）， ∴ （全等三角形的对应角相等）， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 又∵ 是的半径， ∴ 是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． （2）解：设， 由（1）知， ∴ ， ∵ ，， ∴ （垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ ， ∴ （等角对等边）， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ （两角分别对应相等的两个三角形相似）， ∴ （相似三角形的对应边成比例）， 又，，，代入得： ， 交叉相乘得：， 化简：， ∴ ， 解得（舍去，半径为正数）， ∴ ，， 在中，，由勾股定理： ， 由，得， 代入，，得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 答：的长为． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图所示，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是正确的计算；先根据切线的性质得，根据等腰三角形的性质得，根据三角形的内角和进而得到答案； 【详解】解：如图所示，连接， ∵过点作的切线与的延长线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 故选：B． 【变式2】（2024·广东·二模）如图，为的直径，C是上一点，为的切线，过点B作于点D，连接，． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质和，得到，由两直线平行内错角相等得到，结合，由等边对等角可得，进而证明结论； （2）根据直角三角形的性质和（1）的结论得到，结合，得到为等边三角形，可得，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于点C， ∴，     ∵， ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，切线的性质，平行线的判定与性质，等边对等角，角平分线的定义，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，，过点的圆与斜边相切于点，与，边分别交于点，（异于的交点）． (1)求的值； (2)的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由； (3)若与相似，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)的长有最小值， (3)的面积为或 【分析】（1）先利用勾股定理可得，再根据正弦三角函数的定义即可得； （2）如图（见解析），先确定圆心的位置，从而可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据圆的切线的性质可得，最后利用三角形的面积公式即可得； （3）分和两种情况，先根据相似三角形的性质得出对应角相等，再利用圆的切线的性质、解直角三角形求解即可得． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ； （2）解：如图，设的中点为点，连接， ， 是圆的直径，点是圆心， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为， 是的切线， ， ，即， 解得：， 则的最小值为； （3）解：由题意，分以下两种情况： ①当时，则， 如图，设的中点为点，连接，并延长交于点，连接， ， ， ， ， ， ，即， 是的切线， ， 点与点重合， 为的直径， ， 由（2）已得：当时，， ， 在中，，即， 解得， 在中，， 在中，，即， 解得， 则的面积为； ②当时，则， ，， 如图，设的中点为点，过点作于点，连接， 则四边形是正方形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 在中，，， 解得，， ， 又， ， 解得， ，， 则的面积为， 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． ►题型05 证明某直线是圆的切线 1、给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”. 2、给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”. 3、当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”. 【典例】（2026·广东佛山·一模）如图，是的直径，点C是半圆上的一点，过点C作，垂足为D，连接． (1)若，，求的长； (2)若直线经过点C，平分，求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，根据直径求出半径，在中，利用勾股定理计算出答案即可； （2）连接，根据等边对等角得到，根据垂线的定义以及直角三角形两锐角互余得到，再根据角平分线的定义得到，证明，即可得到结论； 【详解】（1）解：连接， 是的直径，， ， ， 在中，； （2）证明：连接， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， ， 是半径， 故是的切线． 【变式1】（2026·广东深圳·一模）如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得证； （2）过点D作于点G，根据勾股定理，三角函数的应用，结合的面积为：求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：过点D作于点G， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积为：． 【变式2】（2026·广东广州·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得，于是可得出结论是的切线； （2）利用正切求得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． ∵(半径)，， ∴． ∴， ∴． ∴是的切线． （2）解：∵半径为3，为直径， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，以的中点为圆心，为直径的圆交于，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是圆的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，根据等角的余角相等得出，推得，即可证明； （2）根据勾股定理求出的值，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： 由题可知， ∵为直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵和是圆的半径， ∴， ∴， 即， 故：是的切线． （2）解：由（1）可知， 在中， ， ∴， 又∵在和中，， ∴， ∴，即， 求得， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线判定，直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质等，利用角的等量转化是解决本题的关键． ►题型06 切线的性质与判定综合 【典例】（2025·湖北宜昌·一模）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 【变式1】（2025·广东·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，点为的中点．连接，点为直径下方半圆的中点，过作，分别与，的延长线交于点、，． (1)求的值； (2)求证为的切线； (3)求的长． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】此题主要考查了切线的性质和判定，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，第三问有难度，根据线段的比设未知数，列一元一次方程可解决问题． （1）利用是的直径和是的切线判断出，由同角的余角相等即可得出结论； （2）利用直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质，即可得出结论； （3）作辅助线，构建相似三角形，证明，列比例式得，设，，根据列等式可得的值，最后由勾股定理计算可得和的长，相加可得结论． 【详解】（1）解：为的直径， ， ， ，点为的中点， ， 为的切线， ， ， ， ； （2）解：如图1，连接， ， ， 中，是的中点， ， ， ，即， ， 即， 为的半径， 为的切线； （3）解：如图2，过点作于，交于，则， ， 设，， ，， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 是的中点，是的直径， ， ， ， ， ，即， 设，， ，即， ， ，， 由勾股定理得：，， ． 【变式2】（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论； （2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明四边形是矩形，再结合折叠的性质可得，从而得到，即可解答； （2）过点 H 作于点M，则四边形是矩形，可得，可得，从而得到，然后在中，由勾股定理解答即可； （3）如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N．根据是的中位线，可得，，然后在中，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，四边形 是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴是等边三角形； （2）解∶如图，过点 H 作于点M，则四边形是矩形， 由折叠的性质得：． 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴ 整理，得：， ∴y关于x的函数解析式为． （3）解∶如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N． 设， 由（2）可知， ∵， ∴是的直径． ∵与边， ， ∴，即， ∴是的中位线． ∴， ， ， 在中，由勾股定理，得 解得： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． ►题型07 应用切线长定理求解或证明 【典例】（2025·广东广州·二模）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先由切线长定理求得，，推出垂直平分，再根据圆周角定理求得，利用平行线的判定定理得到； （2）先由垂直平分，得出，，则再结合勾股定理列式，，，计算得出，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：连接交于点Q． 分别与相切， ∴，， 则垂直平分，即， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴． 设， 则，， ∴． 设， 则，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质与定理，切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（2025·四川宜宾·一模）如图，正方形中，，点E为中点，以为直径的半圆交线段于点F，连接交于点G．下列结论：①；②；③；④当点E在边上（不与B、C重合）运动时，有最大值．其中正确结论有________． 【答案】①②④ 【分析】取的中点O，连接，过点F作于H，取中点M．通过说明四边形为平行四边形，由直径所对的圆周角为直角，结合垂径定理得出．可判定①正确；利用，对应边成比例，解得和的长，从而判定②正确；通过，计算出的长，再利用三角形面积公式得出三角形的面积，从而判定③错误；根据当且仅当与相切时，取得最大值，利用勾股定理计算出的最大值，判定④正确． 【详解】解：取的中点O，连接，过点F作于H，取的中点M． ∵四边形为正方形， ∴． ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵是半圆的直径， ∴，即， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 故①正确； 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，即．故②正确； 作， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，故③错误； 当E点在上运动时，点F在上运动， 当且仅当与相切时，取得最大值． ∴当取得最大值时，，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得：． ∴的最大值为，故④正确． 综上，正确结论有：①②④． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，结合已知条件恰当的添加辅助线是解题的关键． 【变式2】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由,证明，，进而得证； （2）连接，连接，证明，得到，由为的切线得到，，证明，得到，则，得到，又由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴ 即 ∵为的切线， ∴， 即． ∴， ∵ ∴， ∴． （2）连接，连接，如图， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴ ∵为的切线， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，添加适当的辅助线是证明的关键． 【变式3】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，以为直径的半圆交于D，过D作圆的切线交于E．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由为直径可以得出为圆的切线，再根据切线长定理得出，然后在中可推得E，即可证明． （2）根据（1）的结论并结合相似三角形即可证明． 【详解】（1）证明：连接；    ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴是圆的切线； 又∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴（等角的余角相等）， ∴， ∴． （2）在与中, ∴ ∴ 即； ∵由（1）得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、切线长定理、圆周角定理、三角形内角和定理、相似三角形等知识点，解题的关键是熟练运用相关的定理和推论． ►题型08 由三角形外接圆求值 【典例】（2026·广东深圳·一模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，是圆心． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以为对角线，、为边的平行四边形； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质即可求解； （2）利用平行四边形的性质可知即可判定； （3）根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如下图：作，，构造平行四边形． （2）证明：连接并延长交于点，连接，， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． （3）解：，垂直平分交于点， ， ，， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】 【变式1】（2025·广东潮州·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，是第一象限的抛物线下方一点． (1)求抛物线的解析式； (2)当，则外接圆圆心坐标为__________； (3)当，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，直角三角形外接圆圆心以及圆的性质，构造辅助圆是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据直角三角形外接圆圆心是斜边中点可得结论； （3）以为弦，构造，设I为圆心，连接交于点P，过I作轴于点E，轴于点F，如图，得出为等腰直角三角形，证明四边形为正方形，求得，由勾股定理得出，从而可得出的最小值． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点，，代入解析式得：， 解得：， 所以解析式为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴外接圆圆心是的中点，即，如图， 故答案为：； （3）解：以为弦，构造，设I为圆心，连接交于点P，过I作轴于点E，轴于点F，如图， ， ， 为等腰直角三角形 轴，轴， 四边形为正方形， ， ，， 在中， 由勾股定理得：， CP的最小值为：． 【变式2】（2025·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理，作出三角形的外接圆是解题的关键． 作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，E必为圆心，即、为半径，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图，作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰， ∵， ∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为， ∵， ∴在弦的垂直平分线上， ∵， ∴E必为圆心，即、为半径， ∵， ∴， ∵， ， 故选A． 【变式3】（2024·广东广州·二模）已知线段． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，作，与交于点D，求的最小值，并直接写出此时线段的长： (3)如图3，当时，点E是线段上，关于对称线段为，延长交的延长线于点G，求当点E在方向上运动时，点G的运动路径长． 【答案】(1)； (2)的最小值为， (3)点G的运动路径长为． 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解； （2）作，于点，证明，再推出，求得，当点三点共线，且点在下方时，取得最大值，据此可求得的最小值，设交于点，点也在上，再证明，据此可求解； （3）连接，设，，利用三角形的外角和以及内角和定理求得，推出点在的外接圆上，得到点的路径为以2为半径，为圆心角的弧上，利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：作，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上， ∴当点三点共线，且点在下方时，取得最大值， 此时，， ∴， ∴，即的最小值为， 设交于点，连接， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴点也在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴， 设，， 则，，， ∵， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴点在的外接圆上， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点的路径为以2为半径，为圆心角的弧上， ∴点G的运动路径长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，四点共圆，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． ►题型09 由三角形内切圆求值 【典例】（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 【变式1】（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点I是的内心，的延长线与的外接圆交于点D，与交于点E，延长、相交于点F，的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)3 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，即可得出结论； （2）证明，利用相似比得到，则，再计算即可． 【详解】（1）证明：∵点I是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；    （2）解；∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及平行线的判定、内接四边形的性质，熟练掌握三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个角是解题的关键． 【变式2】（2023·广东珠海·三模）如图，点是的内心，的延长线与的外接圆和分别相交于点，，连接并延长，分别交，于，．    (1)求证：； (2)当为中点，时，求的长； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据圆周角定理，证明，即可解答； （2）证明，根据相似三角形的对应边边长比相等，即可解答； （3）证明，作关于的对称点，证明，，即可解答． 【详解】（1）证明：点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， ∴ ∵， ∴ 为中点，， ∴ ∴， ∴； （3）证明：∵且为内心， 分别是的角平分线， ∴， ∴，， 如图，作关于的对称点，    ∵是的角平分线， ∴点落在上， 由轴对称的性质∴， ， 在与中， ， ， 同理可得， ∴，， ． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，在复杂的图形中利用圆周角定理找到相等的角是解题的关键． 【变式3】（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过点I作，垂足分别为G，F，可得，，设，，再由，即可求解． 【详解】如图，过点I作，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心， ∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理，熟练掌握三角形的内心的性质，切线长定理是解题的关键． ►题型10 三角形内心有关的应用 【典例】（2024·广东汕头·二模）如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（   ） （1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由作图可知，点是的内心，故（1）错误．证明，推出，，，可以证明（2）、（3）正确，利用相似三角形的性质证明（4）错误即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ，是的中线， ∴是的角平分线 ∴点是的内心，故（1）错误； ，， ， 在和中， ， ， ，，，即平分，故（2）正确； ， ， ， ，故（3）正确； ，， ， ，即，整理得， ， ， ，故（4）错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 【变式1】（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是_________________________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，进而即可求解．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心． 【详解】解：设是的内切圆与，，的切点分别为，，，令，与分别交于，， 则、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由圆的对称性及角平分线的对称性可知，图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2023·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构造全等三角形，难点是在解答的周长最小时，将三角形的各边都用表示，并根据垂线段最短来判断．连接，过点作于，于，依据“”判定和全等，从而得出，然后再根据四边形的内角和等于即可对甲的说法进行判断；过点作于点，则，根据得，进而得，据此得的周长为，只有当最小时，的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断． 【详解】解：连接，过点作于，于， 点为的内心， 是的平分线， 又，， ， 在和中， ， ， ， 在四边形中，， ， 又， ， 即：， ， 即：， 故甲的说法正确； 过点作于点， ， 是的平分线，， ， 又甲的说法正确； ， ， 在中，， ， ， 的周长为：， 当最小时，的周长为最小， 根据“垂线段最短”可知：当时，的周长为最小， ， 与一定不垂直， 不是最小， 的周长不是最小， 故乙的说法不正确． 故选：A． 【变式3】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 __； （2）是的外心，连接，则的长为 __． 【答案】 2 【分析】（1）连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题； （2）连接，证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，    在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2； （2）如图，连接， 由1.知，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， （AAS）， ， 是的外心， ， ， 在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别． 突破一 直线与圆的最值问题 【典例】（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为___________． 【答案】/ 【分析】如图，以为边作等边，连接，可证，然后可得点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，要使得 面积最小，则求出点到线段的最小距离，点到的最小值为，最后求出面积即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形， ∴点到的距离为， ∴点到的最小值为， ∴面积最小值为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹圆相关知识点，全等三角形的判定，勾股定理的运用，构造辅助圆的方法求最值问题，解题关键是利用构造全等三角形找到动点的轨迹，再求出圆上一点到定点线段距离的最小值． 【变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长最小是______． 【答案】 【分析】取中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，如图， ∵，， ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴, 在中，， ∴的长最小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，求到圆上一点的最小距离，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则______． 【答案】 【分析】过点D作DM⊥CA，交CA的延长线于点M，DM交于点P，由∠ACO=∠DCM，得，解得：DM=，进而即可求解． 【详解】过点D作DM⊥CA，交CA的延长线于点M，DM交于点P，此时面积最小， ∵二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点， ∴A(-2，0)，C(0，-4)，即：OA=2，OC=4，AC=， ∵点坐标为， ∴OD=2， ∵∠ACO=∠DCM， ∴sin∠ACO=sin∠DCM，即：， ∴DM=CD×=6×=． ∵面积最小值为5， ∴，解得：R=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，添加辅助线，找出面积最小值为5时，点P的位置，是解题的关键． 【变式3】如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是______． 【答案】 【详解】解：过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示． 当x=0时，y=3，∴点B的坐标为（0，3）； 当y=0时，x=4，∴点A的坐标为（4，0），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∴sinB=． ∵C（0，﹣1），∴BC=3﹣（﹣1）=4，∴CP=BC•sinB=． ∵PQ为⊙C的切线，∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，∴PQ==． 故答案为． 突破二 三角形内切圆与外接圆综合 【典例】（2025·江苏镇江·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮上切一块最大的且无破损的圆形铁皮． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，不写作法) (2)三角形铁皮上有一破损小洞(点)． ①如图②，点在的中心，用直尺和圆规作出；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明) ②点不在的中心，点的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线，相似三角形的性质与判定； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②如图⑤或图⑥，即为所求． 思路：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作； 思路：作的角平分线，作点关于的对称点，的延长线交于点；作，在上截取，以为直径作，过点作，交于点，可得；在上截取，可知；过点作，交于点，以为圆心，为半径作． 【变式1】（2026·陕西西安·二模）探索四边形与矩形中的角度及边长关系 问题提出： (1)如图①，在四边形中，，，，，求四边形的对角线的长； 问题解决： (2)如图②，矩形为某公园内的一片空地，现计划将此区域修建为园林景观，其中将区域建设为池塘，四边形区域放置假山，其余区域种植花草树木．已知，，G为的中点，，．根据设计要求，需将假山区修建的尽可能小．试问四边形面积是否存在最小值？若存在，求出四边形PEGF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积存在最小值，最小值为 【分析】（1）过点D作，由旋转的性质得到为等腰三角形，求出，再利用正弦的定义求解即可；（2）连接将绕点P逆时针旋转60°，得到，连接，证明为等边三角形，得出，作的外接圆O，过点O作，垂足为M，过点E作，垂足为N，连接、，得到，作的外接圆，过点G作，垂足为I，交圆于点K，过点P作，垂足为H，连接、，证明G、P、H、四点共线，求出的最小值即可得解； 【详解】（1）解：， ， ， 如图①，将绕点D逆时针旋转120°得到， ，， 点A与点C对应，点B与点E对应， 则， B、C、E三点共线， ，， 为等腰三角形， ， 过点D作，垂足为F， ， ，， ， ， ； （2）解：存在． 如图②，连接将绕点P逆时针旋转60°，得到，连接， ，， 点E与点F对应，点G与点对应， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 作的外接圆O，过点O作，垂足为M，过点E作，垂足为N，连接、， 当N、M两点重合时有，此时， 此时， 作的外接圆，过点G作，垂足为I，交圆于点K，过点P作，垂足为H，连接、， ， 当G、P、H三点共线时有， 点G为的中点， ， ， 当P、H、三点共线时有， 此时，G、P、H、四点共线， ， 连接、， ， 易得， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， 四边形的面积存在最小值，最小值为． 【变式2】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，为直角三角形的中线，即可求解； （2）和的外接圆面积之比为3，确定，即，得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接、， 是直径，则， 是切线， ， ， ，即是圆的切线， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：和的外接圆面积之比为3，， 则两个三角形的外接圆的直径分别为、， ， ∵， ∴， ， ∵，是直径， ∴， ， ∴， ， ，是直角三角形的中线， ， 为等边三角形， 的面积：， 则，， ，，， ∵是的中位线， ∴， ∴四边形的外接圆面积， ∵等边三角形边长为2， ∴其内切圆的半径为：，面积为， 故的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比为：． 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过和的外接圆面积之比为3，确定，进而求解． 【变式3】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）连接，由，可得，设，，则，，同法可证：，推出，推出，推出，设，，由，可得，推出，即解得，由此即可解决问题； 【详解】（1）是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ， ； （2）连接． ， ， ， ，， ， ，设，，则，， 同法可证：， ， ， ：：，设，， ，， ， ， ， 或舍弃， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 突破三 切线长定理综合 【典例】（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证是的切线，通过切线性质得，结合角平分线证，从而得，完成证明； （2）先证得，结合切线长定理得，再用勾股定理表示，最后在中列方程求解半径． 【详解】（1）证明：与相切， ． ． 平分线， ． 在和中 ． ． 是的切线． （2）解：在和中， ． ． ． ，是的切线， ． ． ． 设，则，． ， ． 解得． 的半径长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的判定与性质、全等三角形的判定以及利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【变式1】（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 【变式2】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，是的直径，，分别与相切于点A，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用,锐角三角函数等知识点，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力． （1）根据切线的性质得，，证得，进而得证； （2）连接，令交圆于点F，利用，可求出，再证明，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出，的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵，与分别相切于点A，C， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （2）解：令交圆于点F， ∵，与分别相切于点A，C， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴． 【变式3】在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； (3)如图3，半径为的在边长为的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是关键． （1）通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切； （2）连接．证明三点在同一条直线上，得到，由及，即可得到答案； （3）先证明四边形为正方形，结合题意，所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去四个直角处的空白部分的面积，最后利用扇形的面积公式即可求得． 【详解】（1）如图， 过点作于点， 四边形为正方形， ， ． ， 等于的半径， 与相切． （2）如图， 连接， 四边形为正方形，， ． ，，分别与相切于点，，， ， ， ， 垂直平分． ， 点在的垂直平分线上， 三点在同一条直线上． ， ， ． （3）如图， 设与正方形的边切于点，与切于点， ． 且， 四边形为正方形． ． 半径为的在边长为的正方形内任意移动， 所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去四个直角处的空白部分的面积， 所移动过的最大区域面积． 故答案为：． 突破四 圆位置关系与函数综合 【典例】（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）是的直径，得到，，再进一步得到，根据切线的判定定理即可得出结论； (2)连接证明，得到，进一步证明，得到，，设，则，由，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图所示 ∵是的直径，    ∴， ∴， ∵由题意得：， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·广东潮州·一模）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，点，点是菱形的边的中点，反比例函数经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，求点的坐标； (3)如图2，点在上，连接，，点是线段上的动点，连接，作关于直线的轴对称图形，作的外接圆，当的圆心在菱形上或内部时，求的半径的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据中点坐标公式得出，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意，当和相似，则或，则或，设，代入进行计算即可求解； （3）根据题意得出是等腰直角三角形，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，证明在直线上运动，进而求得根据题意分别求得最小值与最大值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点是菱形的边的中点， ∴ ∵反比例函数经过点． ∴ ∴； （2）如图， ∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ ∵点，点 ∴ ∴， ∵ 当和相似，则或 ∴或 设， ∴或 解得：（舍去）或或或（舍去） 当时，，当时， ∴或 （3）解：∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设， ∴，即 ∴， ∵， ∴即 ∴ 解得： ∴在直线上运动， 设为的外接圆半径为，则的外接圆半径也为 如图，当时，取得最小值，最小值为 当在上时，如图，此时取得最大值， ∵点，点 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 将代入，得 ∴ ∴． ∴的半径的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，相似三角形的性质与判定，正切的定义，三角形的外心的性质，一次函数综合，圆周角定理的意义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】（2023·广东珠海·三模）如图，在中，，，．点是边上的一个动点，以为圆心作半圆，与边相切于点，交线段于点，过点作，交射线于点，交射线于点F．    (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)为半圆的切线，为切点，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，，根据切线的性质得，根据等边对等角得出，根据已知条件得出，即，进而即可得证； （2）根据已知证明，得出，，由（1）的结论证明，，，表示出，在中，，根据，得出自变量的范围，即可求解； （3）连接，依题意，，由（2）可得，在中，，根据，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图所示，连接，，    是的切线， ，即， ， ， ，即 ， 即； （2），， ， ， ，，， 根据勾股定理， 得， ，， ，， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， 解得：， ， 当时，点在线段上， 即， 则， 综上所述，； （3）如图所示，连接， 为半圆的切线，为切点，    由（1）可得； 又， ， ， ， ， 由（2）可得， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质，三角函数关系是解题的关键． 【变式3】（2024·广东珠海·一模）综合与实践 素材：一张边长为4的正方形纸片 步骤1：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点在边上，过点作的垂线交射线于点． (1)如图1，若点落在边上，直接写出的度数； (2)如图2， 设，， 试求y关于x的函数表达式； (3)如图3， 为的外接圆，若与边相切，求的长． 【答案】(1)； (2)关于的函数表达式为； (3)． 【分析】（1）证明，推出，，得到是等边三角形，据此求解即可； （2）过点作于点，同理证明，推出，在中，由勾股定理求解即可； （3）设与边相切于点，连接并延长，交边于点，证明是的中位线，求得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， 由对称性可知： ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，如图， 同理四边形是矩形， 由折叠的性质知，， 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，整理得， ∴关于的函数表达式为； （3）解：设与边相切于点，连接并延长，交边于点，如图， 设，，由（2）知， ∵与边相切于点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 1．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，是的切线，切点是点D，直线交于点A、B，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理，如图，连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：连接，如图， 是的切线，切点是点， ， ， ， ． 故选：B． 2．（2023·广东广州·一模）已知的半径为5，当线段时，则点与的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据点A到圆心的距离大于半径即可求解． 【详解】解：∵， ∴A点在圆外， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上，小于半径时点在圆内是解题的关键． 3．（2025·广东广州·二模）如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理得到直线和是的两条切线，利用证明，得到答案． 【详解】解：是的直径， ， ，， 直线和是的两条切线， 在和中， ， ， ，， 判定的定理是， 故选：D． 4．（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 5．（2025·广东清远·一模）如图，，是的切线，，为切点，若，则___________． 【答案】/60度 【分析】该题考查切线的性质，解直角三角形，角平分线的判定，根据切线的性质得出，从而得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴． 又， 平分， 在中，， ∴， 则， 则． 故答案为：． 6．（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是______ 【答案】/ 【分析】本题主要考查直角三角形的斜边的中线性质；先求出进而得出，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即，即可得出t最小时，点P在上，用两点间的距离公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵、、， ∴， ∴，     ∵， ∴ 要t最小，就是点A到上的一点的距离最小， ∴点P在上， ∵， ∴， ∴t的最小值是， 故答案为：． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为_______． 【答案】/45度 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，圆内接四边形的性质，根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 8．（2024·广东佛山·一模）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，A．若，则的面积为______．    【答案】 【分析】此题重点考查切线的性质定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识．设所在的圆的圆心为Q，连接、、，四边形是正方形，推出，利用勾股定理求得的长，利用三角形的面积公式，计算得到问题的答案． 【详解】解：设所在的圆的圆心为Q，连接、、，      ∵恰好与弦，分别相切于点E，A， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 9．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，已知直线经过上的点C，有下列条件：①；②直线是的切线；③．请任意选择其中两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据切线的判定和性质，“三线合一”，三角形全等的判定和性质，进行解答即可． 【详解】解：①②为条件，③为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵直线是的切线； ∴， ∵， ∴； ①③为条件，②为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵直线经过上的点C， ∴为半径， ∴直线是的切线； ②③为条件，①为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵直线是的切线； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．    (1)求证：平分； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则根据平行线的判定方法得到，再利用平行线的性质得到，加上，从而得到； （2）根据圆周角定理得，再证明，利用相似三角形的性质得到，则，接着利用正弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值求解． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 【详解】（1）证明：连接，如图，   为的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：是的直径， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， ． 11．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，点C为弦的中点连接、，点D是上任意一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，三线合一和圆内接四边形等知识点．作所对的圆周角，连接，如图，先利用等腰三角形的性质得到平分，则，再根据圆内接四边形性质得到即可． 【详解】解：作所对的圆周角，连接，如图，    ∵点为弦的中点，， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 12．（2025·广东广州·二模）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（   ）． A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】连接根据切线长定理判断B；再说明是的垂直平分线，根据等弧所对的圆周角相等得，即可判断B；然后证明，可得，接下来说明是的中位线，根据中位线的性质判断D即可；最后证明，解答A即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵是的切线， ∴． 则B正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 则C正确； ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴，即． 则D正确； ∵， ∴， 不能说明这两个三角形全等． 所以A不正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，线段垂直平分线的性质和判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定，中位线的定义和性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 13．（2025·广东河源·模拟预测）如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由角的和差可判定A选项；如图：在圆上取一点D，连接，则，由圆的内接四边形的性质可得，进而求得即可判断B选项；由同弧所对的圆周角相等可得，再结合可判断C选项；由等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得，再结合即可判断D选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即A选项正确，不符合题意； 如图：在圆上取一点D，连接，则， ∴， ∴，即B选项正确，不符合题意； ∵ ∴， ∵，即， ∴，即C选项正确，不符合题； ∵，， ∴ ∴， ∴，即D选项错误，符合题意． 故选：B 14．（2025·广东云浮·一模）为了测量一张光盘的直径，把直尺、光盘、三角尺按图所示放置于桌面上，量出，这张光盘的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了切线的性质，角平分线判定定理，三角函数，熟练掌握这些是解本题的关键． 如图，设光盘的圆心为O，连接，，，经过圆外一点的两条直线与都与圆相切，根据切线长定理可证得为两切线的夹角的角平分线，由的度数求出的度数为，同时由切线的性质得到与垂直，在直角三角形中，由等于对边与邻边之比，将及的值代入，求出的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径． 【详解】解：设光盘的圆心为，连接，，，如图所示： ∵，分别为圆的切线， ∴，， ∵，都是圆的半径， ∴， ∴为的平分线， ∵，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， ∴，则光盘的直径为． 故选D． 15．（2026·广东深圳·一模）如图，是内接正边形的一条边，若，则_________． 【答案】 【分析】在优弧上取一点，连接、，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据正边形的中心角公式求出的值． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、、、．四边形是的内接四边形， ∴． ∵，． ∴． ∵是内接正边形的一条边， ∴． ∴． 解得． 16．（2025·广东东莞·一模）如图，在中，以点O为圆心作与直线相切，点E是上一个动点，连接交于点F，则的最大值是______． 【答案】3 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质及全等三角形的判定与性质，设与直线切点为，连接，，，作，，垂足分别为，，先证明得出，设的半径为，则，证明得出，进一步即可求出结论． 【详解】解：设与直线切点为，连接，，，作，，垂足分别为，，如图， 则， ，， ， ， 设的半径为，则， 在中， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 的最大值是， 故答案为：． 17．（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则______． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，即可求出． 【详解】解：与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 18．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 19．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点； (2)在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为______．（使用备用图分析） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）连接，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图①中，点，点，即为所求； 以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）解：四边形是矩形， ，， 设， 则， 解得， 的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图－复杂作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 20．（2025·广东惠州·三模）如图，在中，点P为直径延长线上一点，直线切于点D，过点B作，垂足为H，交于点C，连接． (1)求证：平分． (2)如果，，求的长？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质． （1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，得到； （2）连接，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵直线切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 21．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 22．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 23．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 25．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，以为直径的半圆交于点， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 26．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 27．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 28．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为_____． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 30．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 31．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 32．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 33．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 34．（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，即为所求： 35．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 36．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 37．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径长为5，的长为 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 38．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得，，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 39．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)5 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线长定理得出，结合，，即可证明． （2）根据圆周角定理得出，由①可知：，得出，即可证明，进而得到． （3）连接．根据圆周角定理得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①证明：是切线， ， 又，， ． ②证明：点在上． ， 由①可知：， ， ， ． （2）解：连接． 是的直径， ， 又，， ∴． ， ， ． 40．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 41．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 42．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 43．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 44．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用，求得，据此即可证明平分； （2）利用半径相等求得，利用三角形的外角性质可证明，推出，可证明，等量代换即可证明结论成立； （3）利用切线的性质结合，证明，设，则，利用，列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，即平分； （2）证明：连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．作出合适的辅助线是解题的关键． 45．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，而，则，再根据等边对等角以及三角形的外角性质即可证明； （2）先证明，求出，再证明，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵过点D的直线与相切于点C， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 46．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 47．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 48．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)长为44． 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【详解】（1）证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． （2）延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 49．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线； （2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）方法一： 证明：过点作于点， ， ， 与相切于点， ， ， ，， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； 方法二： 证明：过点作于点， 与相切于点， ， ， 是的平分线， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； （2），为半径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键． 50．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，还考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关性质与定义是解题的关键． （1）连接，判定是等边三角形，得出，利用弧长公式求解即可； （2）利用，求出，再利用，等边对等角即可求解； （3）连接， 求出，即可得，利用是的切线，求出，，证明，再利用三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的长； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $