第04讲 二次根式（3命题点+10题型+5突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次根式”专题，覆盖中考核心考点如概念（有意义条件、最简二次根式）、性质（化简、与数轴关系）、运算（混合运算、估值、应用），构建“基础概念-性质应用-综合运算”的知识体系，通过考点解析、真题训练、重难突破等环节帮助学生系统梳理，突破化简求值、分母有理化等难点。 亮点在于分层设计与核心素养培养，设置“基础巩固→能力提升→全国新趋势”三级练习，结合2023-2025年广东中考真题，通过“复合二次根式化简”“规律探究”等专题培养抽象能力与推理意识。特设“典例精析+变式训练”模块，如通过二次根式估值题型训练提升运算能力，助力教师精准把控复习节奏，学生高效提升应考能力。

第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 二次根式的有关概念 题型01二次根式有意义的条件 题型02最简二次根式与同类二次根式 题型03与二次根式有关的开放型试题 命题点二 二次根式的性质 题型01利用二次根式的性质化简 题型02二次根式与数轴关系 命题点三 二次根式的运算 题型01二次根式的混合运算 题型02分母有理化 题型03二次根式的化简求值问题 题型04二次根式估值 题型05二次根式的应用 05·重难突破·思维进阶难 19 突破一 复合二次根式的化简 突破二 分母有理化问题 突破三 与二次根式有关的新定义问题 突破四 与二次根式有关的规律探究 突破五 利用二次根式比较大小 06·优题精选·练能提分 26 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式的有关概念 广州卷 T13 掌握二次根式有意义的条件，理解最简二次根式与同类二次根式的概念； 二次根式的性质 广州卷 T10 学会利用二次根式的性质化简；理解二次根式与数轴的关系； 二次根式的运算 广东卷 T3 广东卷 T3 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算 命题预测 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 2026年广东中考数学仍会以二次根式的运算为主，一般在选择或填空题中考查，但在其他知识点的题型考查时，二次根式的运算也要注意； 考点一 二次根式的相关概念 知识点01 二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1.二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3.二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4.在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 知识点02 二次根式有意义的条件 1.单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2.二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3.二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 1．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 2．（2024·广东·模拟预测）在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）写出一个使在实数范围内有意义的x值： ． 4．（2025·广东深圳·三模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可能为 （写出一个符合条件的实数即可） 5．（2025·广东清远·二模）基本概念与代数推理： (1)若两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，则括号里面可填______； (2)请说明，不管取何值，二次根式有意义． 考点二 二次根式的性质与化简 知识点01 二次根式的性质 1.式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点02 二次根式的化简 二次根式的化简：1.利用二次根式的基本性质进行化简； 2.利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 6．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 7．（2023·广东·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 8．（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是 ． 9．（2025·广东·二模）已知关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点，则 化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 考点三 二次根式的运算 知识点01 二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 知识点02 二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 知识点03 最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 知识点04 二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 知识点05 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1.结果要化为最简二次根式或整式； 2.如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 知识点06 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1.分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2.分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 11．（2023·广东·中考真题）计算： ． 12．（2025·广东深圳·三模）计算：． 13．（2024·广东中山·一模）计算：的结果为 ． 14．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 15．（2024·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 命题点一 二次根式的有关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 1、如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2、如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例1】（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东清远·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式1】（2025·广东广州·二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【变式2】（2025·广东东莞·一模）要使，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·广东清远·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型02 最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充] ①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等； ②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等. 【典例1】（2024·广东潮州·二模）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·广东广州·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2025·广东清远·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【变式2】（2025·广东汕头·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2025·广东中山·模拟预测）最简二次根式能与进行合并，则 ． ►题型03 与二次根式有关的开放型试题 【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【典例2】（2025·广东东莞·三模）已知，下列与m 最接近的整数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（2025·广东深圳·二模）当二次根式的运算结果为整数时，写出一个符合要求的x值 ． 【变式2】（2025·广东汕头·模拟预测）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【变式3】（2025·广东珠海·二模）若，则整数n的值为（   ） A．16 B．8 C．6 D．4 命题点二 二次根式的性质 ►题型01 利用二次根式的性质化简 1.利用二次根式的基本性质进行化简； 2.利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【典例1】（2025·广东广州·三模）已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：． 【典例2】（2025·广东清远·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2024·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2025·广东阳江·模拟预测）化简二次根式 ． 【变式3】（2025·广东河源·模拟预测）已知，则的值为 ． ►题型02 二次根式与数轴关系 二次根式与数轴的关系，可以借助于勾股定理，用尺规作图画出对应的点； 【典例1】（2025·广东肇庆·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ． 【典例2】（2025·广东中山·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ． 【变式1】（2025·广东佛山·一模）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（    ） A． B．5 C． D． 【变式2】（2025·广东·二模）如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是 ． 【变式3】（2025·广东潮州·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的混合运算 二次根式运算时的注意事项： 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 【典例1】（2025·广东深圳·三模）计算：． 【典例2】（2025·广东东莞·模拟预测）计算： 【变式1】（2025·广东肇庆·三模）计算：． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）计算：． 【变式3】（2025·广东深圳·三模）计算： ►题型02 分母有理化 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 【典例1】（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中． 【典例2】（2025·广东清远·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【变式1】（2025·广东汕尾·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2025·广东广州·一模）已知． (1)化简T； (2)若，求T的值． 【变式3】（2025·广东云浮·模拟预测）在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的： 解：． ． 请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题： (1)化简； (2)若，求的值． ►题型03 二次根式的化简求值问题 【典例1】（2025·广东珠海·一模）先化简，再求值：，其中． 【典例2】（2025·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2025·广东惠州·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）化简求值：，其中在一次函数的图象上． 【变式3】（2022·广东茂名·一模）先化简，再求值：，其中． ►题型04 二次根式估值 掌握二次根式的估值问题，要熟记常见的平方数，如121,144,169等等，这样我们就可以表示出整数部分，这样小数部分就可以表示出来；如的整数部分为3，则小数部分就是； 【典例1】（2025·广东中山·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【典例2】（2024·广东惠州·一模）阅读下面的文字，解答问题，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是； (1)试求：的整数部分． (2)已知小数部分是n，且，求的x的值． 【变式1】（2025·广东江门·模拟预测）已知，． (1)求； (2)若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【变式3】（2025·广东佛山·模拟预测）阅读理解： 因此可以化简为： (1)请仿照上述的方法化简下列式子：（n表示大于0的自然数） ___________； ___________． (2)利用上方提供的信息请化简下式： (3)通过上述化简过程，可知___________（填“”、“”或“”）； (4)若的整数部分为，小数部分为，则的值为___________． ►题型05 二次根式的应用 【典例1】（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【典例2】（2024·广东中山·三模）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务． 用均值不等式求最值 若实数，则有，当且仅当时，取等号，我们称不等式为均值不等式． 证明： 由上可知，①当为定值的时候，有最大值； ②当为定值的时候，有最小值． 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值． 例：已知，求函数的最小值． 解： ，当且仅当，即时，等号成立 当即时，函数取最小值，最小值为2． 任务： (1)若，则当_____时，代数式取最小值，最小值为______； (2)已知若，函数，试说明当取何值时，取得最小值，并求出的最小值； (3)如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． 【变式1】（2023·广东深圳·一模）【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 【变式2】（2024·广东东莞·三模）阅读理解 对于任意正实数，，，，，只有当时，等号成立． 结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当______时，有最小值______． (2)探索应用 如图，已知，，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． (3)实践应用 建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为元，池底每平方米造价为元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？ 【变式3】（2024·广东·三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号． 阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号． 阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为． 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当______时，矩形周长的最小值为______． 问题：若函数，则______时，函数的最小值为______． 问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？ 突破一 复合二次根式的化简 【典例1】（2025·广东·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【变式1】（2025·广东韶关·模拟预测） ． 【变式2】（2025·广东清远·模拟预测）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【变式3】（2025·广东东莞·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【变式4】（2025·广东汕尾·模拟预测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 突破二 分母有理化问题 【典例1】（2025·广东深圳·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【变式1】（2025·广东广州·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知，则a的值为 ． 【变式3】（2025·广东肇庆·模拟预测）阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 【变式4】（2025·广东惠州·模拟预测）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简； ． 以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． （1）请任用其中一种方法化简： ①； ②为正整数）； （2）化简：． 突破三 与二次根式有关的新定义问题 【典例1】（2025·广东阳江·模拟预测）综合与实践 代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍． 【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据： 当时，； 当时，； 当时，； …… 【推理证明】小明做了如下证明： 设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍． (1)【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明． (2)【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除． 【变式1】（2025·广东汕头·模拟预测）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【变式3】（2025·广东广州·模拟预测）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 【变式4】（2025·广东汕头·模拟预测）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 突破四 与二次根式有关的规律探究 【典例1】（2025·广东清远·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（a，b为正整数），则 ． 【变式2】（2025·广东肇庆·模拟预测）观察下列各式：①，②；③，… (1)请观察规律，并写出第④个等式：______； (2)请用含的式子写出你猜想的规律：______； (3)请证明（2）中的结论． 【变式3】（2024·广东东莞·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【变式4】（2024·广东·二模）观察下列各式：；；． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，计算：______； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明． 突破五 利用二次根式比较大小 【典例1】（2025·广东深圳·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 【变式1】（2025·广潮州头·模拟预测）二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【变式2】（2025·广东惠州·模拟预测）观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 【变式3】（2025·广东中山·模拟预测）阅读下列解题过程： ，． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=_______： （2）利用上面所提供的解法，请计算 （3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 【变式4】（2025·广东东莞·模拟预测）像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： （1）化简：①＝ ； ②＝ ； （2）计算：（…+）（+1）＝ ； （3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东珠海·三模）二次根式中，字母的取值可以是（　　） A． B．0 C．1 D．3 4．（2025·广东肇庆·二模）如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．8 5．（2025·广东江门·三模）计算： ． 6．（2025·广东·模拟预测）二次根式有意义的条件是 ． 7．（2025·广东惠州·一模）若式子有意义，则的取值范围是 ． 8．（2025·广东汕头·模拟预测）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 9．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：． 10．（2025·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 11．（2025·广东东莞·模拟预测）若，则代数式的值是（　　） A． B． C．1 D．2 12．（2025·广东·模拟预测）如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 13．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A． B． C． D． 15．（2025·广东潮州·一模）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，提出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即：如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为；现已知的三边长分别为1、2、，则的面积为 ． 16．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，正方形和正方形的边长分别是4和2，连接，H是的中点，连接，则的长为 ． 17．（2025·广东广州·模拟预测中）如图，数轴上点A表示的数为a，化简 ． 18．（2024·广东清远·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n= ． 19．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 20．（2015·广东广州·模拟预测）已知，． (1)求； (2)求． 21．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 24．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 25．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 27．（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 28．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 29．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 30．（2025·陕西·中考真题）计算：． 31．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 32．（2025·青海·中考真题）计算： 33．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 34．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 二次根式的有关概念 题型01二次根式有意义的条件 题型02最简二次根式与同类二次根式 题型03与二次根式有关的开放型试题 命题点二 二次根式的性质 题型01利用二次根式的性质化简 题型02二次根式与数轴关系 命题点三 二次根式的运算 题型01二次根式的混合运算 题型02分母有理化 题型03二次根式的化简求值问题 题型04二次根式估值 题型05二次根式的应用 05·重难突破·思维进阶难 46 突破一 复合二次根式的化简 突破二 分母有理化问题 突破三 与二次根式有关的新定义问题 突破四 与二次根式有关的规律探究 突破五 利用二次根式比较大小 06·优题精选·练能提分 68 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式的有关概念 广州卷 T13 掌握二次根式有意义的条件，理解最简二次根式与同类二次根式的概念； 二次根式的性质 广州卷 T10 学会利用二次根式的性质化简；理解二次根式与数轴的关系； 二次根式的运算 广东卷 T3 广东卷 T3 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算 命题预测 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 2026年广东中考数学仍会以二次根式的运算为主，一般在选择或填空题中考查，但在其他知识点的题型考查时，二次根式的运算也要注意； 考点一 二次根式的相关概念 知识点01 二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1.二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3.二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4.在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 知识点02 二次根式有意义的条件 1.单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2.二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3.二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 1．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 2．（2024·广东·模拟预测）在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的概念和性质． 根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0， 可知：，即时，二次根式有意义． 故选：C． 3．（2024·广东·模拟预测）写出一个使在实数范围内有意义的x值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，求出不等式的解集，再写出符合题意的x值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴使在实数范围内有意义的x值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2025·广东深圳·三模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可能为 （写出一个符合条件的实数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，写出一个符合条件的实数即可． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义， 则， 解得， 所以x的值可以是答案不唯一， 故答案为：答案不唯一． 5．（2025·广东清远·二模）基本概念与代数推理： (1)若两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，则括号里面可填______； (2)请说明，不管取何值，二次根式有意义． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的定义，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平方差公式的定义的定义求解即可； （2）将被开方数化简得到，即可判断． 【详解】（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式， 括号里面可填或， 故答案为：或； （2） 不管取何值，二次根式都有意义． 考点二 二次根式的性质与化简 知识点01 二次根式的性质 1.式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点02 二次根式的化简 二次根式的化简：1.利用二次根式的基本性质进行化简； 2.利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 6．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 7．（2023·广东·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上实数的位置与符号的关系、绝对值的性质以及二次根式的性质（，解题的关键是根据数轴信息确定a、b的符号及、的符号，再利用“负数的绝对值是它的相反数”化简． 根据数轴知a在原点左侧、b在原点右侧且，由此判断（异号两数相加，绝对值大的数的符号为和的符号）、（负数减正数结果为负）；利用将二次根式转化为绝对值，再根据绝对值性质时分别化简和，最后合并计算． 【详解】解：由数轴可知，且． ∴． ∵时，绝对值为其相反数）， 时，绝对值为其相反数）． ∴原式． 故答案为：． 8．（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式及二次根式的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 9．（2025·广东·二模）已知关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点，则 化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次根式的性质化简，先结合关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点，得，代入数值化简得，结合，即可作答． 【详解】解：∵关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴ ∴ 解得， ∴ ∴， 故选：A 10．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 考点三 二次根式的运算 知识点01 二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 知识点02 二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 知识点03 最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 知识点04 二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 知识点05 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1.结果要化为最简二次根式或整式； 2.如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 知识点06 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1.分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2.分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 11．（2023·广东·中考真题）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 12．（2025·广东深圳·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据绝对值的意义、特殊角三角函数值、二次根式的乘法、零指数幂将原式化简，再进行加减运算．掌握相应的运算法则、性质、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 13．（2024·广东中山·一模）计算：的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知识点，掌握二次根式的乘法法则成为解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：1． 14．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识． 根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 两根之和不小于， ， 解得， 综上， ， ， ， 故选：D． 15．（2024·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将，代入，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 当，时， 原式＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公式是解本题的关键． 命题点一 二次根式的有关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 1、如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2、如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例1】（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得： 在数轴上表示为： 故选：D． 【典例2】（2025·广东清远·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解；∵式子有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 【变式1】（2025·广东广州·二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式，二次根式有意义的条件，一元一次不等式的解法，根据题意可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】（2025·广东东莞·一模）要使，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识及计算是关键． 根据二次根式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 【变式3】（2024·广东清远·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． ►题型02 最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充] ①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等； ②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等. 【典例1】（2024·广东潮州·二模）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，二次根式的化简，掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键．最简二次根式：满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，故A符合题意； 不是最简二次根式，故B不符合题意； 不是最简二次根式，故C不符合题意； 不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：A． 【典例2】（2025·广东广州·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 【变式1】（2025·广东清远·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义； 先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：，， 与是同类二次根式的是， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东汕头·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． 【变式3】（2025·广东中山·模拟预测）最简二次根式能与进行合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，先根据二次根式的性质化简，进而根据同类二次根式，列出方程，解出m即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型03 与二次根式有关的开放型试题 【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． 故答案为：3． 【典例2】（2025·广东东莞·三模）已知，下列与m 最接近的整数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键．利用无理数的估算确定出所求即可． 【详解】解：， ∵， ∴，且更接近8， 与整数8最接近． 故选：C． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）当二次根式的运算结果为整数时，写出一个符合要求的x值 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据二次根式的性质可得是一个完全平方数，据此可得答案． 【详解】解：∵二次根式的运算结果为整数， ∴是一个完全平方数， ∴的结果可以是0，即， ∴， 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式2】（2025·广东汕头·模拟预测）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意的条件求出，再解方程求出且，根据方程有负整数解求出整数a的值求和即可． 【详解】解：∵关于a的二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 即整数的值为，，，，， 解分式方程得：且， 又∵分式方程有负整数解， ∴整数的值为：，， 即所有整数a的和为， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东珠海·二模）若，则整数n的值为（   ） A．16 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解答关键． 根据来进行计算求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 命题点二 二次根式的性质 ►题型01 利用二次根式的性质化简 1.利用二次根式的基本性质进行化简； 2.利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【典例1】（2025·广东广州·三模）已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，绝对值，二次根式的性质化简，由二次函数的图象与轴的交点在轴的下方可知，然后化简代数式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方， ∴，， ∴， ∴ ． 【典例2】（2025·广东清远·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 【变式1】（2024·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．先根据分式的混合计算法则化简，然后代入a的值，计算，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式2】（2025·广东阳江·模拟预测）化简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简二次根式，根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东河源·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，则，据此求出，再计算出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． ►题型02 二次根式与数轴关系 二次根式与数轴的关系，可以借助于勾股定理，用尺规作图画出对应的点； 【典例1】（2025·广东肇庆·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断的符号，根据二次根数的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 【典例2】（2025·广东中山·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ． 【答案】0 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 【变式1】（2025·广东佛山·一模）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题关键．先根据二次根式的化简可得，，再根据无理数的估算可得，，由此即可得． 【详解】解：，， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∵点表示的是位于这两点之间的整数， ∴这个整数为， 故选：D． 【变式2】（2025·广东·二模）如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，实数与数轴，利用勾股定理先求解，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数轴上的点P表示的数是． 故答案为：． 【变式3】（2025·广东潮州·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的乘法运算，先求出，再根据与的积为有理数求解即可． 【详解】解：点M在数轴上的位置在2与3之间， ， ， 与的积为有理数，且， ， 故答案为：8 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的混合运算 二次根式运算时的注意事项： 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 【典例1】（2025·广东深圳·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用绝对值的性质，二次根式的乘法法则，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【典例2】（2025·广东东莞·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 【变式1】（2025·广东肇庆·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂、特殊角的正弦函数、绝对值、二次根式，再进行加减运算． 【详解】解： ． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，零指数幂等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用求绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，零指数幂等运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 【变式3】（2025·广东深圳·三模）计算： 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式运算、绝对值的性质等，熟练掌握基本公式是解决此题的关键． 【详解】解： ►题型02 分母有理化 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 【典例1】（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先计算括号内，并对各项分式分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法，通过约分完成化简，再把的值代入化简后的式子计算求值即可． 本题主要考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 当时， 原式． 【典例2】（2025·广东清远·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 【变式1】（2025·广东汕尾·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，先通分计算括号内，除法变乘法约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式． 当时，原式． 【变式2】（2025·广东广州·一模）已知． (1)化简T； (2)若，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，求特殊角三角函数值，正确化简原分式是解题的关键． （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先求出a的值，再把a的值代入到（1）所求的结果中计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴． 【变式3】（2025·广东云浮·模拟预测）在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的： 解：． ． 请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题： (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化、代数式的求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分子、分母都乘，再进一步计算即可化简； （2）仿照题意的方法，由得到，再利用整体代入法即可求值． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ，即， ， ． ►题型03 二次根式的化简求值问题 【典例1】（2025·广东珠海·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式． 当时，原式． 【典例2】（2025·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，二次根式的运算．先把分子、分母因式分解，再根据分式混合运算法则计算得出最简结果，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ，                         当时， 原式． 【变式1】（2025·广东惠州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）化简求值：，其中在一次函数的图象上． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，一次函数图象上点的坐标特征，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据在一次函数的图象上得出，代入代数式进行计算即可． 【详解】解： ， ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴原式． 【变式3】（2022·广东茂名·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】首先将括号里面的分式进行通分合并，然后将除法改成乘法进行约分化简，最后将x的值带入化简后的式子进行计算． 【详解】原式 = =， 当时， =． 【点睛】本题考查分式的化简求值、二次根式的分母有理化．掌握分式的运算法则以及二次根式分母有理化的方法是解题的关键． ►题型04 二次根式估值 掌握二次根式的估值问题，要熟记常见的平方数，如121,144,169等等，这样我们就可以表示出整数部分，这样小数部分就可以表示出来；如的整数部分为3，则小数部分就是； 【典例1】（2025·广东中山·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 【典例2】（2024·广东惠州·一模）阅读下面的文字，解答问题，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是； (1)试求：的整数部分． (2)已知小数部分是n，且，求的x的值． 【答案】(1)13； (2)0或﹣2 【分析】（1）估算无理数的值即可得出答案； （2）求出n的值，代入（x+1）2＝5n，根据平方根的定义求x即可． 【详解】（1）解：∵， ∴45， ∴13<914， ∴9的整数部分为13； （2）解：∵9小数部分是n， ∴n＝9134， ∴（x+1）2＝54＝1， ∴x+1＝±1， ∴x＝0或﹣2． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，解一元二次方程，熟练掌握估算无理数值、解一元二次方程是解题的关键． 【变式1】（2025·广东江门·模拟预测）已知，． (1)求； (2)若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的估算等知识，掌握二次根式的运算是关键； （1）把多项式化简，再代入即可求解； （2）由题意可求得a与b的值，可计算出，再代入即可求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：∵， ∴x、y的整数部分为1， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)3， (2)1 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的加减法则、二次根式的性质． （1）利用算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：3，； （2），， ，， ，， ． 【变式3】（2025·广东佛山·模拟预测）阅读理解： 因此可以化简为： (1)请仿照上述的方法化简下列式子：（n表示大于0的自然数） ___________； ___________． (2)利用上方提供的信息请化简下式： (3)通过上述化简过程，可知___________（填“”、“”或“”）； (4)若的整数部分为，小数部分为，则的值为___________． 【答案】(1)；； (2)2020 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、平方差公式的应用、裂项相消法求和、二次根式大小比较及整数与小数部分的确定，解题的关键是掌握分母有理化的方法（乘以共轭根式），利用平方差公式化简，以及通过裂项抵消中间项进行求和． （1）仿照例子，对分式分子分母同乘分母的共轭根式，利用平方差公式化简； （2）先对每个分式分母有理化，得到形如的式子，相加后抵消中间项，再与相乘，利用平方差公式计算； （3）将两个根式差转化为分式形式，通过比较分母大小判断原式大小； （4）先化简，确定其整数部分和小数部分，再代入计算． 【详解】（1）解： ； ． 故答案为：；； （2）解： （3）解：∵，， 且， ∴，即， 故答案为：． （4）， ∵， ∴，故，， ∴ 故答案为：． ►题型05 二次根式的应用 【典例1】（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【典例2】（2024·广东中山·三模）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务． 用均值不等式求最值 若实数，则有，当且仅当时，取等号，我们称不等式为均值不等式． 证明： 由上可知，①当为定值的时候，有最大值； ②当为定值的时候，有最小值． 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值． 例：已知，求函数的最小值． 解： ，当且仅当，即时，等号成立 当即时，函数取最小值，最小值为2． 任务： (1)若，则当_____时，代数式取最小值，最小值为______； (2)已知若，函数，试说明当取何值时，取得最小值，并求出的最小值； (3)如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． 【答案】(1)2，12 (2)当时，函数取最小值，最小值为8 (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，，再利用均值不等式计算即可得出答案； （2）由题意得出，将式子变形为，再利用均值不等式计算即可得出答案； （3）作轴于，轴于，设，表示出，再利用均值不等式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，等号成立， ∴当时，代数式取最小值，最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立， ∴当时，函数取最小值，最小值为8； （3）解：如图，作轴于，轴于， ∵， ∴，， ∵点是反比例函数图象上一动点， ∴设， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的面积的最小值为． 【变式1】（2023·广东深圳·一模）【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)C (3)， (4) 【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围； （2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题； （3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整； （4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵函数， ∴当时，，当时，， 故选：C． （3）解：∵，∴． ∵，∴． 故答案为：，； （4）解：∵， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键． 【变式2】（2024·广东东莞·三模）阅读理解 对于任意正实数，，，，，只有当时，等号成立． 结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当______时，有最小值______． (2)探索应用 如图，已知，，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． (3)实践应用 建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为元，池底每平方米造价为元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？ 【答案】(1)1，2 (2)四边形面积的最小值为12，四边形是菱形 (3)池底长和宽均为为10m时，使总造价最低 【分析】（1）根据题目给出的结论，可知当，即m=1（m>0）时，有最小值； （2）若设，则，利用题目给出的结论，可知当，即x=2（x>0）时，有最小值，可求出点P，C，D的坐标，从而判断四边形ABCD的形状； （3）根据长方体的体积公式，可知此长方体蓄水池的底面积为，如果设池底的一边为xm，那么另一边为m，根据长方体的表面积公式列出总造价y与x的函数关系式，再利用题目给出的结论，求出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即， 当时，有最小值2， 即， 解得：m=1或-1（舍去）， 即当1时，有最小值2． 故答案为：1，2； （2）解： 设，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵x>0， ∴，即， ∴有最小值4， 此时有最小值12． ∵只有当时，即x=2时，等号成立． ∴四边形ABCD面积的最小值为12． 此时，P（2，3），C（2，0），D（0，3）， ∴OA=OC=2，OB=OD=3， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． （3）解：设池底的一边为xm，另一边为 根据题意得： ∵，即， 当时，即x=10时， 此时有最小值20，y有最小值37600元． ∴池底长和宽均为为10m时，使总造价最低． 【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力与分析、解决实际问题的能力，是近几年中考的热点．涉及到的知识有菱形的判定，二次根式的应用，反比例函数的图象和性质，透彻理解及灵活运用题目给出的结论是解决本题的关键． 【变式3】（2024·广东·三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号． 阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号． 阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为． 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当______时，矩形周长的最小值为______． 问题：若函数，则______时，函数的最小值为______． 问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？ 【答案】问题1：2，8；问题2：4，7；问题3：当时，水池总造价最低，最低为元． 【分析】问题1：根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解； 问题2：先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解； 问题3：根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解． 【详解】解：问题1：∵， ∴， ∴当即（不合题意舍去），时，函数有最小值； 当2，矩形周长的最小值为8； 故答案为：2，8； 问题：∵， ∴， ∴由阅读2结论可知，，即， ∴当即， ∴，（不合题意舍去）， ∴当时，函数的最小值为7； 故答案为：4，7； 问题3：∵根据题意得长方体的宽为米， ∴， ∵， ∴当，即（不合题意舍去），时，函数的最小值为， ∴当时，水池总造价最低，最低为元． 答：当时，水池总造价最低，最低为元． 【点睛】此题主要考查反比例函数，函数最值的确定方法，涉及到的知识点有二次根式、矩形的周长、立方体的体积等，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题． 突破一 复合二次根式的化简 【典例1】（2025·广东·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·广东韶关·模拟预测） ． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【变式2】（2025·广东清远·模拟预测）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式3】（2025·广东东莞·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【答案】x＝7 【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解． 【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得： （﹣）×（+）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴+＝3，与原方程相加得： （﹣）+（+）＝3＋1， 2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根． 【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题． 【变式4】（2025·广东汕尾·模拟预测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 突破二 分母有理化问题 【典例1】（2025·广东深圳·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】（2025·广东广州·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东肇庆·模拟预测）阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 【答案】（1）；（2）；（3）2020 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案； （3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ 故答案为：； （2） 故答案为：； （3）（+…+）×（+1） ＝（+…+）×（+1） ＝（）×（+1） ＝ ＝2020． 【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解． 【变式4】（2025·广东惠州·模拟预测）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简； ． 以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． （1）请任用其中一种方法化简： ①； ②为正整数）； （2）化简：． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可； （2）原式分母有理化后，合并即可得到结果． 【详解】解：（1）①原式； ②原式； （2）原式． 【点睛】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键． 突破三 与二次根式有关的新定义问题 【典例1】（2025·广东阳江·模拟预测）综合与实践 代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍． 【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据： 当时，； 当时，； 当时，； …… 【推理证明】小明做了如下证明： 设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍． (1)【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明． (2)【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算，因式分解，二次根式的应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）举例按照小红猜想验证即可，设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，则，再仿照小明的证明思路求证即可； （2）先表示出，，再代入，根据二次根式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：举例验证：当时，．（答案不唯一，合理即可） 推理证明：设两个连续的正奇数为（为整数）和，则， ， 两个连续的正奇数和的乘积较大数的平方较大数的2倍． （2）证明：， ． 又为整数， 能被4整除． 【变式1】（2025·广东汕头·模拟预测）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可； ②根据倒数的定义列式求解即可． 【详解】（1）∵a、b互为倒数，， ∴． ∵a、b互为倒数，， ∴． 故答案为：； （2）①∵a、b互为倒数，， ； ②∵a、b互为倒数，， ∴，即． 【变式3】（2025·广东广州·模拟预测）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义下的实数运算，二次根式的意义，分式的意义，根据新定义，由，得到且即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【变式4】（2025·广东汕头·模拟预测）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据，，代入求得，根据，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ，即 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 突破四 与二次根式有关的规律探究 【典例1】（2025·广东清远·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（a，b为正整数），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：； ； ； ； 第5个等式为 根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：，． 【变式2】（2025·广东肇庆·模拟预测）观察下列各式：①，②；③，… (1)请观察规律，并写出第④个等式：______； (2)请用含的式子写出你猜想的规律：______； (3)请证明（2）中的结论． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查二次根式有关的规律题，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． （1）观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案． （2）观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子． （3）将化成，再进行完全平方公式因式分解，并开方即可． 【详解】（1）解：根据规律，第④个等式为：． （2）解：根据规律，第的式子为：． （3）证明：∵， ∴． 【变式3】（2024·广东东莞·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 【变式4】（2024·广东·二模）观察下列各式：；；． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，计算：______； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（）把代入被开方数中，根据已知等式的规律可得答案； （）分析所给的等式的形式即可验证； 本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 验证：左边， ， ， ， ， 左边右边． 突破五 利用二次根式比较大小 【典例1】（2025·广东深圳·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式混合运算的运算法则是解题的关键． 根据阅读材料，可以将与变形，从而可以求得与的大小关系． 【详解】解：，， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【变式1】（2025·广潮州头·模拟预测）二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减乘除运算及二次根式分母有理化等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中分母有理化方法计算即可得到答案； （2）采用作差法，利用分母有理化，结合二次根式性质比较大小即可得到答案； （3）利用分母有理化先化简，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ，即， ； （3）解： ． 【变式2】（2025·广东惠州·模拟预测）观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解； （2）先求出和，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：； ， 故答案是：，； （2）解：∵，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案是：＜； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意，理解题意是解题的关键． 【变式3】（2025·广东中山·模拟预测）阅读下列解题过程： ，． 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=_______： （2）利用上面所提供的解法，请计算 （3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2）9；（3），理由见解析 【分析】（1）由解题过程可以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为1，分子则为分母的有理化因式，由此可直接写出的值； （2）中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果． （3）利用倒数关系比较大小． 【详解】解：（1）∵，． ∴发现规律可得= 故答案为：； （2） = = =9 （3）∵， 又＜ ∴＞． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，是规律型的，由分母有理化得出规律，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 【变式4】（2025·广东东莞·模拟预测）像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： （1）化简：①＝ ； ②＝ ； （2）计算：（…+）（+1）＝ ； （3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）2020；（3）a＞b＞c，见解析 【分析】（1）①将二次根式分母有理化进行计算； ②先确定分母有理化因式，然后进行计算； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解； （3）通过比较，，的倒数，然后进行，，的大小比较． 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：2020； （3）， 同理：， ， ， ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘除；根据二次根式的乘除法运算法则进行求解逐一判断即可． 【详解】A． ，故本选项错误； B． ，故本选项错误； C． ，正确； D． ，故本选项错误． 故选： C． 2．（2025·广东东莞·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法，减法，乘法法则，性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、：根据二次根式乘法法则，，则，但选项A结果为，显然A错误； B、 ：直接计算得，，故，而，因此选项B错误； C、 ：合并同类二次根式，系数相减：，与选项C结果一致，故正确； D、 ：先计算被开方数：，则，但选项D结果为，显然D错误； 故选：C 3．（2025·广东珠海·三模）二次根式中，字母的取值可以是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：是二次根式， ， ， 字母的取值可以是3， 故选：D． 4．（2025·广东肇庆·二模）如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用正方形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：根据正方形的性质和勾股定理可得，大正方形的边长为， 故选：C． 5．（2025·广东江门·三模）计算： ． 【答案】 【分析】先化简二次根式，并直接将特殊角的三角函数值代入求解即可．本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（2025·广东·模拟预测）二次根式有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故答案为：． 7．（2025·广东惠州·一模）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式及分式有意义的条件可求解x的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（2025·广东汕头·模拟预测）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 9．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算、二次根式的分母有理化、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先分母有理化、化简绝对值、计算零指数幂，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 10．（2025·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，及二次根式的分母有理化，熟练掌握以上化简技巧是解题的关键． 先通分，因式分解，然后变除为乘，约分即可，最后代入的值，得出结果 【详解】解： ． 当时， 原式． 11．（2025·广东东莞·模拟预测）若，则代数式的值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，以及二次根式的运算，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 将代数式配方后代入，简化计算，即可解题． 【详解】解：将代数式配方： ， 当时，，代入上式得： ， 故选：A． 12．（2025·广东·模拟预测）如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根式的运算是解题的关键． 由题意得出大、小正方形的边长，再求出，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形边长为，小正方形的边长为， ∴， ． 故选：C． 13．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解： 的整数部分为a，小数部分为b， ， 故选：A． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据题意把，，代入求得的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ， ∴b边上的高为， 故选：A． 15．（2025·广东潮州·一模）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，提出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即：如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为；现已知的三边长分别为1、2、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，二次根式的混合运算． 把三角形的三边长代入面积公式计算即可. 【详解】解：∵，的三边长分别为1、2、，，，， ∴ ， ∴的面积为． 故答案为：． 16．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，正方形和正方形的边长分别是4和2，连接，H是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于M，可证明四边形是矩形，得到的长，进而可得的长，再由勾股定理求出的长，再证明，即可根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：如图所示，延长交于M， ∵正方形和正方形的边长分别是4和2， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，H是的中点， ∴， 故答案为：． 17．（2025·广东广州·模拟预测中）如图，数轴上点A表示的数为a，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴及二次根式的性质与化简；利用数轴表示数的方法得到，再利用二次根式的性质得到原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴A点表示的数得， ∴ ． 故答案为：1． 18．（2024·广东清远·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n= ． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 19．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 将代入得，原式 ． 20．（2015·广东广州·模拟预测）已知，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的运用，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序为解题关键 （1）先算出，再根据完全平方公式得到，代入求值即可； （2）先算出，，再根据平方差公式得到，代入求值即可 【详解】（1）解：，， ， （2），， ，， 21．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ， ， 故选：D． 22．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 23．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 24．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 【详解】． 故选：B． 25．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 26．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 27．（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 28．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 29．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 30．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 31．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 32．（2025·青海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算． 【详解】解： ． 33．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出，再代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 34．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $