第02讲 一次函数（4命题点+12题型+4突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦一次函数中考核心考点，涵盖概念与表达式、图象性质、方程不等式综合、实际应用等模块，按“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-重难突破”系统架构，通过真题训练与方法归纳突破k/b符号判断、分段函数等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“命题点-题型-突破”三阶教学设计，如用待定系数法求表达式培养抽象能力，行程问题中构建函数模型强化应用意识，配合基础巩固到全国新趋势分层练习，助力学生高效掌握考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第02讲 一次函数 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 一次函数的概念与表达式 题型01一次函数的概念辨析 题型02待定系数法求函数表达式 命题点二 一次函数的图象与性质 题型01 由 k、b 的符号判断图象经过的象限 题型02 图象的平移 题型 03 函数增减性的判断与应用 命题点三 一次函数与方程、不等式的综合 题型01 一次函数与一次一元方程 题型02 一次函数与不等式 题型03 一次函数与二元一次方程组 命题点四 一次函数的实际应用 题型01 销售利润问题 题型02 行程问题 题型03 分段函数问题 题型04 其他问题 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 一次函数与几何综合 突破二 一次函数中规律性问题 突破三 一次函数中动点问题 06·优题精选·练能提分 23 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的概念与图象 广东卷 T23 / 广东卷 T16 理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，理解一次函数的图象与性质的关系。 一次函数的性质与应用 广东卷 T8 广东卷 T23 / 能利用一次函数的性质解决简单的实际问题；能结合图象对简单的实际问题中的函数关系进行分析；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。 一次函数与方程、不等式的综合 / 广东卷 T10 / 体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，能运用函数的观点理解方程和不等式的意义，解决相关综合问题。 命题预测 结合一次函数的概念、图象性质与实际应用等情境考查相关知识，题型一般以选择题、填空题和解答题为主。在一次函数的概念与图象考点中，常见表达式求解、图象平移、k与b的符号判断图象位置等；在一次函数的性质与应用考点中，常结合实际问题（如行程、成本、利润等）考查函数建模与最值分析，注重对实际问题的数学转化能力；在一次函数与方程、不等式的综合考点中，会考查函数图象与方程、不等式的关联，常与几何图形、分段函数结合，侧重逻辑推理与综合应用能力。 考点一 一次函数的概念与表达式 1.正比例函数的定义 （1）形如 的函数叫做正比例函数。 （2）其中叫做比例系数，正比例函数是特殊的一次函数。 2.一次函数的定义 （1）形如 的函数，叫做一次函数。 （2）当 时，一次函数就变为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例。 （3）自变量的取值范围：一般为全体实数，实际问题中需结合情境确定。 3.表达式的求解——待定系数法求解步骤： ①设：根据函数类型，设出表达式（如正比例函数设，一次函数设）。 ②代：将已知点的坐标代入表达式，得到关于（或、）的方程（组）。 ③求：解方程（组），求出（或、）的值。 ④写：将求出的系数代入所设表达式，得到最终函数解析式。 1．（2025·广东汕头·一模）已知直线经过点，则的值等于（   ） A．5 B． C．7 D． 2．（2024·广东·二模）下列函数中，是的一次函数的是(　　) A． B． C． D． 3．（2023·广东·中考真题）（1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 考点二 一次函数的图象与性质 1.一次函数图象的形状与特征 （1）一次函数的图象是一条 ，因此画一次函数图象只需确定 点即可。 （2）正比例函数的图象必经过 。 （3）一般一次函数的图象必经过点 （轴交点）和点 （轴交点）。 2.k、b的符号与图象位置的关系 的符号 的符号 图象经过的象限 函数的增减性 第 象限 随的增大而 第 象限 随的增大而 第 象限 随的增大而 第 象限 随的增大而 第 象限 随的增大而 第 象限 随的增大而 3.图象的平移规律 （1）对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化： 上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·二模）从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东清远·二模）已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 考点三 一次函数与方程、不等式的联系 1.与一元一次方程的联系 一次函数的图象与轴交点的 ，就是一元一次方程的解。 2.与一元一次不等式的联系 不等式的解集，对应一次函数的图象在轴 部分的的取值范围； 不等式的解集，对应一次函数的图象在轴 部分的的取值范围。 3.与二元一次方程组的联系 两个一次函数图象的 ，就是对应二元一次方程组的解。 1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 考点四 一次函数的实际应用 1.解题步骤 ①审：理解题意，找出变量之间的关系； ②设：设自变量和函数，建立一次函数模型； ③列：根据题意列出函数表达式，并确定自变量的取值范围； ④解：利用函数性质求解问题（如最值、方案比较等）； ⑤答：检验结果合理性，写出答案。 1．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 2．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 3．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）. (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 命题点一 一次函数的概念与表达式 ►题型01 一次函数的概念辨析 / （1）一次函数的形式为 （），正比例函数为 （）； （2）正比例函数是 时的一次函数，是其特例。 【典例】1．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若点在一次函数的图像上，请求出的值． 【变式】1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点在一次函数的图象上，求A的值． ►题型02 待定系数法求函数表达式 / （1）设函数时易遗漏 的条件，导致参数范围出错。 【典例】1．（2025·广东广州·一模）如图，已知直线过点，且与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)当且时，自变量的取值范围是______； (3)若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 【变式】1．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规过点B作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形的面积． 【变式】2．（2025·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足． (1)求，的表达式； (2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 由 k、b 的符号判断图象经过的象限 / （1）先看 ： 时图象从左到右上升，必过一、三象限； 时图象从左到右下降，必过二、四象限；再看 ： 时图象与 轴交于正半轴； 时交于负半轴； 时过原点。 【典例】1．（2023·广东广州·中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】1．（2025·广东珠海·一模）一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】2．（2025·广东广州·一模）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 ►题型02 图象的平移 / （1）口诀记忆：“上加下减，左加右减”； （2）左右平移时错误地在 外的整体上加减，如将 向右平移2个单位写成 。 【典例】1．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·广东清远·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式】2．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位长度得到直线，则直线与间的距离为 ． ►题型03 函数增减性的判断与应用 / （1）由 定增减： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小。 （2）比较函数值：已知两点横坐标，根据增减性直接比较纵坐标大小；或已知函数值大小，反推横坐标的关系. 【典例】1．（2025·广东广州·二模）下列函数中，值随值的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·广东佛山·二模）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2024·广东广州·三模）下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式】3．（2025·广东广州·二模）一次函数图象上有两点，，则 （填，，） 命题点三 一次函数与方程、不等式的综合 ►题型01 一次函数与一次一元方程 / （1）本质关联：一次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的解； （2）图象法：画出函数图象，找到与 轴的交点，直接读取横坐标； （3）代数法：解方程 即可得到解。 【典例】1．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． ►题型02 一次函数与不等式 / （1）转化关系： 的解集 → 函数图象在 轴上方部分对应的 的取值范围； 的解集 → 函数图象在 轴下方部分对应的 的取值范围； （2）图象法：画出函数图象，观察图象在 轴上方/下方的区间； （3）代数法：直接解不等式 （或 ）。 【典例】1．（2025·广东广州·二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·广东肇庆·二模）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·广东湛江·二模）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为 ． ►题型03 一次函数与二元一次方程组 / （1）本质关联：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； （2）图象法：画出两个函数的图象，找到交点坐标，即为方程组的解； （3）代数法：解二元一次方程组，求出 、 的值。 【典例】1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（24-25八年级上·广东清远·期末）已知一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 命题点四 一次函数的实际应用 ►题型01 销售利润问题 / （1）利润 = 单件利润 × 销售量。 【典例】1．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【变式】1．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【变式】2．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ ►题型02 行程问题 / （1）路程 = 速度 × 时间。 【典例】1．（2025·广东佛山·一模）张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（   ）． A．6或9 B．18 C．6或18 D．9或18 【变式】1．（2025·广东广州·一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点． (1)求，两地之间的距离及的值； (2)分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象； (3)求两机器人出发多长时间时相距1米？ 【变式】2．（2024·广东·模拟预测）某校为培养学生劳动意识，将劳动课正式设为一门独立课程，其中日常生活劳动分为四类：A清洁与卫生，B整理与收纳，C烹饪与营养，D家用器具使用与维护．学校对学生最喜欢的劳动类型进行了调查，每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据：A B B B C A B D A B B D B C B B C B C C，将调查结果绘制成如图1所示的不完整的统计图．            请根据统计图解答下列问题： (1)在本次调查中，选择C类的女生有________名，选择D类的男生有________名；补全条形统计图． (2)如图2，学校从被调查的学生中选出2名同学去离学校的博览会作为志愿者，分别表示甲、乙两名同学离学校的距离与时间之间的函数关系，那么当甲、乙两人相遇时，他们距离学校多远？ ►题型03 分段函数问题 / （1）分段点处理不当，如遗漏等号或重复包含某一点； （2）代入错误区间的表达式，导致计算结果错误； （3）忽略各区间自变量的取值范围，导致函数表达式与实际不符。 【典例】1．（2025·广东深圳·二模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法①铁块的高度为；②铁块入水之前，烧杯内水的高度为；③当铁块下降的高度为时，弹簧测力计的示数为；④当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（25-26九年级上·广东江门·期末）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示．         (1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． (2)求在一个循环内水温高于的时间． (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． ►题型04 其他问题 / （1）方案的函数表达式建立错误，导致后续比较失效； （2）忽略方案的适用条件（如最低消费、限制人数），导致决策错误。 【典例】1．（2025·广东珠海·三模）研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下． (1)若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？ 【变式】1．（2025·广东佛山·二模）图甲为我国古代的计时工具——漏刻，图乙为它的示意图．漏壶中的水均匀滴入箭壶，木块与箭杆组成的箭舟匀速上浮，从盖孔处看箭杆上的标记h，就能知道对应的时刻t，下表记录了t（分钟）与对应h（厘米）的部分数据，其中有一个h的值记录错误，则错误的是（   ） 分钟 0 1 2 3 4 5 … 厘米 … A． B． C． D． 【变式】2．（24-25八年级下·广东佛山·期末）综合与实践 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装．一种规格的碗要装入包装盒，各类信息如下： 信息1 信息2 碗以及叠放后的尺寸（单位：） 两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元） 盒：成本：3元/个 盒：成本：2元/个 问题解决： (1)将个这样的碗叠放后，直接写出总高度的值（用含的式子表示）． (2)叠放后的碗可横放也可竖放，则盒最多可放入______个，盒最多可放入______个． (3)若要买若干个盒或盒分装95个上述规格的碗（、盒都刚好装满），最少要花多少钱？ 突破一 一次函数与几何综合 【典例】（2025·广东珠海·二模）如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】（2025·广东清远·一模）如图，中的，，顶点在第四象限，直角边在轴上，是斜边的中点，连接并延长交轴于点，的面积为，已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值； (2)如图，点是点关于直线的对称点，点在过点的射线：上，且点位于第三象限内，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 突破二 一次函数中规律性问题 【典例】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线l于点；…，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 【变式】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 突破三 一次函数中动点问题 【典例】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E． (1)若点D为边的三等分点（靠近点A），求点E的坐标和k的值； (2)在（1）的条件下，点F为y轴上一个动点，求当周长最小值时，点F的坐标． (3)求证：当k变化时，． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，点，，都在反比例函数的图象上，则（　） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·二模）对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象经过点 C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．y随x的增大而减小 3．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．（2025·广东广州·二模）在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象，将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象，若将反比例函数的图象向下平移4个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ． 5．（2025·广东广州·一模）如图，已知直线：与：都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，则直线的解析式是 ． 6．（2024·广东惠州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，    (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标． 7．（2025·广东汕头·一模）近年来，我国在人工智能领域的发展呈现出蓬勃发展的态势，近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称）开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮，据悉，训练一个模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟，假设总数据量为x条（），训练时间为y分钟． (1)求y关于x的函数关系式； (2)若数据总量为6000条，求训练的时间； (3)若训练的时间为90分钟，求使用的数据总量． 8．（2025·广东广州·一模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：． (1)当气温为时，声速为________； (2)根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长． 9．（2025·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线（、均为常数）交于点和点． (1)求和的值； (2)点是直线上的一个动点，点在点正下方（即轴），且，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 10．（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 11．（2025·广东深圳·模拟预测）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y与x的关系式； ②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？ 12．（2025·广东珠海·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、两点，点在直线上，将直线绕点C逆时针旋转，交坐标轴于I、G两点，直线上两点D、H关于点C对称，轴于点F，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)设，令，求y的最大值； (3)当（2）中的y取最大值时，将绕点H顺时针旋转，使点C的对应点落在x轴上，点E的对应点为点，求证：轴． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 4．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 5．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 6．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 7．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第02讲 一次函数 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 一次函数的概念与表达式 题型01一次函数的概念辨析 题型02待定系数法求函数表达式 命题点二 一次函数的图象与性质 题型01 由 k、b 的符号判断图象经过的象限 题型02 图象的平移 题型 03 函数增减性的判断与应用 命题点三 一次函数与方程、不等式的综合 题型01 一次函数与一次一元方程 题型02 一次函数与不等式 题型03 一次函数与二元一次方程组 命题点四 一次函数的实际应用 题型01 销售利润问题 题型02 行程问题 题型03 分段函数问题 题型04 其他问题 05·重难突破·思维进阶难 45 突破一 一次函数与几何综合 突破二 一次函数中规律性问题 突破三 一次函数中动点问题 06·优题精选·练能提分 53 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的概念与图象 广东卷 T23 / 广东卷 T16 理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，理解一次函数的图象与性质的关系。 一次函数的性质与应用 广东卷 T8 广东卷 T23 / 能利用一次函数的性质解决简单的实际问题；能结合图象对简单的实际问题中的函数关系进行分析；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。 一次函数与方程、不等式的综合 / 广东卷 T10 / 体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，能运用函数的观点理解方程和不等式的意义，解决相关综合问题。 命题预测 结合一次函数的概念、图象性质与实际应用等情境考查相关知识，题型一般以选择题、填空题和解答题为主。在一次函数的概念与图象考点中，常见表达式求解、图象平移、k与b的符号判断图象位置等；在一次函数的性质与应用考点中，常结合实际问题（如行程、成本、利润等）考查函数建模与最值分析，注重对实际问题的数学转化能力；在一次函数与方程、不等式的综合考点中，会考查函数图象与方程、不等式的关联，常与几何图形、分段函数结合，侧重逻辑推理与综合应用能力。 考点一 一次函数的概念与表达式 1.正比例函数的定义 （1）形如（是常数，且）的函数叫做正比例函数。 （2）其中叫做比例系数，正比例函数是特殊的一次函数。 2.一次函数的定义 （1）形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数。 （2）当时，一次函数就变为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例。 （3）自变量的取值范围：一般为全体实数，实际问题中需结合情境确定。 3.表达式的求解——待定系数法求解步骤： ①设：根据函数类型，设出表达式（如正比例函数设，一次函数设）。 ②代：将已知点的坐标代入表达式，得到关于（或、）的方程（组）。 ③求：解方程（组），求出（或、）的值。 ④写：将求出的系数代入所设表达式，得到最终函数解析式。 1．（2025·广东汕头·一模）已知直线经过点，则的值等于（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，属于基础题型，掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 把点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得：； 故选：D． 2．（2024·广东·二模）下列函数中，是的一次函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 3．（2023·广东·中考真题）（1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可； （2）将两个点代入解析式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵一次函数的图象经过点与点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【点睛】题目主要考查实数的混合运算及待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 考点二 一次函数的图象与性质 1.一次函数图象的形状与特征 （1）一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可。 （2）正比例函数的图象必经过原点。 （3）一般一次函数的图象必经过点（轴交点）和点（轴交点）。 2.k、b的符号与图象位置的关系 的符号 的符号 图象经过的象限 函数的增减性 第一、二、三象限 随的增大而增大 第一、三象限 随的增大而增大 第一、三、四象限 随的增大而增大 第一、二、四象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而减小 第二、三、四象限 随的增大而减小 3.图象的平移规律 （1）对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化： 上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 2．（2025·广东·二模）从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，正比例函数图象的性质，只有当时，正比例函数的图象经过第一、第三象限，据此可确定只有数字3能使得正比例函数的图象经过第一、第三象限，由此根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵只有当时，正比例函数的图象经过第一、第三象限， ∴三个数字中只有数字3能使得正比例函数的图象经过第一、第三象限， ∴从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是， 故选：B． 3．（2025·广东清远·二模）已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“时，随的增大而增大；时，随的增大而减小”是解题的关键．由题意可知，，那么随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：一次函数， ， 随的增大而减小， 图象上两点、，， ， 故选：B． 4．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 考点三 一次函数与方程、不等式的联系 1.与一元一次方程的联系 一次函数的图象与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。 2.与一元一次不等式的联系 不等式的解集，对应一次函数的图象在轴上方部分的的取值范围； 不等式的解集，对应一次函数的图象在轴下方部分的的取值范围。 3.与二元一次方程组的联系 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 2．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 3．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点P， ∴关于x的方程的解是． 故选：B． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点， ∴二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 故选：A． 考点四 一次函数的实际应用 1.解题步骤 ①审：理解题意，找出变量之间的关系； ②设：设自变量和函数，建立一次函数模型； ③列：根据题意列出函数表达式，并确定自变量的取值范围； ④解：利用函数性质求解问题（如最值、方案比较等）； ⑤答：检验结果合理性，写出答案。 1．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 2．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 3．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)选甲家商店能购买该水果更多一些 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论 【详解】（1）解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得 ，解得， ∴ （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键． 命题点一 一次函数的概念与表达式 ►题型01 一次函数的概念辨析 / （1）一次函数的形式为 （），正比例函数为 （）； （2）正比例函数是 时的一次函数，是其特例。 【典例】1．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若点在一次函数的图像上，请求出的值． 【分析】本题考查了分式的加减运算、一次函数图象上的点．注意化简的准确性． （1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把坐标代入一次函数解析式求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：． （2）∵点在一次函数的图像上， ∴， 即， ∴． 【变式】1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义判断即可． 【详解】解：A.是一次函数，符合题意； B.不是一次函数，不符合题意； C.不是一次函数，不符合题意； D.不是一次函数，不符合题意； 故选：A． 【变式】2．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点在一次函数的图象上，求A的值． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一次函数图象上的点的坐标特点，正确化简A是解题的关键． （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可； （2）把点P坐标代入一次函数解析式可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴． ►题型02 待定系数法求函数表达式 / （1）设函数时易遗漏 的条件，导致参数范围出错。 【典例】1．（2025·广东广州·一模）如图，已知直线过点，且与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)当且时，自变量的取值范围是______； (3)若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，然后解出不等式组即可； （）联立方程组，求出另一个交点B的坐标为，作轴于点E，轴于点，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把和点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵且， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：联立方程组，得， 解得（舍去）或， ∴另一个交点B的坐标为， 如图，作轴于点E，轴于点， ∴，，，， ∴． 【变式】1．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规过点B作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形的面积． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，尺规作图等知识，解题的关键是掌握待定系数法． （1）把代入可得，故反比例函数的表达式为，再求出，用待定系数法可得一次函数的表达式为； （2）以C为圆心，任意长为半径作弧交于E，交于F，以B为圆心，长为半径作弧交于G，再以G为圆心，的长为半径作弧交前弧于H，作射线交于D，点D即为所求；求的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， 反比例函数的表达式为， 把代入得：， 解得， ， 把，代入得：， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：以C为圆心，任意长为半径作弧交于E，交于F，以B为圆心，长为半径作弧交于G，再以G为圆心，的长为半径作弧交前弧于H，作射线交于D，如图： 点D即为所求； ∵，设的解析式为：，则， 解得， ∴的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为， 当，则，即， ∴， ∴梯形的面积为：． 【变式】2．（2025·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足． (1)求，的表达式； (2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形； （1）过点作轴，交轴于点，证明，求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求解析式即可； （2）联立解析式，求出点坐标，分割法求出的面积，利用，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点， ， ， ， 的坐标为，， ，，， ， ， 把代入，得：； ， 把，，代入， 得：， 解得：， ； （2）解：存在；理由如下： ，当时， ∴ ， ， 联立，， 解得：或， ， ， ， ， 当时，， ∴； 当时， ∴， 或． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 由 k、b 的符号判断图象经过的象限 / （1）先看 ： 时图象从左到右上升，必过一、三象限； 时图象从左到右下降，必过二、四象限；再看 ： 时图象与 轴交于正半轴； 时交于负半轴； 时过原点。 【典例】1．（2023·广东广州·中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限， ∴正比例函数经过二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 则一次函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． 【变式】1．（2025·广东珠海·一模）一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握系数k，b与一次函数图像的位置是解题的关键． 根据系数判断一次函数经过的象限，即可得出答案． 【详解】解：一次函数中，，， ∴该函数图像经过一，二，三象限， ∴一次函数不经过第四象限． 故选：D． 【变式】2．（2025·广东广州·一模）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴一次函数经过一、二、四象限， 故选：D． ►题型02 图象的平移 / （1）口诀记忆：“上加下减，左加右减”； （2）左右平移时错误地在 外的整体上加减，如将 向右平移2个单位写成 。 【典例】1．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“左加右减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与y轴交点的坐标． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与y轴交点的坐标为 故选：B． 【变式】1．（2025·广东清远·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键．解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入即可求得b的值． 【详解】解：联立， 解得或， ∵， ∴，即点的坐标为． 如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴，即点的纵坐标为2． 将代入，得，即点的坐标为． 由平移的性质得直线的解析式为， 将点代入，得． 故选：A． 【变式】2．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位长度得到直线，则直线与间的距离为 ． 【分析】本题考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、一次函数图象与坐标轴的交点、勾股定理等知识，利用平行四边形的性质求解是解答的关键．先求得直线与x、y轴的交点坐标A、B，进而求得，设点A、B对应点C、D坐标，再根据平移性质得到四边形是平行四边形，设直线与间的距离为h，利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：设直线与x、y轴的交点分别为点A、B， 当时，，当时，由得， ∴，，则，， ∴， ∵直线向右平移6个单位长度得到直线， 设点A的对应点为C，点B的对应点为D， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设直线与间的距离为h， 由得， 即直线与间的距离为， 故答案为：． ►题型03 函数增减性的判断与应用 / （1）由 定增减： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小。 （2）比较函数值：已知两点横坐标，根据增减性直接比较纵坐标大小；或已知函数值大小，反推横坐标的关系. 【典例】1．（2025·广东广州·二模）下列函数中，值随值的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，∴当时，的值随值的增大而增大，故本选项符合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意； C、，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，，故本选项不符合题意； D、，，的值随值的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式】1．（2025·广东佛山·二模）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据自变量系数，判断出在一次函数中，y随x的增大而减小，是解答本题的关键．根据一次函数中自变量系数的正负判断出一次函数的增减性，据此作答即可． 【详解】解：∵在一次函数中，自变量系数， ∴在一次函数中，y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 【变式】2．（2024·广东广州·三模）下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【分析】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：①，y随x的增大而减小，不符合题意； ②，当时，y随x的增大而增大，符合题意； ③，当时，随的增大而增大，符合题意； ④，当时，随的增大而增大，不符合题意，当时，随的增大先减小后增大，不符合题意， 综上所述符合题意的有：②③， 故选：B． 【变式】3．（2025·广东广州·二模）一次函数图象上有两点，，则 （填，，） 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据，得随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而增大， ∵一次函数的图象上有两点，，且， ∴， 故答案为：． 命题点三 一次函数与方程、不等式的综合 ►题型01 一次函数与一次一元方程 / （1）本质关联：一次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的解； （2）图象法：画出函数图象，找到与 轴的交点，直接读取横坐标； （3）代数法：解方程 即可得到解。 【典例】1．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 【变式】1．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点P， ∴关于x的方程的解是． 故选：B． 【变式】2．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． ►题型02 一次函数与不等式 / （1）转化关系： 的解集 → 函数图象在 轴上方部分对应的 的取值范围； 的解集 → 函数图象在 轴下方部分对应的 的取值范围； （2）图象法：画出函数图象，观察图象在 轴上方/下方的区间； （3）代数法：直接解不等式 （或 ）。 【典例】1．（2025·广东广州·二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是得出两函数图象的交点横坐标，根据函数图象可得答案．先求得点A的横坐标，观察函数图象得到在点A的左边部分的点的横坐标范围即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点，点A的纵坐标为3， ∴将代入中，得，则， ∴， 由图象得，不等式的解集是， 故选：B． 【变式】1．（2025·广东肇庆·二模）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，． 【详解】解：直线经过点和， 可得：， 解得：， 为， 当时，， 一次函数与的交点坐标是， 由图象可知，一次函数的随增大而减小， 当时，． 故选：A． 【变式】2．（2025·广东湛江·二模）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为 ． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是找出函数的交点．首先需要找出两个函数的交点，然后根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：由题意知，一次函数与的图象都经过点， 由于， 所以． 故答案为：． ►题型03 一次函数与二元一次方程组 / （1）本质关联：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； （2）图象法：画出两个函数的图象，找到交点坐标，即为方程组的解； （3）代数法：解二元一次方程组，求出 、 的值。 【典例】1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点， ∴二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 故选：A． 【变式】1．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查两条直线的交点与二元一次方程组的解的关系，理解图示，掌握两条直线的交点的特点是解题的关键． 根据两直线的交点的特点即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象交于点， 点的横纵坐标是关于，的二元一次方程组的解， 即二元一次方程组的解为， 故选：C． 【变式】2．（24-25八年级上·广东清远·期末）已知一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 先把代入可确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：把代入得， 可化为，可化为， 方程组的解为， 故选B． 命题点四 一次函数的实际应用 ►题型01 销售利润问题 / （1）利润 = 单件利润 × 销售量。 【典例】1．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 【变式】1．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论 【详解】（1）解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得 ，解得， ∴ （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键． 【变式】2．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元， 则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， （台）． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． ►题型02 行程问题 / （1）路程 = 速度 × 时间。 【典例】1．（2025·广东佛山·一模）张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（   ）． A．6或9 B．18 C．6或18 D．9或18 【分析】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．设轨道的长为，根据已知条件得出，则 ，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入求得d关于t的函数，进而①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 【详解】解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴， ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为 ， 当， 时，， 解得：； ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为， ∴滑块返回的速度为， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为， 当，时， ， 解得：， 综上所述，当或时，． 故选：C． 【变式】1．（2025·广东广州·一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点． (1)求，两地之间的距离及的值； (2)分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象； (3)求两机器人出发多长时间时相距1米？ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据路程速度时间求出乙在6秒内的行程，即A，B两地之间的距离s的值，根据“甲机器人前4秒钟的行程后2秒的行程A，B两地之间的距离”列关于a的方程并求解即可求得a的值； （2）根据路程速度时间分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象即可； （3）根据路程速度时间写出乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，再根据图象、按照x不同的取值范围列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：A，B两地之间的距离（米）， 根据题意，得， 解得， ∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5． （2）解：前4秒时，， 当时，， 则后2秒时，， ∴前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为， 其图象如图所示： （3）解：乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为， 当时，得， 解得， 当时，得， 解得， ∴两机器人出发2秒或5秒时相距1米． 【变式】2．（2024·广东·模拟预测）某校为培养学生劳动意识，将劳动课正式设为一门独立课程，其中日常生活劳动分为四类：A清洁与卫生，B整理与收纳，C烹饪与营养，D家用器具使用与维护．学校对学生最喜欢的劳动类型进行了调查，每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据：A B B B C A B D A B B D B C B B C B C C，将调查结果绘制成如图1所示的不完整的统计图．            请根据统计图解答下列问题： (1)在本次调查中，选择C类的女生有________名，选择D类的男生有________名；补全条形统计图． (2)如图2，学校从被调查的学生中选出2名同学去离学校的博览会作为志愿者，分别表示甲、乙两名同学离学校的距离与时间之间的函数关系，那么当甲、乙两人相遇时，他们距离学校多远？ 【分析】本题考查了统计图表的解读与数据计算、一次函数的解析式求解及交点的实际应用。解题的关键是：（1）利用调查总人数与各类别已知人数的关系计算未知数据，补全条形统计图；（2）根据函数图象上的点坐标求一次函数解析式，通过联立解析式求交点，得出相遇时距离学校的距离。 （1）从条形统计图中直接读取选择C类的女生人数；根据总调查人数为20，用总人数依次减去A、B、C、D各类中已明确的男女生人数，计算出选择D类的男生人数，进而补全条形统计图； （2）先判断（甲的距离-时间函数）为一次函数、（乙的距离-时间函数）为正比例函数，分别利用图象上的点坐标求两者的解析式；联立两个解析式求解方程组，得到交点的纵坐标，即相遇时距离学校的距离。 【详解】（1）解：从图1可知，C类的女生有2名． ∵每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据， ∴被调查学生的总人数为20人， ∴D类的男生有（人）． 故答案为：2，1． 补全的条形统计图如下． （2）设的解析式为． 将点，代入，得 解得 ∴的解析式为． 设的解析式为．将点代入，得． ∴的解析式为 将与的解析式联立，得 解得 答：当甲、乙两人相遇时，他们距离学校． ►题型03 分段函数问题 / （1）分段点处理不当，如遗漏等号或重复包含某一点； （2）代入错误区间的表达式，导致计算结果错误； （3）忽略各区间自变量的取值范围，导致函数表达式与实际不符。 【典例】1．（2025·广东深圳·二模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据图象获取关键时间点对应的行程信息，进而求出两人速度． 由图象获取关键时间点信息，求出茗茗和清清的速度，根据速度及时间计算40分钟、50分钟时两人的路程，判断a、b的值，利用速度和与路程，依据相遇时间公式计算第一次、第二次相遇时间，判断c、d的值。 【详解】解：有图可知分钟时茗茗到达地， ∴茗茗速度米/分． 分钟时清清到达B地，则清清速度米/分． 40分钟时，清清跑的路程为米，两人相距米，故A选项正确，不符合题意； 50分钟时，茗茗跑的路程为米，此时茗茗距离地米，清清在地，所以米，故B选项正确，不符合题意． 两人相向而行，根据相遇时间（为两人速度之和），米/分，米， 所以第一次相遇时间，故C选项错误，符合题意； 从开始到第二次相遇，两人路程和是个6000米，即18000米，米/分，得，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式】1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法①铁块的高度为；②铁块入水之前，烧杯内水的高度为；③当铁块下降的高度为时，弹簧测力计的示数为；④当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数，依次判断后得出正确的个数即可． 【详解】解：当时，铁块接触水面，当时，铁块完全浸没于水中， 铁块的高度为． 故①正确； 由图像可知，当时，铁块开始接触水面， 所以铁块入水之前，烧杯内水的高度为， 故②正确； 设的解析式为，将代入得： ， ， ， 把代入，得． 故③错误； 把代入，得， 解得， ∴． 故④正确． 故选：C． 【变式】2．（25-26九年级上·广东江门·期末）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示．         (1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． (2)求在一个循环内水温高于的时间． (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． 【分析】此题主要考查了实际问题与反比例函数，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图像分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； （）由题意可得，当时，，解得：，从而求解． 【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，，解得； ，解得； ∴在一个循环内水温高于的时间为（分钟）； （3）解：由题意可得，当时，，解得：， ∴，即开机接通电源比较合适． ►题型04 其他问题 / （1）方案的函数表达式建立错误，导致后续比较失效； （2）忽略方案的适用条件（如最低消费、限制人数），导致决策错误。 【典例】1．（2025·广东珠海·三模）研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下． (1)若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确理解题意即可； （1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意得：，即可求解； （2）设选用m包A种食品，则选用包B种食品，根据题意得：， 解得：，设摄入的总热量为w KJ，则，即可求解； 【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品2包，B种食品4包； （2）解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品， 根据题意得：， 解得：， 设摄入的总热量为w KJ， 则， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最小值， 此时， 答：应选用6包A种食品，2包B种食品． 【变式】1．（2025·广东佛山·二模）图甲为我国古代的计时工具——漏刻，图乙为它的示意图．漏壶中的水均匀滴入箭壶，木块与箭杆组成的箭舟匀速上浮，从盖孔处看箭杆上的标记h，就能知道对应的时刻t，下表记录了t（分钟）与对应h（厘米）的部分数据，其中有一个h的值记录错误，则错误的是（   ） 分钟 0 1 2 3 4 5 … 厘米 … A． B． C． D． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，然后把，代入解析式求出函数解析式，再将和和和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题． 【详解】解：设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，； 点不在该函数图象上，与题目中有一个h的值记录错误相符合， 故选：B． 【变式】2．（24-25八年级下·广东佛山·期末）综合与实践 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装．一种规格的碗要装入包装盒，各类信息如下： 信息1 信息2 碗以及叠放后的尺寸（单位：） 两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元） 盒：成本：3元/个 盒：成本：2元/个 问题解决： (1)将个这样的碗叠放后，直接写出总高度的值（用含的式子表示）． (2)叠放后的碗可横放也可竖放，则盒最多可放入______个，盒最多可放入______个． (3)若要买若干个盒或盒分装95个上述规格的碗（、盒都刚好装满），最少要花多少钱？ 【分析】本题考查的是列一次函数关系式，不等式的应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意列不等式进行解答即可； （3）设购买A盒x个，B盒y个，可得，可得，的最大整数值为，设总的购买费用为元，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设关系式为：， 将代入上式得： 解得： 则； （2）解：当时， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大整数解为 叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入个碗， 同理：， 解得：， ∴的最大整数解为， ∴B盒（竖放）最多可放入个碗． （3）解：由（2）可得：A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入5个碗． 设购买A盒个，B盒个，分装95个碗， ∴， ∴， ∴， ∴的最大整数值为， 设总的购买费用为元， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，费用最小为（元）. 突破一 一次函数与几何综合 【典例】（2025·广东珠海·二模）如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的图象上的点的坐标特征，全等三角形的判断与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作轴于E，过点B作于F，依题意设点，则，证与全等，可得，，进而得，，则，，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于E，过点B作于F，设点，如图 ∴， ∵点A是直线在第一象限图象上一动点， ∴，， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵ ∴，， ∴． 故选C． 【变式】（2025·广东清远·一模）如图，中的，，顶点在第四象限，直角边在轴上，是斜边的中点，连接并延长交轴于点，的面积为，已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值； (2)如图，点是点关于直线的对称点，点在过点的射线：上，且点位于第三象限内，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 【分析】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合，解直角三角形，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到，得到，然后利用代入求解即可； （2）首先求出，然后得出，根据题意得到，如图，过点作，垂足为，交轴于点，得到，进而求解即可． 【详解】（1）由题意，是斜边的中点 在中，，且 ， 点在第四象限 点在反比例函数的图象上 ； （2）由题意，点是点关于直线的对称点 把代入，得 在射线的反向延长线上，即，，均在直线上 点是点关于直线的对称点 轴 的面积是面积的倍 如图，过点作，垂足为，交轴于点 ， 点的横坐标为 点在直线上 点的坐标为． 突破二 一次函数中规律性问题 【典例】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线l于点；…，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 【分析】此题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质和判定，点的坐标规律．根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可． 【详解】解：如图，过点作 轴于， 将代入直线解析式中得， ，， ， ， ， ， 的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， ∴的坐标为， 故答案为：． 【变式】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 突破三 一次函数中动点问题 【典例】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，一次函数，根据函数图象中三角形的面积的变化情况判断出、、的长是解题的关键． 由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得、的长；接下来，再根据点运动到点时得，从而求得的长，求得直线的解析式，根据一次函数图象可得当点运动到中点时，的面积． 【详解】解：由图象可知，，， ． 根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时， ． ， ， 如图，则可得， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 当点P运动到中点时，即时， 把代入，得， 所以当点P运动到中点时，的面积为． 故选：C． 【变式】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E． (1)若点D为边的三等分点（靠近点A），求点E的坐标和k的值； (2)在（1）的条件下，点F为y轴上一个动点，求当周长最小值时，点F的坐标． (3)求证：当k变化时，． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的性质、最短路径问题及比例式的证明，解题的关键是利用坐标与函数的关系确定点的坐标，用轴对称法求最短路径，以及通过代数推导证明比例关系． （1）先根据矩形性质和三等分点条件确定点的坐标，代入反比例函数求出，再根据点的横坐标求出其纵坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接该对称点与，求直线与轴交点即为； （3）用表示出、、、的长度，再通过代数运算证明比例式． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴平行于轴,平行于轴，， ∵为三等分点且靠近， ∴， ∴ 将代入，得， ∵在上，横坐标为，代入得， ∴． 答：点的坐标为，的值为． （2）解：作关于轴的对称点，连接交轴于，此时周长最小． 设直线的解析式为， 代入、：， 解得，， ∴直线解析式为 令，得， ∴ （3）证明：∵在上，纵坐标为，代入得， ∴， ∵在上，横坐标为，代入得， ∴，， ∴． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，点，，都在反比例函数的图象上，则（　） A． B． C． D． 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数经过的象限得到，，则，据此判断反比例函数的分布的象限和增减性，即可得到答案． 【详解】解：因为一次函数的图象经过第一、二、四象限， 所以，， 则， 所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大． 因为， 所以． 故选：C． 2．（2025·广东清远·二模）对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象经过点 C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．y随x的增大而减小 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是关键．根据函数的增减性、经过的象限、与坐标轴的交点等知识进行判断即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故A正确，D错误， 当时，，即函数图象经过点，故B正确， 当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故C正确， 故选：D 3．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【分析】本题考查了对高斯函数的理解，以及对方程的解和函数图象交点之间联系的理解，解题的关键在于利用数形结合的方式找出临界点．根据题意可得与有三个不同的交点，恒过点，画出函数图象，找出临界点，即可求出实数的取值范围． 【详解】解：关于的方程有三个不同的实根， 与有三个不同的交点， 有恒过点， 如下图： 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ． 故选：D． 4．（2025·广东广州·二模）在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象，将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象，若将反比例函数的图象向下平移4个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题知，将反比例函数的图象向下平移4个单位后，所得图象对应的函数表达式为， 故答案为：． 5．（2025·广东广州·一模）如图，已知直线：与：都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，则直线的解析式是 ． 【分析】本题考查了待定系数法与一次函数，掌握待定系数法是解题的关键．一次函数的性质；关于原点对称的点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题． 【详解】解：当时，， 解得：， 当时，， ，， ∴， 把代入，则， 把代入， ， 解得：， 直线的解析式为， 故答案为：． 6．（2024·广东惠州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，    (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标． 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法求函数表达式，利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）由面积，即可求解． 【详解】（1）解：将代入双曲线， ∴， ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴， ∴， 将代入， ， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：观察函数图象知，不等式的解集为：或； （3）解：设直线交轴于点，设点，    由直线的表达式知，点， 则面积， 解得：， 即点的坐标为：． 7．（2025·广东汕头·一模）近年来，我国在人工智能领域的发展呈现出蓬勃发展的态势，近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称）开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮，据悉，训练一个模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟，假设总数据量为x条（），训练时间为y分钟． (1)求y关于x的函数关系式； (2)若数据总量为6000条，求训练的时间； (3)若训练的时间为90分钟，求使用的数据总量． 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据每增加100条数据，训练时间延长3分钟求出关于的函数关系式即可； （2）将代入表达式求解即可； （3）将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：； （2）解：当时，（分钟）． 答：若数据总量为6000条，训练的时间为120分钟； （3）解：当时，， 解得：． 答：若训练的时间为90分钟，使用的数据总量为5000条． 8．（2025·广东广州·一模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：． (1)当气温为时，声速为________； (2)根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长． 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法，求自变量或函数值的计算是关键． （1）根据表格信息即可求解； （2）根据题意，设声速（）与气温（）的函数关系为，把代入，运用待定系数法即可求解； （3）根据题意，当室温为的情况时，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，当气温为时，声速为， 故答案为：； （2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大， ∴ 选择一次函数， ∴设声速（）与气温（）的函数关系为，把代入， ， 解得，， ∴声速（）与气温（）的函数关系为， 当时，，符合题意； （3）解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为， ∴室温为时，， ∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：， ∴， ∴钢琴标准音的波长约为． 9．（2025·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线（、均为常数）交于点和点． (1)求和的值； (2)点是直线上的一个动点，点在点正下方（即轴），且，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【分析】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、一元二次不等式组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据题意设出两点坐标，根据线段与抛物线只有一个公共点列出不等式且，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线得：，解得：， 将点的坐标代入直线得：，解得， 故，； （2）∵点是直线上的一个动点，点在点正下方（即轴），且， ∴设点的坐标为，则点， 线段与抛物线只有一个公共点， ， 解得：或， 点的横坐标的取值范围为或． 10．（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键． (1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答； (2)根据变化规律计算出和的值，再进行解答即可； (3)根据规律计算出n的值，即可得知结果． 【详解】（1）解：∵，，，，，， …… ∴根据规律发现,， ∴，， 故答案为：15；8． （2）解：∵，， ， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∵n不是整数， ∴的值不会等于． 11．（2025·广东深圳·模拟预测）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y与x的关系式； ②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？ 【分析】本题考查二元一次方程组的运用，一元一次不等式的应用和利用一次函数求最值问题，解题关键是根据题意，得出方程和函数关系式． （1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可； （2）①根据题意得出y关于x的函数，②根据题意列出一元一次不等式求解，确定x的取值范围，然后根据函数的增减性判断最大值情况． 【详解】（1）解：设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元， 依题意得：， 解得：， 答：每台A型电脑的销售利润和B型电脑的销售利润分别为100元、150元； （2）解：①根据题意得，即； ②根据题意得， 解得， ∵，， ∴y随x的增大而减小． ∵x为正整数， ∴当时，y取最大值，此时． 答：商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大． 12．（2025·广东珠海·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、两点，点在直线上，将直线绕点C逆时针旋转，交坐标轴于I、G两点，直线上两点D、H关于点C对称，轴于点F，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)设，令，求y的最大值； (3)当（2）中的y取最大值时，将绕点H顺时针旋转，使点C的对应点落在x轴上，点E的对应点为点，求证：轴． 【分析】（1）设直线为，将、，可求得直线的解析式 ，再求得； （2）先利用正切求得，再证明，从而可得，进而求得与，就可求得， 再设直线的解析式为， 根据点和点，求出直线解析式为，然后设，可用表示出点的坐标，再用表示出与，接着利用对称性求得用表示出，从而可得，再求出当时，有最大值45； （3）当有最大值时，，此时、，利用线段的中点可求得，设设，根据旋转的性质得到关于的方程求出的坐标，从而可求得与，再求得，再利用旋转的性质得出，从而可得，就有，从而可得，就可得，从而可判定轴． 【详解】（1）解：设直线为， 将、代入得， ，， ， 令，即， ， （2）解：过点作于点，如图所示： ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 求得过点和点的直线解析式为， 则，， ，， 、H关于点C对称，， ， ， 当时，有最大值45； （3）解：当有最大值时，，此时、， 由，， ， 作出如图，过点作轴于点， 设，由旋转知，，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ，， ∴，， ， ， ， ， 由旋转知， ， ， ， ， 轴． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，解直角三角形的相关计算，根据旋转的性质求解，的最值，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：联立得，解得（舍去负值）， ∴，则， ∴点的坐标为， ∵点E为中点， ∴点E的坐标为， 由题意得，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故选：C． 2．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的底边为定值， ∴使得底边上的高最大时，面积最大， 点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，    ∵，的半径为1， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键． 4．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 5．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 6．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 7．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $