第四章 三角恒等变换（复习课件）数学北师大版必修第二册

单元复习课件 第四章 三角恒等变换 北师大版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟记常用的三角恒等变换公式.(数学抽象) 3.能利用三角恒等变换公式对复杂函数加以转化,进而研究函数的性质.(数学运算) 2. 能利用三角恒等变换公式进行求值、化简或证明.(逻辑推理、数学运算) 单元学习目标 单元知识图谱 考点一 同角三角函数的基本关系 1.基本关系式 同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2α+cos2α= ; 商数关系:= .  这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切. 1 tan α 考点串讲 2.变形公式 考点一 同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=1⇒ tan α=⇒ 考点串讲 sin(α+β)= ,其中α,β∈R,简记作S(α+β);  sin(α-β)= ,其中α,β∈R,简记作S(α-β).  1.两角和与差的余弦公式 考点二 两角和与差的三角函数公式 cos(α-β)= ,其中α,β为任意角,简记作C(α-β).  cos αcos β+sin αsin β cos(α+β)= ,其中α,β∈R,简记作C(α+β).  cos αcos β-sin αsin β sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 2.两角和与差的正弦公式 考点串讲 3.两角和与差的正切公式 考点二 两角和与差的三角函数公式 tan(α+β)= ,其中α,β,α+β≠kπ+(k∈Z),简记作T(α+β). tan(α-β)= , 其中α,β,α-β≠kπ+(k∈Z),简记作T(α-β). tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan αtan β=1-. 4.T(α+β)的变形: 考点串讲 1.辅助角公式 考点三 三角函数的叠加及其应用 y=asin x+bcos x=　　　　　　　　　. sin(x+φ) 注意： (1)该函数的最大值为,最小值为-. (2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-φ). 考点串讲 1.积化和差 考点四 积化和差与和差化积公式 sin αcos β= ; cos αsin β= ; cos αcos β= ; sin αsin β= . [sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)] [cos(α+β)+cos(α-β)] -[cos(α+β)-cos(α-β)] 考点串讲 2.和差化积 考点四 积化和差与和差化积公式 sin θ+sin φ= ; sin θ-sin φ= ; cos θ+cos φ= ; cos θ-cos φ= . 2sincos 2cossin 2coscos -2sinsin 考点串讲 1.二倍角公式 考点五 二倍角的三角函数公式 二倍角的正弦公式 sin 2α= ,其中α∈R,简记作S2α.  二倍角的余弦公式 cos 2α=cos2α-sin2α= = ,其中α∈R,简记作C2α. 二倍角的正切公式 tan 2α= ,其中α,2α≠kπ+(k∈Z),简记作T2α. 2sin αcos α 2cos2α-1 1-2sin2α 考点串讲 2.二倍角公式的变形 考点五 二倍角的三角函数公式 cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α); 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2; 降幂公式:sin αcos α=sin 2α;cos2α=;sin2α=. 升幂公式:1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α. 考点串讲 3.半角公式 考点五 二倍角的三角函数公式 sin= , cos= , tan= . ± ± ± 半角公式中的±号不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留±两个符号;若给出α的具体范围时,则先求所在的范围,然后根据所在的范围选用符号. 考点串讲 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 C 题型剖析 AD 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 题型剖析 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 针对训练 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 题型剖析 (1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”. (2)已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法 ①对于形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正弦、余弦转化为正切,从而求值. ②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值. 反 思 感 悟 19 题型二 三角函数式的化简求值与证明 题型剖析 题型二 三角函数式的化简求值与证明 题型剖析 题型二 三角函数式的化简求值与证明 题型剖析 题型二 三角函数式的化简求值与证明 题型剖析 题型二 三角函数式的化简求值与证明 题型剖析 对于给角求值问题,一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 反 思 感 悟 25 反 思 感 悟 (3)证明三角恒等式的常用方法 ①从左向右推导或从右向左推导. ②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子. ③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异. ④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等. ⑤比较法,即证明“左边-右边=0”或“=1”. 题型三 三角恒等变换在三角函数中的运用 题型剖析 题型三 三角恒等变换在三角函数中的运用 题型剖析 题型三 三角恒等变换在三角函数中的运用 题型剖析 题型三 三角恒等变换在三角函数中的运用 题型剖析 反 思 感 悟 方法技巧 三角恒等变换综合应用的解题思路 (1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式; 题型四 三角恒等变换与向量的综合运用 题型剖析 题型四 三角恒等变换与向量的综合运用 题型剖析 题型四 三角恒等变换与向量的综合运用 (1)求A的取值范围; (2)求f(A)的值域. 题型剖析 题型四 三角恒等变换与向量的综合运用 (1)求A的取值范围; (2)求f(A)的值域. 题型剖析 反 思 感 悟 三角函数与平面向量的综合问题,题目以解答题为主. 主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合,向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算,所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质. 解决此类问题,首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题,然后利用三角公式进行恒等变换,转化为题目中所要求的问题. ✅ 知识构建：三角恒等变换 同角关系→两角和与差→积化和差与和差化积→二倍角公式→半角公式 ✅ 思想方法： 数学运算能力、逻辑推理能力、转化与化归思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! 1.已知函数f(x)=sinsin x-cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在上的单调性. 解(1)f(x)=sinsin xcos2x =cos xsin x(1+cos 2x) =sin 2xcos 2x =sin, 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为. 1.已知函数f(x)=sinsin x-cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在上的单调性. (2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而 当0≤2x-,即≤x≤时,f(x)是增加的, 当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)是减少的. 综上可知,f(x)在上是增加的;在上是减少的. (2)构造f(x)=·sin x+·cos x) (3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角); (4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质; (5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且S△ABC=3,0≤≤6,函数f(θ)=2sin2+θ-cos 2θ. 解：(1)因为S△ABC=3,所以bcsin A=3. 因为0≤≤6,所以0≤bccos A≤6, 所以0≤≤1,即sin A≥cos A≥0,所以A∈[]. 2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且S△ABC=3,0≤≤6,函数f(θ)=2sin2+θ-cos 2θ. 解：(2)f(A)=2sin2+A)-cos 2A =1-cos(+2A)-cos 2A =1+sin 2A-cos 2A=2sin(2A-)+1. 因为A∈[],所以2A-∈[].所以sin(2A-)∈[,1],所以f(A)∈[2,3]. 所以f(A)的值域为[2,3]. $