章末检测（四） 三角恒等变换-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了三角恒等变换的诱导公式、和差角公式、二倍角公式及其应用，通过典型例题将公式运算与三角函数性质、三角形问题串联，帮助学生构建完整的三角知识网络。 其亮点在于“基础巩固-综合应用-探究拓展”的分层设计，如通过“已知sinα求cos(π-2α)”等基础题，到“判断三角形形状”的综合题，培养学生的数学思维和运算能力，解答题的开放性条件选择满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情。

章末检测（四）　三角恒等变换 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知 sin α＝ ，则 cos （π－2α）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：　 cos （π－2α）＝－ cos 2α＝－（1－2 sin 2α）＝2×（ ）2－1＝ － .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 2. 若α为第三象限角，则 ＋ ＝（　　） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 解析：　∵α为第三象限角，∴ sin α＜0， cos α＜0，∴ ＋ ＝ ＋ ＝－ － ＝－3.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 3. 已知α∈（0， ）， cos （α＋ ）＝－ ，则 cos α等于（　　） A. － B. C. D. ± 解析：　因为α∈（0， ），所以α＋ ∈（ ，π），则 sin （α＋ ）＞ 0，所以 sin （α＋ ）＝ ＝ ，所以 cos α＝ cos ［（α＋ ）－ ］＝ cos （α＋ ）· cos ＋ sin （α＋ ） sin ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 4. 在△ABC中，已知tan ＝ sin C，则△ABC的形状为（　　） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　在△ABC中，tan ＝ sin C＝ sin （A＋B）＝2 sin cos ，所以2 cos 2 ＝1，所以 cos （A＋B）＝0.从而A＋B＝ ， △ABC为直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 5. 已知 sin 2α＝ ，tan（α－β）＝ ，则tan（α＋β）＝ （　　） A. －2 B. －1 C. － D. 解析：　∵ ＜2α＜π，∴ cos 2α＝－ .∴tan 2α＝ ＝－ ，tan（α＋ β）＝tan [2α－（α－β）]＝ ＝ ＝－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 6. 已知α，β都是锐角， sin （α－ ）＝ ， cos （α＋β）＝－ ，则 cos （β＋ ）等于（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　由于α，β都是锐角，则－ ＜α－ ＜ ，0＜α＋β＜π.因为 sin （α－ ）＝ ＞0， cos （α＋β）＝－ ＜0，所以0＜α－ ＜ ， ＜α＋β ＜π，所以 cos （α－ ）＝ ， sin （α＋β）＝ ，所以 cos （β＋ ）＝ cos ［（α＋β）－（α－ ）］＝ cos （α＋β） cos （α－ ）＋ sin （α＋ β） sin （α－ ）＝－ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 7. 若α，β∈（ ，π），且（1－ cos 2α）（1＋ sin β）＝ sin 2α cos β，则 下列结论正确的是（　　） A. 2α＋β＝ B. 2α－β＝ C. α＋β＝ D. α－β＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　因为α，β∈（ ，π），所以 sin α≠0.由（1－ cos 2α）（1＋ sin β）＝ sin 2α cos β，可得2 sin 2α（1＋ sin β）＝2 sin α cos α cos β，即 sin α（1＋ sin β）＝ cos α cos β.所以 sin α＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ cos （α＋β），所以 cos （α＋β）＝ cos （ －α）.因为α，β∈（ ，π），所以π＜α＋β＜2π，且－ ＜ －α＜0，根据函数y＝ cos x的性质易知α＋β＝ －α＋2π，即2α＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 8. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足a sin C＋a cos C＝b＋c，则△ABC是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　由正弦定理知 sin A sin C＋ sin A cos C＝ sin B＋ sin C，又 sin B ＝ sin [π－（A＋C）]＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ sin C cos A，所以 sin A sin C＝ sin C cos A＋ sin C，所以 sin C（ sin A－ cos A－1）＝0，又 C∈（0，π），所以 sin C＞0，所以 sin A－ cos A－1＝0，所以 sin （A－ ）＝ ，又A∈（0，π），所以A－ ＝ ，故A＝ ，即A为直角.故 △ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 下列化简正确的是（　　） A. cos 82° sin 52°－ sin 82° cos 52°＝ B. sin 15° sin 30° sin 75°＝ C. ＝1 D. cos 215°－ sin 215°＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：A中， cos 82° sin 52°－ sin 82° cos 52°＝ sin （52°－82°）＝ sin （－30°）＝－ sin 30°＝－ ，故A错误；B中， sin 15° sin 30° sin 75°＝ sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ，故B错误；C中， ＝tan（21°＋24°）＝tan 45°＝1，故C正确；D中， cos 215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生 成函数”.下列函数中，与f（x）＝ cos x“互为生成函数”的有（　　） A. f1（x）＝ sin x B. f2（x）＝ sin x＋ cos x C. f3（x）＝2 sin 2 D. f4（x）＝ sin cos √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：f（x）＝ cos x＝ sin （x＋ ），由f1（x）＝ sin x，则将f1（x）的图象向左平移 个单位长度后，即可与f（x）的图象重合；由f2（x）＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），则f2（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合；由f3（x）＝2 sin 2 ＝1－ cos x＝1＋ sin （x－ ），则将f3（x）的图象向左平移π个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，即可与f（x）的图象重合；由f4（x）＝ sin cos ＝ sin x，则f4（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合.故A、C中的函数与f（x）“互为生成函数”.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 11. 已知4 cos （α＋ ）＝ cos 2α，则（　　） A. sin α＋ cos α＝ B. α＝kπ＋ （k∈Z） C. tan 4α＝0 D. tan α＝1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：因为4 cos （α＋ ）＝ cos 2α，所以4（ cos α cos － sin α sin ）＝ cos 2α－ sin 2α，整理可得2 （ cos α－ sin α）＝ cos 2α－ sin 2α，即（ cos α＋ sin α）（ cos α－ sin α）－2 （ cos α－ sin α）＝0.因此（ cos α＋ sin α－2 ）（ cos α－ sin α）＝0，所以 cos α＋ sin α－2 ＝0或 cos α－ sin α＝0，即 sin （α＋ ）＝2 或 sin α＝ cos α，解得 sin （α＋ ）＝2（舍去）或tan α＝1，所以α＝kπ＋ （k∈Z）.由于4α＝4kπ＋π（k∈Z），tan 4α＝tan（4kπ＋π）＝tan π＝0.所以A选项错误，B、C、D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知 sin （θ＋π）＝ ，且θ为第四象限角，则tan（θ－π）＝ ⁠⁠. 解析：由 sin （θ＋π）＝ 可知－ sin θ＝ ，所以 sin θ＝－ ，而θ为 第四象限角，所以 cos θ＝ ，于是tan（θ－π）＝tan θ＝ ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 13. 已知2 sin α＋ cos β＝ ，2 cos α＋ sin β＝－ ，则 sin （α＋β） ＝ ⁠. 解析：由2 sin α＋ cos β＝ 两边平方可得4 sin 2α＋4 sin α cos β＋ cos 2β＝ ①，由2 cos α＋ sin β＝－ 两边平方可得4 cos 2α＋4 cos α sin β＋ sin 2β＝ ②，①＋②，可得5＋4 sin α cos β＋4 cos α sin β＝3，即4 sin （α＋β）＝ －2，即 sin （α＋β）＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 14. 已知函数f（x）＝ cos 4x＋ sin 2x，给出下列结论：①f（x）是偶函 数；②函数f（x）的最小值为 ；③ 是函数f（x）的一个周期；④函数 f（x）在 内单调递减，其中正确结论的序号是 ⁠. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：易知f（x）的定义域为R，其定义域关于原点对称，又f（－x）＝ cos 4（－x）＋ sin 2（－x）＝ cos 4x＋ sin 2x＝f（x），故函数f（x）是 偶函数，故①正确；由于f（x）＝ ＋ sin 2x＝ sin 4x－ sin 2x＋1＝ ＋ ，且 sin 2x∈[0，1]，所以当 sin 2x＝ 时，f （x）min＝ ，所以②正确；f ＝ sin 4 － sin 2（ x＋ ）＋1 ＝ cos 4x＋1－ cos 2x＝ cos 4x＋ sin 2x，则f（x）＝f ，故③正 确；因为f ＝ ，f ＝1，所以f ＜f ，所以④错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知角θ满足tan ＝－ ，求下列各式 的值： （1） ； （1） ＝ ＝ ＝tan θ＝－3. 解：由题意知tan ＝ ＝－ ，得tan θ＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：易知 cos θ≠0，则 cos 2θ＋ sin 2θ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ . （2） cos 2θ＋ sin 2θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）已知 ＜α＜π， ＜β＜π， cos α＝－ ，tan β ＝－ . （1）求 sin 的值； 解：因为 ＜α＜π， cos α＝－ ，所以 sin α＝ ＝ ，所以 sin ＝ sin α cos － cos α sin ＝ × － × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）求α＋β的值. 解：因为 ＜α＜π， ＜β＜π，所以π＜α＋β＜2π. 由（1）可得tan α＝ ＝－ . 又因为tan β＝－ ，所以tan（α＋β）＝ ＝ ＝－1，故α ＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）在①x＝－ 是函数f（x）图象的一条对称 轴；② 是函数f（x）的一个零点；③函数f（x）在[a，b]上单调递 增，且b－a的最大值为 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，并解答. 已知函数f（x）＝2 sin ωx cos － （0＜ω＜2）， 　　　　　， 求f（x）在 上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：f（x）＝2 sin ωx cos － ＝2 sin ωx － ＝ sin ωx cos ωx＋ sin 2ωx－ ＝ sin 2ωx－ cos 2ωx ＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 选择①x＝－ 是函数f（x）图象的一条对称轴， 则－ － ＝kπ＋ ，k∈Z，即－ ＝kπ＋ ，k∈Z， 得ω＝－3k－2，k∈Z， 又0＜ω＜2，所以当k＝－1时，ω＝1，f（x）＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 选择② 是函数f（x）的一个零点， 则 ×2ω－ ＝kπ，k∈Z，即 ω＝kπ＋ ，k∈Z， 得ω＝6k＋1，k∈Z. 又0＜ω＜2，所以当k＝0时，ω＝1， 所以f（x）＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 选择③f（x）在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为 . 则T＝π＝ ，故ω＝1， 所以f（x）＝ sin . 由 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， 令k＝0，得 ≤x≤ ， 令k＝－1，得－ ≤x≤－ ， 又－ ≤x≤ ， 所以f（x）在 上的单调递减区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝4 cos x sin （ x＋ ）＋1在区 间 上的值域为[－2，1]. （1）求实数a的取值范围； 解：f（x）＝4 cos x sin ＋1 ＝－4 cos x sin ＋1 ＝－4 cos x ＋1 ＝－2 sin x cos x－2 cos 2x＋1 ＝－ sin 2x－ cos 2x ＝－2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 由题意得，当x∈ 时，－ ≤ sin （ 2x＋ ）≤1， 令u＝2x＋ ，则u∈ ， 所以 ≤2a＋ ≤ ，所以 ≤a≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）若f（x0）＝－ ，x0∈ ，求 cos 2x0的值. 解：由题意得0＜ sin ＝ ＜ ，x0∈ ，则 ＜2x0＋ ＜π， 所以 cos ＝－ . 所以 cos 2x0＝ cos ＝ cos （ 2x0＋ ） cos ＋ sin sin ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，CD＝ 2 ，∠DAB＝∠CDB＝θ，0＜θ＜ ，∠ADB＝ ，BE⊥CD于点E. （1）求四边形ABCD面积的最大值； 解：因为∠ADB＝ ，AB＝2，∠DAB＝θ， 所以DA＝2 cos θ，DB＝2 sin θ. 又因为∠CDB＝θ，所以BE＝DB sin θ＝2 sin 2θ， 则S四边形 ABCD＝S△DAB＋S△DCB ＝ DA·DB＋ DC·BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） ＝2 sin θ cos θ＋2 sin 2θ ＝ sin 2θ＋ （1－ cos 2θ） ＝2 sin （2θ－ ）＋ . 因为0＜θ＜ ，－ ＜2θ－ ＜ ， 所以－ ＜ sin （2θ－ ）≤1， 当2θ－ ＝ ，即θ＝ 时，S四边形ABCD 取得最大值，最大值为2＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）求DA＋DB＋DE的取值范围. 解：由（1）得，DE＝DB cos θ＝2 sin θ cos θ， 所以DA＋DB＋DE＝2 cos θ＋2 sin θ＋2 sin θ cos θ. 设t＝ cos θ＋ sin θ，则t2＝ cos 2θ＋ sin 2θ＋2 sin θ cos θ＝1＋2 sin θ cos θ， 所以2 sin θ cos θ＝t2－1， 则DA＋DB＋DE＝2t＋t2－1＝（t＋1）2－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 因为t＝ sin （θ＋ ），0＜θ＜ ， 所以t∈（1， ]. 而y＝（t＋1）2－2在（1， ]上单调递增， 所以DA＋DB＋DE的取值范围是（2，1＋2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） $