专题02 不等式与不等式组（期中复习讲义，10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材北师大版

专题02 不等式与不等式组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的基本性质 题型02 一元一次不等式（组）的定义 题型03 解一元一次不等式（组） 题型04 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 题型05 根据一元一次不等式的解集求参数 题型06 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 题型07 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 题型08 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 题型09 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 题型10 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的性质 1. 掌握不等式的 3 条基本性质，能熟练进行变形；2. 能准确判断变形过程中的符号变化。 1. 基础必考点，以选择、填空为主；2. 常结合解方程考查，易错点在于性质 3（乘除负数）变号。 解一元一次不等式 1. 掌握解一元一次不等式的一般步骤；2. 能正确求出解集，并在数轴上准确表示。 1. 必考基础题，解答题第一问常考；2. 基础计算易出错，数轴表示不规范是高频丢分点。 一元一次不等式组 1. 会解不等式组，能正确求出公共解集；2. 能根据解集情况（如无解、整数解）确定参数范围。 1. 中考高频点，填空、解答均有涉及；2. 含参不等式组求参数是压轴常考点，侧重数形结合。 不等式的实际应用 1. 能从实际问题中提取不等关系，列不等式（组）；2. 能结合实际意义（如整数解）确定最终方案或取值。 1. 应用题重点，常以方案设计、最值问题出现；2. 审题是关键，易忽略 “整数解”“非负” 等实际限制条件。 知识点01 不等式的有关概念 1. 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫不等式。 2. 使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。 3. 一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫不等式的解集。 示例：判断：x+3>5是不等式；x=3是它的一个解；解集为x>2。 易错点：把“解”和“解集”混淆：解是单个值，解集是所有解的集合。 不理解 ≥、≤ 的含义，把“≥”只当成“＞”。 知识点02 不等式的基本性质 1. 性质1：若a>b，则ac>bc（加减不改变不等号方向）。 2. 性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，>。 3. 性质3：若a>b，c<0，则ac<bc，（乘除负数，不等号方向改变）。 示例：已知a>b，判断：a+2>b+2（正确）;-2a<-2b（正确，乘负数变号） 易错点：两边乘除负数时，忘记改变不等号方向，这是本章最高频错误。 两边同乘含字母式子时，不讨论字母正负直接变形。 知识点03 一元一次不等式及其解法 1. 只含一个未知数，未知数次数为1，分母不含未知数的不等式。 2. 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 3. 解集在数轴上表示：空心圈（不包含），实心点（包含）。 示例：解不等式：2x-1<5移项：2x<6，得x<3。 数轴表示：3 处画空心圈，向左画线。 易错点：移项忘记变号。去分母时，常数项漏乘公分母。数轴表示：含等号画实心，不含画空心，经常画反。 知识点04 一元一次不等式组及其解集 1. 几个同一未知数的一元一次不等式合在一起，组成不等式组。 2. 解集：各个不等式解集的公共部分。 3. 四种基本情况（设a<b）： - 同大取大：, x>b - 同小取小：：, x<a - 大小小大中间找：：, a<x<b\) - 大大小小找不到：：,无解 示例：解不等式组：：,解得：，解集：1<x2。 易错点：不会找公共部分，解集写反或写漏。 - 多个不等式求解时，某一个解错导致整体错误。 - 端点是否取等号判断错误。 知识点05 一元一次不等式组的整数解问题 先求出不等式组解集，再在解集中找出符合要求的整数（正整数、负整数、非负整数）。 示例：不等式组1<x3的整数解为：2，3。 易错点：漏端点值（如把3漏掉）。 把不满足解集的数也算进去。 知识点06 含参数的不等式（组）问题 已知不等式（组）的解集、有无解、整数解个数，反求参数范围。 示例：不等式组 有解，则a>2。 易错点：不判断等号是否成立，直接写范围。 - 数形结合能力弱，不会借助数轴分析参数位置。 知识点07 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式（组）→解→检验→作答。 2. 常见关键词：至少、至多、不超过、不少于、不足、不低于。 示例：用长度20cm的铁丝围矩形，长比宽多2cm，求宽至多多少。 设宽为x，则2(x+x+2)20。 易错点：把“至少”“不超过”等关键词翻译成不等号时出错。 - 实际问题中，人数、物品数必须为正整数，常忽略取整要求。 - 列不等式时方向写反。 知识点08 不等式与方程、函数的简单综合 结合方程解的正负、范围，转化为不等式求解。 示例：方程2x+k=5的解为正数，则x=>0 k<5。 易错点：方程解的表达式求错，导致不等式列错。 - 综合题中计算粗心，符号混乱。 题型一 不等式的基本性质 解｜题｜技｜巧 牢记加减同向不变号，乘除正数方向不变、负数方向反转；避免直接乘除含字母式子，先判断符号；利用性质将不等式逐步化简，注意解集端点与数轴表示。 【典例1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，，故本选项错误，不符合题意； B. ，，故本选项错误，不符合题意； C. ，，故本选项错误，不符合题意； D. ，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析，可得答案． 【详解】解：A、两边都加2，不等式成立，正确，故A不符合题意； B、两边都减2，不等式成立，正确，故B不符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，不等式成立，正确，故C不符合题意； D、两边都除以，不等号的方向改变，选项的不等式不成立，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期中）若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、， ，故本选项不符合题意； B、， ，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不成立，不符合题意； B、取反例, ， 则，， ， 故B不成立，不符合题意； C、取反例，， 则，， ， 故C不成立，不符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴， 故D成立，符合题意． 故选：D． 题型二 一元一次不等式（组）的定义 解｜题｜技｜巧 先分别解每个不等式，利用性质化为最简形式，再借助数轴找公共部分确定解集；注意“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的口诀，含等号时端点要取到。 【典例1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【详解】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 【典例2】（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 题型三 解一元一次不等式（组） 解｜题｜技｜巧 去分母时注意乘正负对不等号影响，去括号移项合并同类项后系数化为1要分清乘除正负；组则先解各不等式再取交集，用数轴直观表示，勿遗漏端点是否包含。 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上． （2）解不等式组． 【答案】（1），数轴见解析；（2）． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确熟练地进行计算是解题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为，即可求出不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可； （2）依据题意，先分别解组成不等式组的不等式，从而可以得出解集． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 把解集表示在数轴上，如图所示： （2）由题意，解不等式， ∴． ∴． 解不等式， ∴． ∴． ∴原不等式组的解集为． 【典例2】（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集． （1）移项、合并同类项，系数化为1，即可求得答案； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： （2） 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 则该不等式组的解集为：, 这个不等式组的解集在数轴上表示如图： 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）解下列不等式（组），并把（2）的解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2)。见解析 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式（组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的方法得出答案，然后再把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 把的系数化为1得：； （2）， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）并把解表示在数轴上： (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）以及在数轴上表示不等式（组）的解集： （1）先移项，再合并、系数化1可得到不等式的解集，然后用数轴表示其解集； （2）分别解两个不等式得到和，则利用大小小大中间找得到不等式组的解集，然后用数轴表示其解集． 【详解】（1）解：， ， ， 解得， ∴原不等式的解集为， 将解集表示在数轴上，如图所示： （2）解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上，如图所示： 题型四 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 解｜题｜技｜巧 先根据错解结果反推原不等式结构，注意不等号方向是否被颠倒，结合解集端点与系数符号，设出原不等式并代入验证，常需分类讨论，逐步还原正确求解过程。 【典例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 解：．……第一步 ．……第二步 ．……第三步 ．……第四步 ．……第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的； ②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______； 任务二：请写出该不等式的正确解集为_______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①不等式的性质2，②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变；；解不等式移项时，注意变号；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集． （1）任务一：①②根据不等式的基本性质即可求解； 任务二：先去分母、去括号、移项，合并同类项，再系数化为即可求解； 任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘不含分母的项；移项时，注意变号；去括号时要注意，括号前若是负号，括号内各项要变号等． （2）先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：任务一：①不等式的性质2； ②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：； 任务三：解不等式移项时，注意变号（答案不唯一）； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来如图所示． ． 【典例2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）计算： 下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空：①以上解题过程中第二步是依据 （运算律）进行变形的； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：解不等式组：． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二： 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式组，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 任务一：根据解不等式的方法作答即可； 任务二：解各不等式求得的取值范围后取它们的公共部分即可． 【详解】任务一：解：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 故答案为：①乘法分配律；②五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故原不等式组的解集为． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出①②的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间中，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解：解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ， ， 则不等式组的解集为：． 数轴上表示为： 【变式2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）（1）解下列一元一次不等式组：． （2）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……·第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）；（2）任务一：①乘法分配律；②五；不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变；任务二：． 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则原不等式组的解集为：； （2）任务一：①乘法分配律； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变； 故答案为：乘法分配律；五；不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变； 任务二：该不等式的正确解集为． 题型五 根据一元一次不等式的解集求参数 解｜题｜技｜巧 先将参数视为常数解不等式，用含参数式子表示解集，再与已知解集对比，建立方程或不等式求参数；注意系数正负对不等号方向影响，必要时分类讨论。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式的解集为，则m的值为_______________． 【答案】 【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解 即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘 （不等号方向改变）得 ， 由于解集为 ， 因此 ， 解得 ， ， 故答案为：． 【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式，掌握不等式的解法、数形结合思想是解题的关键，解不等式可得，由数轴可得，因此，可求出的值． 【详解】解：由得： ， 由数轴可得， ， ， 故答案为：2． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）若不等式的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】该题考查了一元一次不等式，根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变．由解集可知，除以后不等号方向改变，故． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴不等号方向改变， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）关于x的不等式的解集如图所示，那么m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式解集的情况求参数，先用含m的式子表示出不等式的解集，再根据数轴得出不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， ， 从图上可以看出，不等式的解集为， ， ， 故答案为： 题型六 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先解不等式组得含参数解集，再根据整数解个数或具体值确定边界，利用数轴分析端点范围，注意等号是否可取，常通过代入整数解建立不等式组精确限定参数。 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据正整数解求解即可． 【详解】解不等式，得． ∵正整数解恰是1，2，3， ∴． 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数确定参数的范围． 先分别解出两个不等式的解集，再合并得到不等式组的解集，结合整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 因此，不等式组的解集为， 设，则解集为， 由于有5个整数解，且，整数解为， 为确保这些整数解都在解集中，需满足，即， 为确保不在解集中，需满足， 因此，， 代入，得， 解该不等式： 左边，乘以2得，即， 右边，乘以2得，即． 故的取值范围为． 故答案为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先解出不等式组中第二个不等式的解集，再结合得到不等式组的整体解集．根据“恰好有两个整数解”这一条件，确定这两个整数解，进而分析得到实数的取值范围． 【详解】解：解不等式 ： 两边同乘得： ∴不等式组的解集为 ． 由于解集恰好有两个整数解，且 ，整数解最大为，因此整数解只能为和． 为确保包含整数，需 ； 为确保不包含整数，需 ． 故实数 的取值范围是 ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和______． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 题型七 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先将参数视为常数解各不等式，在数轴上表示解集，根据有解、无解或解集确定边界位置，列关于参数的不等式组；注意端点是否重合时等号的取舍，分类讨论要周全。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【典例2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的范围，先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于a的不等式，进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵该不等式组无解， ∴，解得． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若不等式组的解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集为 ，利用“同小取小”的原则确定的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 【详解】解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 题型八 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 解｜题｜技｜巧 先解方程或方程组，用含参数式子表示未知数，再根据解满足的不等式条件代入，列出关于参数的不等式组求解，注意隐含条件如分母不为零、根非负等，确保解的实际意义。 【典例1】（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 【典例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是________； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 题型九 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 解｜题｜技｜巧 将函数值大小转化为不等式，利用图象交点划分区间，数形结合看高低；已知自变量范围求函数值范围，或反之，常通过端点值代入列不等式，注意直线与坐标轴交点。 【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．A、求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线为可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围，结合直线：与直线：都经过，从而可以判断得解． 【详解】解：A．把代入直线，则， 解得， 在中，令，则 ， ∴， ∴， ∵直线经过，交y轴于点， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在直线：中，令，则 ， ∴， ∴， ∴，故A正确； B．∵直线：与直线都经过， ∴方程组的解为故B正确； C．由题意，∵直线为， ∴令，则． ∴，故C错误； D．由题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围， 又∵直线：与直线：都经过， ∴结合图象可得，不等式的解集是，故D正确． 故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，两条直线的交点求方程组的解， 先根据直线与x轴的交点求出方程的解判断A，再求出两条直线的交点，并判断方程组的解，说明B；然后根据两条直线的位置求出不等式的解集解答C；最后根据直线与x轴的交点解答D． 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴方程的解是，， 解得，即， 则A不正确，不符合题意； ∵一次函数与交点为， ∴， 即， ∴方程组的解是， 则B不正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是， 则C正确，符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴的解集是， 则D不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)点C的坐标为________，不等式的解集为________； 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点为， ， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：；． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）由新定义求出直线的表达式，代入即可求解； （2）根据题意可得点D是两个函数的交点，联立解析式，可得点D的坐标，再观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为； ∵点在“逆反函数”的函数图象上， ∴，解得：； 故答案为：，； （2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式：， 解得：， 即点， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 题型十 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 解｜题｜技｜巧 审题找准关键词“至少”“不超过”等建立不等关系，设未知数后列不等式或组，解出范围后结合实际意义取整数或符合题意的解，注意单位统一与结果检验。 【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期中）某花店有名员工，每名员工每天可包装A款花束8束或B款花束6束，每包装一束A款花束可获利润元，每包装一束B款花束可获利润元．在这名员工中，花店每天安排x名员工包装A款花束，其余员工包装B款花束． (1)写出该花店每天所获利润y元与x名员工之间的函数表达式； (2)某天花店所获利润为，则花店安排了多少名员工包装A款花束？ (3)如果要花店每天所获利润不低于元，至少应安排多少名员工去包装B款花束？ 【答案】(1)（，且x为整数）； (2)花店安排了名员工包装A款花束； (3)至少应安排名员工去包装B款花束 【分析】本题考查一次函数的应用，不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据总利润=包装A花束获得利润+包装B花束获得利润列出函数解析式； （2）令，解方程即可求出x的值； （3）令，解不等式即可求出x的取值范围，再得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得（其中，且x为整数） ∴该花店每天所获利润y元与x名员工之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得， 答：花店安排了名员工包装A款花束； （3）解：∵花店每天所获利润不低于元， ∴， 解得， 则， ∴至少应安排名员工去包装B款花束． 【典例2】（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 【答案】(1)选择甲复印社比较省钱，因为甲收费10元，乙收费10.5元。 (2)甲复印社收费：元；乙复印社收费：元。 (3)60 【分析】此题考查了一元一次不等式及列代数式的应用，找出题中的数量关系是解本题的关键． （1）根据甲、乙两家复印社收费标准即可求解； （2）根据题意，分别求出甲、乙两家复印社的收费即可； （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：复印50页时： 甲复印社收费：(元) 乙复印社收费：前20页每页0.3元，超过部分每页0.15元， 即(元)， 因为， 所以选择甲复印社比较省钱． （2）解：设复印张数为页 甲复印社收费：元． 乙复印社收费：元． （3）解：要使乙复印社收费比甲便宜，需满足： 解不等式得： 所以当复印的页数超过60页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 故答案为：60． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元； (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元； (2)当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设购买1颗A型芯片需要x元，购买1颗B型芯片需要y元，根据购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元建立方程组求解即可； （2）设购买A型芯片m颗，所需资金为W元，列出W关于m的函数关系式，再求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买1颗A型芯片需要x元，购买1颗B型芯片需要y元， 由题意得，， 解得， 答：购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元； （2）解：设购买A型芯片m颗，所需资金为W元， 由题意得，， ∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍， ∴， ∴， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为， 答：当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元． (1)写出w与x之间的函数表达式． (2)若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ (3)实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个．在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大．求购进小号“巳升升”玩偶的数量． 【答案】(1) （，为整数） (2) 该文创店所获得的最大利润为元； (3) 当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 【分析】（1）根据利润单个大号玩偶的利润数量单个小号玩偶的利润数量，即可解答； （2）利用一次函数的性质，结合小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即可解答； （3）根据利润单个大号玩偶的利润数量单个小号玩偶的利润数量，列出一次函数解析式，再利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意（，为整数）； （2）解：由（1）知， ∵， ∴随的增大而减小， ∵小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即， ∴当时，有最大值， 答：该文创店所获得的最大利润为元； （3）解：， ∵，且为整数，， ∴当时，，与的取值无关， 此时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数； 当时，即，则随的增大而增大， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为40个； 当时，即，则随的增大而减小， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为35个； 答：当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·北京·期中）若，下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据不等式的性质一、二， 可判断，，，， 故选项D错误． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】不等式表示的区域就是直线在直线下方的区域，再代入点，得到正比例函数中求出m，即可解题. 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得：， ∴， ∴不等式的解集为． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再将解集表示在数轴上； （2）先求出每一个不等式的解集，然后取解集的公共部分作为不等式组的解集，再将解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： ； （2）解： 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示为： 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． (1)若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？ (2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】(1)购买A种学习用品400件，B种学习用品600件 (2)最多购买B型学习用品800件 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式． （1）设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件，根据某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，购买这两种学习用品用了26000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品（1000﹣a）件，根据购买这批学习用品的钱不超过28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件， 由题意得：， 解得：， 答：购买A种学习用品400件，B种学习用品600件； （2）解：设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品件， 由题意得：， 解得：， 答：最多购买B型学习用品800件． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）代数式的值大于1，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了解不等式． 根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， 只有D符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 3．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．A、求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线为可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围，结合直线：与直线：都经过，从而可以判断得解． 【详解】解：A．把代入直线，则， 解得， 在中，令，则 ， ∴， ∴， ∵直线经过，交y轴于点， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在直线：中，令，则 ， ∴， ∴， ∴，故A正确； B．∵直线：与直线都经过， ∴方程组的解为故B正确； C．由题意，∵直线为， ∴令，则． ∴，故C错误； D．由题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围， 又∵直线：与直线：都经过， ∴结合图象可得，不等式的解集是，故D正确． 故选：C． 4．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ． 5．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，不等式组的解法，根据原点对称的性质，点P关于原点的对称点的横纵坐标是点P的横纵坐标的相反数，再根据第四象限点的坐标特征（横坐标大于0，纵坐标小于0）列出不等式组求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 由于在第四象限，则横坐标大于0，纵坐标小于0， 即， 解不等式，得； 解不等式，得． 因此，的取值范围是． 故答案为： 6．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出满足该不等式的负整数解． 【答案】（1），见解析；（2），负整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式与一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）移项、合并即可得出不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，继而求出负整数解即可． 【详解】解：（1）移项，得， 合并同类项，得， 将解集表示在数轴上如下： （2） 解①，得， 解②，得， 则不等式组的解集为， 所以负整数解为． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程组，得， 为非正数，为负数， ， 解得， 的取值范围为； （2）解：， ， 不等式的解为， ，即， 的取值为． 整数． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 (2)租用型车辆、型车辆最省钱，最少租车费为元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用； （1）设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 （2）根据总运货量列出二元一次方程，找出所有非负整数解，计算各方案租金并比较最小值 【详解】（1）解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 依题意，得： 解得 答：1辆A型车运货3吨，1辆B型车运货4吨 （2）依题意，得： 、均为非负整数 ∴ 解得，故 又∵为非负整数 可取、、 当时， 当时， 当时， 租车方案有三种：方案：；方案：；方案： 方案租金：（元） 方案租金：（元） 方案租金：（元） 方案租金最少，为元 答：最省钱方案为租型车辆、型车辆，最少租车费元 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的基本性质 题型02 一元一次不等式（组）的定义 题型03 解一元一次不等式（组） 题型04 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 题型05 根据一元一次不等式的解集求参数 题型06 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 题型07 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 题型08 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 题型09 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 题型10 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的性质 1. 掌握不等式的 3 条基本性质，能熟练进行变形；2. 能准确判断变形过程中的符号变化。 1. 基础必考点，以选择、填空为主；2. 常结合解方程考查，易错点在于性质 3（乘除负数）变号。 解一元一次不等式 1. 掌握解一元一次不等式的一般步骤；2. 能正确求出解集，并在数轴上准确表示。 1. 必考基础题，解答题第一问常考；2. 基础计算易出错，数轴表示不规范是高频丢分点。 一元一次不等式组 1. 会解不等式组，能正确求出公共解集；2. 能根据解集情况（如无解、整数解）确定参数范围。 1. 中考高频点，填空、解答均有涉及；2. 含参不等式组求参数是压轴常考点，侧重数形结合。 不等式的实际应用 1. 能从实际问题中提取不等关系，列不等式（组）；2. 能结合实际意义（如整数解）确定最终方案或取值。 1. 应用题重点，常以方案设计、最值问题出现；2. 审题是关键，易忽略 “整数解”“非负” 等实际限制条件。 知识点01 不等式的有关概念 1. 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫不等式。 2. 使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。 3. 一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫不等式的解集。 示例：判断：x+3>5是不等式；x=3是它的一个解；解集为x>2。 易错点：把“解”和“解集”混淆：解是单个值，解集是所有解的集合。 不理解 ≥、≤ 的含义，把“≥”只当成“＞”。 知识点02 不等式的基本性质 1. 性质1：若a>b，则ac>bc（加减不改变不等号方向）。 2. 性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，>。 3. 性质3：若a>b，c<0，则ac<bc，（乘除负数，不等号方向改变）。 示例：已知a>b，判断：a+2>b+2（正确）;-2a<-2b（正确，乘负数变号） 易错点：两边乘除负数时，忘记改变不等号方向，这是本章最高频错误。 两边同乘含字母式子时，不讨论字母正负直接变形。 知识点03 一元一次不等式及其解法 1. 只含一个未知数，未知数次数为1，分母不含未知数的不等式。 2. 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 3. 解集在数轴上表示：空心圈（不包含），实心点（包含）。 示例：解不等式：2x-1<5移项：2x<6，得x<3。 数轴表示：3 处画空心圈，向左画线。 易错点：移项忘记变号。去分母时，常数项漏乘公分母。数轴表示：含等号画实心，不含画空心，经常画反。 知识点04 一元一次不等式组及其解集 1. 几个同一未知数的一元一次不等式合在一起，组成不等式组。 2. 解集：各个不等式解集的公共部分。 3. 四种基本情况（设a<b）： - 同大取大：, x>b - 同小取小：：, x<a - 大小小大中间找：：, a<x<b\) - 大大小小找不到：：,无解 示例：解不等式组：：,解得：，解集：1<x2。 易错点：不会找公共部分，解集写反或写漏。 - 多个不等式求解时，某一个解错导致整体错误。 - 端点是否取等号判断错误。 知识点05 一元一次不等式组的整数解问题 先求出不等式组解集，再在解集中找出符合要求的整数（正整数、负整数、非负整数）。 示例：不等式组1<x3的整数解为：2，3。 易错点：漏端点值（如把3漏掉）。 把不满足解集的数也算进去。 知识点06 含参数的不等式（组）问题 已知不等式（组）的解集、有无解、整数解个数，反求参数范围。 示例：不等式组 有解，则a>2。 易错点：不判断等号是否成立，直接写范围。 - 数形结合能力弱，不会借助数轴分析参数位置。 知识点07 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式（组）→解→检验→作答。 2. 常见关键词：至少、至多、不超过、不少于、不足、不低于。 示例：用长度20cm的铁丝围矩形，长比宽多2cm，求宽至多多少。 设宽为x，则2(x+x+2)20。 易错点：把“至少”“不超过”等关键词翻译成不等号时出错。 - 实际问题中，人数、物品数必须为正整数，常忽略取整要求。 - 列不等式时方向写反。 知识点08 不等式与方程、函数的简单综合 结合方程解的正负、范围，转化为不等式求解。 示例：方程2x+k=5的解为正数，则x=>0 k<5。 易错点：方程解的表达式求错，导致不等式列错。 - 综合题中计算粗心，符号混乱。 题型一 不等式的基本性质 解｜题｜技｜巧 牢记加减同向不变号，乘除正数方向不变、负数方向反转；避免直接乘除含字母式子，先判断符号；利用性质将不等式逐步化简，注意解集端点与数轴表示。 【典例1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期中）若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 题型二 一元一次不等式（组）的定义 解｜题｜技｜巧 先分别解每个不等式，利用性质化为最简形式，再借助数轴找公共部分确定解集；注意“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的口诀，含等号时端点要取到。 【典例1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 题型三 解一元一次不等式（组） 解｜题｜技｜巧 去分母时注意乘正负对不等号影响，去括号移项合并同类项后系数化为1要分清乘除正负；组则先解各不等式再取交集，用数轴直观表示，勿遗漏端点是否包含。 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上． （2）解不等式组． 【典例2】（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）解下列不等式（组），并把（2）的解集表示在数轴上． (1) (2) 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）并把解表示在数轴上： (1) (2) 题型四 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 解｜题｜技｜巧 先根据错解结果反推原不等式结构，注意不等号方向是否被颠倒，结合解集端点与系数符号，设出原不等式并代入验证，常需分类讨论，逐步还原正确求解过程。 【典例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 解：．……第一步 ．……第二步 ．……第三步 ．……第四步 ．……第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的； ②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______； 任务二：请写出该不等式的正确解集为_______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【典例2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）计算： 下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空：①以上解题过程中第二步是依据 （运算律）进行变形的； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：解不等式组：． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）（1）解下列一元一次不等式组：． （2）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……·第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 题型五 根据一元一次不等式的解集求参数 解｜题｜技｜巧 先将参数视为常数解不等式，用含参数式子表示解集，再与已知解集对比，建立方程或不等式求参数；注意系数正负对不等号方向影响，必要时分类讨论。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式的解集为，则m的值为_______________． 【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则________． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）若不等式的解集是，则的取值范围是___________． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）关于x的不等式的解集如图所示，那么m的值为______． 题型六 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先解不等式组得含参数解集，再根据整数解个数或具体值确定边界，利用数轴分析端点范围，注意等号是否可取，常通过代入整数解建立不等式组精确限定参数。 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是______． 【典例2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是______． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是____________． 【变式2】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和______． 题型七 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先将参数视为常数解各不等式，在数轴上表示解集，根据有解、无解或解集确定边界位置，列关于参数的不等式组；注意端点是否重合时等号的取舍，分类讨论要周全。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【典例2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若不等式组的解为，则的取值范围是______． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 题型八 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 解｜题｜技｜巧 先解方程或方程组，用含参数式子表示未知数，再根据解满足的不等式条件代入，列出关于参数的不等式组求解，注意隐含条件如分母不为零、根非负等，确保解的实际意义。 【典例1】（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______． 【典例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是________； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是________． 题型九 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 解｜题｜技｜巧 将函数值大小转化为不等式，利用图象交点划分区间，数形结合看高低；已知自变量范围求函数值范围，或反之，常通过端点值代入列不等式，注意直线与坐标轴交点。 【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)点C的坐标为________，不等式的解集为________； 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 题型十 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 解｜题｜技｜巧 审题找准关键词“至少”“不超过”等建立不等关系，设未知数后列不等式或组，解出范围后结合实际意义取整数或符合题意的解，注意单位统一与结果检验。 【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期中）某花店有名员工，每名员工每天可包装A款花束8束或B款花束6束，每包装一束A款花束可获利润元，每包装一束B款花束可获利润元．在这名员工中，花店每天安排x名员工包装A款花束，其余员工包装B款花束． (1)写出该花店每天所获利润y元与x名员工之间的函数表达式； (2)某天花店所获利润为，则花店安排了多少名员工包装A款花束？ (3)如果要花店每天所获利润不低于元，至少应安排多少名员工去包装B款花束？ 【典例2】（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元； (2)若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？ 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元． (1)写出w与x之间的函数表达式． (2)若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ (3)实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个．在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大．求购进小号“巳升升”玩偶的数量． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·北京·期中）若，下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为________． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 5．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． (1)若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？ (2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）代数式的值大于1，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 4．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则______． 5．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是_______． 6．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出满足该不等式的负整数解． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $