专题01 三角形的证明及其应用（期中复习讲义，10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材北师大版

专题01 三角形的证明及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用三角形的内角和求角度 题型02 三角形的外角的性质求角 题型03 三角形内角和与外角和综合问题 题型04 多边形内角和与外角和问题 题型05 利用等腰（等边）三角形的性质求解 题型06 含30°的直角三角形性质的应用 题型07 利用垂直平分线与角平分线的性质求解 题型08 全等的性质和HL综合问题 题型09 垂直平分线与角平分线的综合问题 题型10 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形内角和与外角 1.掌握内角和定理及外角性质，能进行角度计算与简单证明；2.能结合平行线、角平分线解决角度问题。 1.基础必考点，以选择、填空为主；2.常与特殊三角形结合考查，外角性质是解题关键。 等腰三角形 1.掌握 “等边对等角”“三线合一” 性质及 “等角对等边” 判定；2. 能解决边长、角度计算与线段、角相等证明，处理分类讨论问题。 1.中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及；2.压轴题常结合全等三角形考查，“三线合一” 是高频易错点。 等边三角形 1.掌握等边三角形性质（三角均为60∘）及三种判定方法；2.能结合含30∘角直角三角形解决线段倍分问题。 1.重点考查判定与性质，常与直角三角形、四边形结合；2.60°角相关计算是必考内容。 线段的垂直平分线 1.掌握 “垂直平分线上点到两端点距离相等” 的性质与判定；2 能利用性质证明线段相等，理解三角形外心性质。 1.基础必考点，选择、填空考查性质应用；2.尺规作图常考，易与角平分线性质混淆。 角平分线 1.掌握 “角平分线上点到两边距离相等” 的性质与判定；2.能通过作垂线辅助线解决线段、角相等问题。 1.高频综合点，常与垂直平分线、全等三角形结合；2.辅助线 “作两边垂线” 是解题关键，易忽略 “角内部” 前提。 三角形证明综合应用 1.整合特殊三角形、全等三角形知识，规范证明步骤；2.掌握常见辅助线添加方法，解决综合几何问题。 1.中考压轴题核心，考查多知识点融合；2.侧重逻辑推理与几何直观，易因步骤不规范、辅助线思路不清失分。 知识点01 三角形内角和定理与外角 1. 三角形内角和等于180°； 2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ； 3. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 。 示例：在△ABC中，∠A=50°，∠ B=60°，则∠C=70°； 若外角为110°，且与∠B不相邻，则可求对应内角。 易错点：外角容易错用“相邻内角”计算 - 忽略“不相邻”这个关键条件 - 多个外角叠加时逻辑混乱 知识点02 等腰三角形的性质与判定 1. 性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合） 判定：等角对等边 示例：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， 则∠B=∠C=70°。 易错点： “三线合一”只对顶角、底边成立，乱用在底角上 - 已知边求边长时，忘记分类讨论（谁是腰、谁是底） - 忽略三角形三边关系，直接写解 知识点03 等边三角形的性质与判定 1. 性质：三边相等，三个内角都是60°，具有等腰三角形所有性质 2. 判定： 三边相等；三个角相等；有一个角是60°的等腰三角形 示例：等腰三角形有一个角为60°，则该三角形为等边三角形。 易错点：把“有一个60°角”直接当判定，忘记前提是等腰三角形 - 混淆等边三角形与等腰三角形的条件 知识点04 直角三角形的性质与判定 1. 两锐角互余； 2. 勾股定理：a2+b2=c2； 3. 斜边上的中线等于斜边的一半； 4. 30°角对的直角边等于斜边的一半； 5. 判定：有一个直角 / 两锐角互余 / 满足勾股逆定理。 示例：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，则斜边AB=6。 易错点：勾股定理只适用于直角三角形，乱用在任意三角形 - 分不清“直角边”“斜边”，代错公式 - 忽略“中线等于斜边一半”的前提是直角三角形 知识点05 线段的垂直平分线 1. 性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 2. 判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3. 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等 示例：点P在AB的垂直平分线上，则PA=PB。 易错点：与角平分线性质混淆 - 作图或证明时，漏写“垂直且平分” 知识点06 角平分线 1. 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 判定：在角内部，到两边距离相等的点在角平分线上 3. 三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等 示例：点P在∠AOB平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 易错点：忘记“距离是垂线段”，随便连线段就说相等 - 判定时忽略“在角的内部”这一条件 - 证明跳步，不写垂直直接用性质 知识点07 全等三角形在证明中的应用 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 用途：证线段相等、角相等、等腰/等边/直角三角形 示例：用 SAS 证明两三角形全等，从而得到对应边相等。 易错点：用“SSA”当判定定理 - 对应顶点、对应边写混乱 - 条件不足强行证明 知识点08 反证法（拓展） 知识点 先假设结论不成立，推出矛盾，从而原命题成立。 示例：证明“三角形中至少有两个锐角”，先假设至多一个锐角，推出内角和超180°。 易错点：假设写反 - 推导过程逻辑不严密。 题型一 利用三角形的内角和求角度 解｜题｜技｜巧 抓住“内角和180°”列方程：设未知角，用已知角表示其余角，或利用等腰、平行、折叠等条件导出等量关系，巧妙转化后代入求解，注意外角等于不相邻内角和。 【典例1】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为_____． 【典例2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【变式1】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 题型二 三角形的外角的性质求角 解｜题｜技｜巧 巧用“外角等于不相邻两内角和”转化已知角，将分散条件集中到一个三角形中；结合邻补角、角平分线或平行线，先求外角再倒推内角，或设未知数列方程快速求解。 【典例1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，则_______． 【典例2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，，是射线上的一个动点不与点重合，当______时，为直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，和是的外角，，，若，则___________． 【变式2】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，，的延长线经过点，交于，，，，则_______． 题型三 三角形内角和与外角和综合问题 解｜题｜技｜巧 内外角结合时，灵活选用“内角和180°”与“外角等于不相邻内角和”，将条件转化到同一三角形中，通过设未知数列方程，沟通内外角关系，注意外角和恒为360°这一隐含条件。 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，已知，分别是的高线，角平分线，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【典例2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 题型四 多边形内角和与外角和问题 解｜题｜技｜巧 抓住内角和公式(n-2)×180°与外角和恒为360°列方程，将边数、内角、外角相互转化，利用相邻内外角互补关系，设未知数求解，注意正多边形各角相等可简化计算。 【典例1】（25-26九年级上·重庆·期中）已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为______． 【典例2】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为______． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为______ 题型五 利用等腰（等边）三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 运用等边对等角、三线合一及等边三角形各角60°等性质，将边长相等转化为角相等，再结合内角和或外角定理，建立等量关系；常通过作底边中线或高线构造直角三角形求解。 【典例1】（24-25八年级上·广东珠海·期中）是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 【典例2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为______．（用含有的代数式表示） 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，是的平分线，，垂足为点，交的延长线于点，已知平分，．若，则的长为___________． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为_______．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 题型六 含30°的直角三角形性质的应用 解｜题｜技｜巧 抓住30°角所对直角边等于斜边一半这一核心，结合勾股定理与含60°角的等边三角形转化，遇30°角常作垂线构造直角三角形，利用边长比例关系快速求解。 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，，，________． 【典例2】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，，于点，若，则的长度为 __________ ． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是_______________． 题型七 利用垂直平分线与角平分线的性质求解 解｜题｜技｜巧 垂直平分线到线段两端等距，角平分线到角两边等距，由此转化边长或角相等，常结合等腰三角形及对称性，通过作垂线或连线构造全等，搭建等量关系列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，平分，，，，，垂足为D，则_______． 【典例2】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E．已知的长为，则的周长为________cm． 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，平分交于点，点关于的对称点恰好在的延长线上，连接，则______． 题型八 全等的性质和HL综合问题 解｜题｜技｜巧 先根据已知条件判定全等，再对应边角相等转移条件；HL专用于直角三角形，找斜边与一直角边相等。常需多次全等或结合勾股定理，通过等量代换与方程思想求解。 【典例1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，已知：是等边三角形，，，且． (1)求证： (2)判断的形状？并说明理由． 【典例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点， (1)求证：． (2)若，，求． 题型九 垂直平分线与角平分线的综合问题 解｜题｜技｜巧 同时出现时，分别用垂直平分线得等线段，角平分线得等角与到边等距，常连接对称点构造等腰或全等，将分散条件集中到同一三角形或直角三角形中，建立方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【典例2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图①，在中，，平分，于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为______； (3)如图②，在中，平分交于点，于点，，，，，． ①的面积为______； ②在射线上有一点，且，则的长为______． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期中）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 题型十 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 解｜题｜技｜巧 先由边等推角等或由角等推边等判定形状，再运用三线合一、对称性及等边三角形各角60°等性质转化条件，常作底边高线或中线，结合方程思想与全等三角形求解。 【典例1】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【典例2】（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点P在射线上运动，点Q在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点Q与点C重合，点P在点B右侧时， ①求证：； ②过点M作于H，且，求线段的长； (2)如图2，当点Q与点C不重合，点P在点B左侧，且时，求线段的最小值． 【变式2】（25-26八年级上·江西九江·期中）综合与实践：【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，点在线段上，连接，则和的数量关系：___________， 与所在直线的位置关系：___________． 【探索证明】（2）如图2，与都是等腰直角三角形，其中，，点在线段上，连接．请说明；；并探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】（3）如图3，是等腰直角三角形，其中，，为外一点，，连接，若，请求出的长． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，．为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为______． 5．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，直接写出线段，，的数量关系． 6．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，平分交于点D，，，则的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为20，，则的长为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级上·浙江台州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西朔州·期中）和按如图方式摆放，其中，，点为上一点，连接交于点，．若，，则的长为_______． 5．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______． 7．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的垂直平分线分别交于点F，G． (1)的周长为12，求线段的长； (2)若，求的度数． 8．（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用三角形的内角和求角度 题型02 三角形的外角的性质求角 题型03 三角形内角和与外角和综合问题 题型04 多边形内角和与外角和问题 题型05 利用等腰（等边）三角形的性质求解 题型06 含30°的直角三角形性质的应用 题型07 利用垂直平分线与角平分线的性质求解 题型08 全等的性质和HL综合问题 题型09 垂直平分线与角平分线的综合问题 题型10 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形内角和与外角 1.掌握内角和定理及外角性质，能进行角度计算与简单证明；2.能结合平行线、角平分线解决角度问题。 1.基础必考点，以选择、填空为主；2.常与特殊三角形结合考查，外角性质是解题关键。 等腰三角形 1.掌握 “等边对等角”“三线合一” 性质及 “等角对等边” 判定；2. 能解决边长、角度计算与线段、角相等证明，处理分类讨论问题。 1.中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及；2.压轴题常结合全等三角形考查，“三线合一” 是高频易错点。 等边三角形 1.掌握等边三角形性质（三角均为60∘）及三种判定方法；2.能结合含30∘角直角三角形解决线段倍分问题。 1.重点考查判定与性质，常与直角三角形、四边形结合；2.60°角相关计算是必考内容。 线段的垂直平分线 1.掌握 “垂直平分线上点到两端点距离相等” 的性质与判定；2 能利用性质证明线段相等，理解三角形外心性质。 1.基础必考点，选择、填空考查性质应用；2.尺规作图常考，易与角平分线性质混淆。 角平分线 1.掌握 “角平分线上点到两边距离相等” 的性质与判定；2.能通过作垂线辅助线解决线段、角相等问题。 1.高频综合点，常与垂直平分线、全等三角形结合；2.辅助线 “作两边垂线” 是解题关键，易忽略 “角内部” 前提。 三角形证明综合应用 1.整合特殊三角形、全等三角形知识，规范证明步骤；2.掌握常见辅助线添加方法，解决综合几何问题。 1.中考压轴题核心，考查多知识点融合；2.侧重逻辑推理与几何直观，易因步骤不规范、辅助线思路不清失分。 知识点01 三角形内角和定理与外角 1. 三角形内角和等于180°； 2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ； 3. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 。 示例：在△ABC中，∠A=50°，∠ B=60°，则∠C=70°； 若外角为110°，且与∠B不相邻，则可求对应内角。 易错点：外角容易错用“相邻内角”计算 - 忽略“不相邻”这个关键条件 - 多个外角叠加时逻辑混乱 知识点02 等腰三角形的性质与判定 1. 性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合） 判定：等角对等边 示例：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， 则∠B=∠C=70°。 易错点： “三线合一”只对顶角、底边成立，乱用在底角上 - 已知边求边长时，忘记分类讨论（谁是腰、谁是底） - 忽略三角形三边关系，直接写解 知识点03 等边三角形的性质与判定 1. 性质：三边相等，三个内角都是60°，具有等腰三角形所有性质 2. 判定： 三边相等；三个角相等；有一个角是60°的等腰三角形 示例：等腰三角形有一个角为60°，则该三角形为等边三角形。 易错点：把“有一个60°角”直接当判定，忘记前提是等腰三角形 - 混淆等边三角形与等腰三角形的条件 知识点04 直角三角形的性质与判定 1. 两锐角互余； 2. 勾股定理：a2+b2=c2； 3. 斜边上的中线等于斜边的一半； 4. 30°角对的直角边等于斜边的一半； 5. 判定：有一个直角 / 两锐角互余 / 满足勾股逆定理。 示例：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，则斜边AB=6。 易错点：勾股定理只适用于直角三角形，乱用在任意三角形 - 分不清“直角边”“斜边”，代错公式 - 忽略“中线等于斜边一半”的前提是直角三角形 知识点05 线段的垂直平分线 1. 性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 2. 判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3. 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等 示例：点P在AB的垂直平分线上，则PA=PB。 易错点：与角平分线性质混淆 - 作图或证明时，漏写“垂直且平分” 知识点06 角平分线 1. 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 判定：在角内部，到两边距离相等的点在角平分线上 3. 三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等 示例：点P在∠AOB平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 易错点：忘记“距离是垂线段”，随便连线段就说相等 - 判定时忽略“在角的内部”这一条件 - 证明跳步，不写垂直直接用性质 知识点07 全等三角形在证明中的应用 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 用途：证线段相等、角相等、等腰/等边/直角三角形 示例：用 SAS 证明两三角形全等，从而得到对应边相等。 易错点：用“SSA”当判定定理 - 对应顶点、对应边写混乱 - 条件不足强行证明 知识点08 反证法（拓展） 知识点 先假设结论不成立，推出矛盾，从而原命题成立。 示例：证明“三角形中至少有两个锐角”，先假设至多一个锐角，推出内角和超180°。 易错点：假设写反 - 推导过程逻辑不严密。 题型一 利用三角形的内角和求角度 解｜题｜技｜巧 抓住“内角和180°”列方程：设未知角，用已知角表示其余角，或利用等腰、平行、折叠等条件导出等量关系，巧妙转化后代入求解，注意外角等于不相邻内角和。 【典例1】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【典例2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【变式1】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【答案】 【分析】由平角的定义得到，结合，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 【答案】70 【分析】根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 题型二 三角形的外角的性质求角 解｜题｜技｜巧 巧用“外角等于不相邻两内角和”转化已知角，将分散条件集中到一个三角形中；结合邻补角、角平分线或平行线，先求外角再倒推内角，或设未知数列方程快速求解。 【典例1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，则_______． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解∶ ∵，， ∴． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，，是射线上的一个动点不与点重合，当______时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形外角的性质，分别令，，结合，利用邻补角的定义及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵为直角三角形，， ∴或， 当时， 则； 当时， 则； 综上，当或时，为直角三角形． 故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，和是的外角，，，若，则___________． 【答案】135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，则，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，，的延长线经过点，交于，，，，则_______． 【答案】/75度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质求出，根据平角定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， 又∵， ， 故答案为：． 题型三 三角形内角和与外角和综合问题 解｜题｜技｜巧 内外角结合时，灵活选用“内角和180°”与“外角等于不相邻内角和”，将条件转化到同一三角形中，通过设未知数列方程，沟通内外角关系，注意外角和恒为360°这一隐含条件。 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，已知，分别是的高线，角平分线，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的高的定义和角平分线的定义，三角形外角的定义和性质等知识. （1）根据三角形内角和定理求得即可； （2）根据三角形的高的定义和角平分线的定义得出,根据三角形外角的定义和性质得出，最后根据三角形内角和定理求得即可. 【详解】（1）解：∵，． ∴ （2）解：∵，分别是的高线，角平分线， ∴,, ∵是的一个外角， ∴, ∴. 【典例2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形外角的性质． （1）利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用垂直的定义结合三角形内角和定理求解即可； （3）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质可求出的度数，再利用邻补角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵是的高，， ∴； （3）解：∵是的角平分线，， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)的面积为28 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，根据垂线的定义得到，即可得到； （2）首先过C作于点H，于点G，再根据角平分线的性质得到，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到平分； （3）首先由（2）知，再根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过C作于点H，于点G， ∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为28． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中，设，，利用（1）中结论，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：．理由： 如图1中，连接并延长到， 因为，， 所以， 即； （2）解：①如图中， 由（1）知：， 因为，， 所以； ②如图中，设，， 由（1）可知，， ， ， ． 题型四 多边形内角和与外角和问题 解｜题｜技｜巧 抓住内角和公式(n-2)×180°与外角和恒为360°列方程，将边数、内角、外角相互转化，利用相邻内外角互补关系，设未知数求解，注意正多边形各角相等可简化计算。 【典例1】（25-26九年级上·重庆·期中）已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】10 【分析】本题考查多边形的内角和公式与外角和定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式（为边数）以及多边形外角和为． 设多边形的边数为，根据内角和是外角和的4倍，结合内角和公式与外角和定理建立方程求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，多边形外角和为， 由题意，内角和是外角和的4倍，可得方程：， 解得：， 故答案为：10． 【典例2】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为______． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形内角和为：， 根据图中密铺可得， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为______ 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 题型五 利用等腰（等边）三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 运用等边对等角、三线合一及等边三角形各角60°等性质，将边长相等转化为角相等，再结合内角和或外角定理，建立等量关系；常通过作底边中线或高线构造直角三角形求解。 【典例1】（24-25八年级上·广东珠海·期中）是等边三角形，是中线，延长到点，使．则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质． 由为等边三角形，可求出，由是等腰三角形求出，即可求出的度数． 【详解】解：为等边三角形，为中线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为______．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，由对称性质得到，，，在中，由三角形内角和定理得到，再由等腰三角形的判定与性质得到，设，由三角形外角性质求出，最后数形结合表示出，代入相关角度即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由对称性质可得，，， ， ， 则， 设， 在中，， ， 则， ． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，是的平分线，，垂足为点，交的延长线于点，已知平分，．若，则的长为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，证明是等腰三角形，根据三线合一得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为_______．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合角的倍数关系转化为边的关系． 先过作，利用勾股定理求出的长度，分点在点右侧、左侧两种情况，结合“等角对等边”构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：如图，过作，则， 在中，， 当点在点右侧时，即， 如图，在上截取， 此时， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当点在点左侧，即， 此时点与上述情况的点重合， ； 综上，的长为或． 故答案为：或． 题型六 含30°的直角三角形性质的应用 解｜题｜技｜巧 抓住30°角所对直角边等于斜边一半这一核心，结合勾股定理与含60°角的等边三角形转化，遇30°角常作垂线构造直角三角形，利用边长比例关系快速求解。 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，，，________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知． 【详解】解：在中，，，， 是所对的直角边， ． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，，于点，若，则的长度为 __________ ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半． 首先求出，，然后得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵为等边三角形，的周长是24， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为：4． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是_______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键． 分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 题型七 利用垂直平分线与角平分线的性质求解 解｜题｜技｜巧 垂直平分线到线段两端等距，角平分线到角两边等距，由此转化边长或角相等，常结合等腰三角形及对称性，通过作垂线或连线构造全等，搭建等量关系列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，平分，，，，，垂足为D，则_______． 【答案】2 【详解】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点E，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得． 【解答】解：如图，过点作于点，    ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， 则在中，， ∴． 故答案为：2． 【典例2】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E．已知的长为，则的周长为________cm． 【答案】10 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E ∴ ∴的周长 故答案为：10. 【变式2】（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，平分交于点，点关于的对称点恰好在的延长线上，连接，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查对称性质、角平分线、外角定理的相关知识，首先根据点关于的对称点是，得出；再结合平分和平角性质，算出；最后利用三角形外角性质，求得即． 【详解】解：连接交于点， ∵由点关于的对称点是， ∴ 垂直平分， ∴ ，， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：. 题型八 全等的性质和HL综合问题 解｜题｜技｜巧 先根据已知条件判定全等，再对应边角相等转移条件；HL专用于直角三角形，找斜边与一直角边相等。常需多次全等或结合勾股定理，通过等量代换与方程思想求解。 【典例1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，已知：是等边三角形，，，且． (1)求证： (2)判断的形状？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定和全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据证明，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质可得，结合（1）的结论，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【典例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 【变式1】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再由证明； （2）先证明是等边三角形，得，再证明，得，设，则，再求出，进而由角平分线的定义得，然后由直角三角形的性质得，进而列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 答：的度数为． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点， (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型九 垂直平分线与角平分线的综合问题 解｜题｜技｜巧 同时出现时，分别用垂直平分线得等线段，角平分线得等角与到边等距，常连接对称点构造等腰或全等，将分散条件集中到同一三角形或直角三角形中，建立方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识． （1）证明，得到，即可得到点、点都在的垂直平分线上，从而得到垂直平分； （2）先求出，根据三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为，， ∴， 即， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）过点作于，如图所示： ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图①，在中，，平分，于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为______； (3)如图②，在中，平分交于点，于点，，，，，． ①的面积为______； ②在射线上有一点，且，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①，②或 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，进而推出，即可求证； （2）由（1）可知，再根据可得，则由，即可求解； （3）根据的不同位置分类讨论求值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：①∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． ②当在线段上时， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在线段上时， ， ∴； 当在线段的延长线上时， ， ∴； 综上：的长为或， 故答案为：或． 　　　　 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期中）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②2 (3)4；3或6或9或18． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ∴，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点是内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点； 当点在内部时，记点到各边所在的直线距离为，如图3： ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图4： 设点到三边的距离为， 则由得， ∴， 同理， ， ， 点到直线的距离是； 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：，则， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，这样的点有4个，点D到直线l的距离是3或6或9或18． 故答案为：4；3或6或9或18． 题型十 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 解｜题｜技｜巧 先由边等推角等或由角等推边等判定形状，再运用三线合一、对称性及等边三角形各角60°等性质转化条件，常作底边高线或中线，结合方程思想与全等三角形求解。 【典例1】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解答 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【典例2】（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点P在射线上运动，点Q在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点Q与点C重合，点P在点B右侧时， ①求证：； ②过点M作于H，且，求线段的长； (2)如图2，当点Q与点C不重合，点P在点B左侧，且时，求线段的最小值． 【答案】(1)①见解析②2 (2)3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余、垂线段最短等知识，通过作辅助线构造全等三角形、确定点的运动路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． （1）①可证得，从而得出结果； ②根据题意证明，求出，根据三角函数计算出，即可得到答案； （2）作于D，作射线，作于E，，从而得出，从而得出，故点M在与成的定直线上运动，进一步得出结果． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ， 是等边三角形，点Q与点C重合， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； ②解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作于D，作射线，作于E， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点M在与成的定直线上运动， 当点M在E处时，最小， ， 最小值为3． 【变式2】（25-26八年级上·江西九江·期中）综合与实践：【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，点在线段上，连接，则和的数量关系：___________， 与所在直线的位置关系：___________． 【探索证明】（2）如图2，与都是等腰直角三角形，其中，，点在线段上，连接．请说明；；并探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】（3）如图3，是等腰直角三角形，其中，，为外一点，，连接，若，请求出的长． 【答案】（1）；；（2）见解析；见解析；见解析；（3）7 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）根据证明，得，，由勾股定理可求，，据此即可求解； （3）过点作，交的延长线于，连接．证明是等腰直角三角形，得出，得出，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图1，延长交于点M， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 故答案为：；； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交的延长线于，连接． ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又，， ， ， ， ． ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．根据三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，， ， ， 是直角三角形， 故A选项不符合题意； B选项：不能判定是直角三角形， 故B选项符合题意； C选项：，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故D选项不符合题意， 故选：B． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的外角的性质，即可求． 【详解】根据三角形外角的性质可得． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 【答案】 【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出． 【详解】解：作于交延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，．为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，理解坐标与图形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点，分类讨论是易错点．分两种情况讨论：当点在的右侧时和当点在的左侧时，构造三垂直求解即可． 【详解】解：为等腰直角三角形，且，   有以下两种情况：   ①当点在的右侧时，过点作轴，过点作于，过点作于，的延长线交轴于，如图所示：   则，   ，   ，   ，   为等腰直角三角形，且，   ，，   ，   ，   在和中，   ，，，   （），   ，，   ，，   点的坐标为；   ②当点在的左侧时，过点作轴，过点作于，交轴于，过点作于，如图2所示：   ，   ，   同理可证：（），   ，，   ，，   点的坐标为，   综上所述：点的坐标为或．   故答案为：或． 5．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)的长为 (2) 【分析】（1）由，求得，由角平分线的性质得，由，求得 （2）由于E，，得，由，根据“”证明，得，则，而，所以，则 【详解】（1）解：， ， 平分于E，， ， ， ， 解得， 的长为 （2）解：， 理由：于E，， ， 平分于E，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． 6．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得，再根据得，由此即可得出结论； （2）延长到M，使，连接，先证和全等得，再证明得，则，然后再根据含有角的直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：延长到M，使，连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，平分交于点D，，，则的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于点，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为20，，则的长为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据EF垂直平分得到，，根据，得到，计算即可． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，通过等边对等角找到相等角是解题关键． 先通过等边对等角，找到相等角，再通过三角形的外角性质找到角的等量关系，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： D． 4．（25-26八年级上·山西朔州·期中）和按如图方式摆放，其中，，点为上一点，连接交于点，．若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．连接，根据已知条件证明和都是等腰三角形，从而可得是的垂直平分线，得出，再由得到，从而得到，，推出，得到，由，，可推出，最后根据线段间的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 和都是等腰三角形， 是的垂直平分线，即， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______． 【答案】1或7 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质． 先通过等腰三角形三线合一求出相关线段的长度，再根据折叠的性质得到，，．由于当为直角三角形，且，因此只能，分点在上方或者下方来讨论即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． ，， ， ， 由折叠可得，，． 当为直角三角形时，只能， ∴， 当点在上方时： ，， ， ， ， ； 当点在下方时： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或7， 故答案为：1或7．　 7．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的垂直平分线分别交于点F，G． (1)的周长为12，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12； (2) 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用的周长为12得到，然后根据等线段代换可得到的长； （2）先利用等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理计算出，所以，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E．的垂直平分线分别交于点F，G， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 8．（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； （2）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $