专题(二)等腰三角形中的分类讨论 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题(二)等腰三角形中的分类讨论 类型 1 腰和底不确定时的分类讨论 1.[2025 四川内江期中]如图, 为等边三角形，AD 是BC边上的中线，点E 是AC 边上一点，若 是等腰三角形，求 的度数. 类型2 遇中线分周长时的分类讨论 2.[2025 河北唐山月考]在 中，AB=BC,中线AD 将这个三角形的周长分成9和12两部分，则AC 的长为 ( ) A.7 B.5 C.7或11 D.5或9 3.[2025安徽合肥月考]已知等腰三角形的周长为15 cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求这个等腰三角形的腰长. 类型3高的位置不确定时的分类讨论 4.[2025江苏南通开学]已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 求这个等腰三角形的顶角. 类型4 分类讨论计数 5.[2024北京东城区期末]如图,∠MAN=30°,点B 是射线AN上的定点，点P 是直线AM上的动点，要使△PAB 为等腰三角形，则满足条件的点P 共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.[2025江西南昌一模]如图，在平面直角坐标系xOy中，点A 的坐标为(2，0)，B，C两点分别在x轴、直线 上运动.若以AB为直角边的△ABC为等腰直角三角形，则点 C 的坐标为 类型5遇动点动线时的分类讨论 7.[2025湖南常德期中]如图, 点A 是 BO 延长线上的一点，OA=10cm,,动点 P 从点A 出发沿AB 以2cm/s的速度移动,动点 Q 从点 O 出发沿OC 以1 cm/s 的速度移动,如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当 时， 是等腰三角形. 8.[2025 甘肃武威开学]如图,在 中， 16cm,BC=12cm,AC=20cm,,P,Q 是 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿A→B 方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点 B 开始沿 B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒. (用含t的代数式表示). (2)当点Q 在边 BC 上运动,且. 是等腰三角形时，t的值是多少? (3)当点Q 在边 CA上运动,且 是以 BC 或BQ 为底边的等腰三角形时，t的值是多少? 1.【解】∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.∵ AD 是 BC 边上的中线, 是等腰三角形，∴分三种情况：①当AD=AE时,如图(1),则 ∠ADE=15°;②当 EA=ED 时,如图(2),则∠EAD=∠EDA=30°,∴∠EDC=∠ADC-∠EDA=60°;③当DA=DE时,点E在AC的延长线上,不符合题意.综上所述,∠EDC的度数是15°或60°. 2. D 【解析】设AB=BC=2x,AC=y.∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD=x.∵中线AD将△ABC的周长分成9和12两部分,∴当AB+BD=9,AC+CD=12时,2x+x=9,y+x=12,解得x=3,y=9,此时△ABC的三边长分别为6,6,9(符合题意),∴AC=9;当AB+BD=12,AC+CD=9时,2x+x=12,y+x=9,解得x=4,y=5,此时△ABC的三边长分别为8,8,5(符合题意),∴AC=5.综上所述,AC的长为9或5,故选D. 3.【解】设这个等腰三角形的腰长为 xcm，底边长为ycm. ①当x>y时，根据题意得 解得 ②当x<y时，根据题意得 解得 故这个等腰三角形的腰长是4cm或6cm. 4.【解】根据题意,分两种情况:①如图(1),AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=60°,∴∠A=30°; ②如图(2),AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=60°,∴∠BAD=30°,∴∠BAC=180°-30°=150°. 故这个等腰三角形的顶角为30°或150°. 5. D【解析】如图所示，满足条件的点 P 共有4个.故选 D. 6.(2,1)或(4,2)或 【解析】设点B(m,0).当∠BAC=90°,且点B 在点A 左侧时， 解得m=1,此时点C 的坐标为(2,1).当∠BAC=90°,且点 B 在点A右侧时， 解得m=3,此时点C的坐标为(2,1).当∠ABC=90°,且点 B 在点A 左侧时， 解得 此时点C的坐标为 当∠ABC=90°,且点 B 在点A 右侧时， 解得m=4，此时点C的坐标为(4，2).综上所述，点C的坐标为(2,1)或(4,2)或 7. 或10 【解析】当P 在OA上,PO=QO 时,△POQ 是等腰三角形,如图(1)所示.由题意得PO=AO-AP=(10-2t) cm,OQ=t cm,∴当PO=QO,即10-2t=t时, 当P在OB上,PO=QO 时,△POQ 是等腰三角形,如图(2)所示.由题意得 PO=AP-AO=(2t-10) cm,OQ=t cm,∴当PO=QO,即2t-10=t时,t=10.故当 或 10时,△POQ 是等腰三角形. 8.【解】(1)∵点P 从点A 开始沿A→B 方向运动,且速度为每秒1 cm, ∴AP=t cm. ∵AB=16 cm,∴ BP=AB-PA=(16-t) cm.故答案为(16-t). (2)由题意得 BP=BQ. ∵BP=(16-t) cm,BQ=2t cm,∴16-t=2t,解得 ∴ t 的值为 (3)依题意,得CQ=BQ或CQ=CB. ①当CQ=BQ时,如图(1)所示,∠C=∠CBQ. ∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°, ∴∠ABQ=∠A,∴BQ=AQ,∴CQ=AQ= 4C=10cm, ∴BC+CQ=12+10=22(cm),∴t=22÷2=11. ②当CQ=CB=12cm时,如图(2)所示,CB+CQ=12+12=24(cm),∴t=24÷2=12. 综上所述，当点Q 在边 CA上运动，且△BCQ 是以 BC 或BQ 为底边的等腰三角形时，t的值为11或12. 3 学科网（北京）股份有限公司 $