8.3 列联表与独立性检验 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．如图，2×2列联表中a，b的值分别为(　　) X Y 合计 Y1 Y2 X1 c a e X2 23 d 48 合计 b 78 121 A．54，43 B．53，43 C．53，42 D．54，42 解析：选B.由2×2列联表，可得b＋78＝121，则b＝43，又由解得a＝53. 2．观察下列选项中的等高堆积条形图，其中最有把握认为两个分类变量X，Y之间没有关系的是(　　) 解析：选B.根据题意，在等高堆积条形图中，当x1，x2所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量X，Y之间有关系，B选项中，x1，x2所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量X，Y之间没有关系． 3．假设有两个分类变量X与Y，其2×2列联表如下： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 10 18 28 X＝1 m 26 m＋26 合计 10＋m 44 m＋54 若X与Y之间没有影响，则m的值约为(　　) A．8 B．9 C．14 D．19 解析：选C.若X与Y之间没有影响，则有＝，解得m≈14.4，所以当m约为14时，X与Y之间没有影响． 4．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的(　　) A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．1倍 解析：选C.把公式χ2＝中所有值变为原来的2倍， 得(χ2)′＝ ＝ ＝2·＝2χ2， 故χ2的值也变为原来的2倍．故选C. 5．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表： 单位：人 年龄 饮食习惯 合计 偏爱蔬菜 偏爱肉类 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 则推断其亲属的饮食习惯与年龄有关联所依据的小概率值最小为(　　) A．0.005 B．0.05 C．0.01 D．0.001 解析：选A.因为χ2＝＝10＞7.879＝x0.005，所以依据α＝0.005的独立性检验，可以认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选A. 6．(多选)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，某机构进行了动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物A 疾病B 合计 患病 未患病 服用 10 45 55 未服用 20 30 50 合计 30 75 105 由上述数据得出的结论中正确的有(　　) A．依据α＝0.05的独立性检验，认为药物有效 B．依据α＝0.1的独立性检验，认为药物无效 C．依据α＝0.01的独立性检验，认为药物有效 D．依据α＝0.005的独立性检验，认为药物无效 解析：选AD.依题意得χ2＝≈6.109. 因为6.109＞3.841＝x0.05， 所以依据α＝0.05的独立性检验，认为药物有效，A正确； 因为6.109＞2.706＝x0.1， 所以依据α＝0.1的独立性检验，认为药物有效，B错误； 因为6.109＜6.635＝x0.01， 所以依据α＝0.01的独立性检验，认为药物无效，C错误； 因为6.109＜7.879＝x0.005， 所以依据α＝0.005的独立性检验，认为药物无效，D正确． 7．下表是不完整的2×2列联表，其中3a＝c，b＝2d，则a＝________． y1 y2 合计 x1 a b 55 x2 c d 合计 120 解析：由题意得 又3a＝c，b＝2d， 所以解得a＝15. 答案：15 8．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示： 单位：人 年龄 节目 合计 文艺节目 新闻节目 20至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 合计 55 45 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众与年龄________．(填“有关”或“无关”) 解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目， 即＝，＝，两者相差较大， 所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的． 答案：有关 9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表： 　　　专业 性别　　　 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝≈4.844＞3.841＝x0.05，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么此推断犯错误的可能性最大为________． 解析：因为χ2＞3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，此推断犯错误的可能性不超过5%. 答案：5% 10．(13分)某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中，有37人患呼吸道疾病(以下简称患病)，183人未患呼吸道疾病(以下简称未患病)；不吸烟的295人中，有21人患病，274人未患病． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(6分) (2)由列联表数据直观判断患呼吸道疾病与吸烟是否有关．(7分) 解：(1)由题意，得2×2列联表如下： 单位：人 吸烟情况 呼吸道疾病 合计 患病 未患病 吸烟 37 183 220 不吸烟 21 274 295 合计 58 457 515 (2)由列联表中的数据，可以粗略地估计出在吸烟的人中，有≈16.82%的人患病； 在不吸烟的人中，有≈7.12%的人患病． 因此，从直观上可以得到结论：吸烟者中患病的比例与不吸烟者中患病的比例相比有很大的差异， 故可以认为患呼吸道疾病与吸烟有关． 11．(多选)某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下2×2列联表．经计算得χ2≈4.762，则下列说法正确的是(　　) 单位：人 性别 对食堂服务的评价 合计 不满意 满意 男 20 30 50 女 10 40 50 合计 30 70 100 A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B．调查结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为男、女生对食堂服务的评价有差异 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为男、女生对食堂服务的评价有差异 解析：选AC.对于A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为＝，故A正确；对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为＝＞，故B错误；对于C，D，因为χ2≈4.762＞3.841＝x0.05，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为男、女生对食堂服务的评价有差异，故C正确，D错误．故选AC. 12．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是读书还是健身，得到的数据如表： 单位：名 性别 休闲方式 合计 读书 健身 男 31 30 55 女 8 26 34 合计 32 57 89 在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关联． 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 解析：由题表中的数据得χ2＝≈3.689>2.706＝x0.1，因此，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与休闲方式有关联． 答案：0.1 13．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表： 单位：人 年龄 是否喜欢西班牙队 合计 不喜欢 喜欢 高于40岁 p q 50 不高于40岁 15 35 50 合计 a b 100 若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为，则在犯错误的概率不超过________的前提下认为年龄与是否喜欢西班牙队有关． 附：χ2＝. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解析：设“从调查的所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A， 由已知得P(A)＝＝， 所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60. χ2＝≈4.167＞3.841＝x0.05， 依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为年龄与是否喜欢西班牙队有关，此推断犯错误的概率不超过5%. 答案：5% 14．(13分)有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用．某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1 000名骑行人员中，年龄低于40岁的占60%，记录其年龄和是否佩戴安全头盔情况，得到2×2列联表如下表所示； 单位：人 年龄 安全头盔 合计 佩戴 未佩戴 低于40岁 540 不低于40岁 合计 880 1 000 (1)完成上面的列联表；(6分) (2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为佩戴安全头盔与年龄有关？(7分) 解：(1)年龄低于40岁的有1 000×60%＝600(人)，完成2×2列联表如表所示． 单位：人 年龄 安全头盔 合计 佩戴 未佩戴 低于40岁 540 60 600 不低于40岁 340 60 400 合计 880 120 1 000 (2)零假设为H0：佩戴安全头盔与年龄无关，由公式得 χ2＝≈5.682＜6.635＝x0.01， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为佩戴安全头盔与年龄无关． 15．(15分)某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩得到如下数据： 单位：人 性别 竞赛成绩 合计 优秀 非优秀 男 10 女 30 50 合计 100 (1)请将上面的2×2列联表补充完整，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为竞赛成绩是否优秀与性别有关；(7分) (2)求出等高堆积条形图需要的数据，并画出等高堆积条形图(按“优秀”和“非优秀”所对应阴影画线)，利用等高堆积条形图判断竞赛成绩是否优秀与性别是否有关系．(8分) 解：(1)根据题表中已知数据，可得完整的2×2列联表如下表所示： 单位：人 性别 竞赛成绩 合计 优秀 非优秀 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 零假设为H0：竞赛成绩是否优秀与性别无关． 由表中数据可知χ2＝≈4.762＜6.635＝x0.01，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为竞赛成绩是否优秀与性别无关． (2)根据(1)中2×2列联表数据可知，样本中男生竞赛成绩优秀的频率为＝0.2，男生竞赛成绩非优秀的频率为＝0.8，女生竞赛成绩优秀的频率为＝0.4，女生竞赛成绩非优秀的频率为＝0.6，则可画出等高堆积条形图如图所示， 根据等高堆积条形图，比较图中两个用阴影所画矩形的高度可以发现，女生样本中成绩优秀的频率明显大于男生样本中成绩优秀的频率，因此可以认为竞赛成绩是否优秀与性别有关． 学科网（北京）股份有限公司 $