8.3 培优课 成对数据统计分析中的综合问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

培优课　成对数据统计分析中的综合问题 1.为了解某地区2025年6～10月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据. 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码x 1 2 3 4 5 销售总额y/亿元 4 6 10 15 20 （1）求y关于x的经验回归方程； （2）该机构随机调查了该地区200位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有60人，女性有90人，购买电动汽车的男性有40人，女性有10人，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为购买电动汽车与性别有关. 附：xiyi＝206，＝55，在利用最小二乘法求得的经验回归方程＝x＋中，＝，＝－. 2.某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 序号x 1 2 3 4 5 6 7 小明成功次数（y） 16 20 20 25 30 36 a 小红成功次数（z） 16 22 25 26 32 35 35 （1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率； （2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号x的经验回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值. 参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582；12＋22＋32＋42＋52＋62＝91. 3.为了调查某地区成年人血液的某项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下数据.根据医学相关知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常. 男性：5　7　9　8　18　19　21　23　27　29　25 32　34　35　37　38　41　42　47　54 女性：13　14　21　25　25　28　31　32　34　35 38　40　43　47　48　49　52　55　56　57 （1）依据样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关联； （2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4.某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2 000个线上外卖订单，其中好评订单有1 600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，能否认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联； 更换厨师前后 订单评价 合计 好评 非好评 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为η，求当事件“η＝r”的概率最大时r的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　成对数据统计分析中的综合问题 1.解：（1）由题可知＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3， ＝×（4＋6＋10＋15＋20）＝11， 所以＝＝＝4.1，＝11－4.1×3＝－1.3， 故所求的经验回归方程为＝4.1x－1.3. （2）由题可得2×2列联表如下. 性别 购车种类 合计 非电动汽车 电动汽车 男 60 40 100 女 90 10 100 合计 150 50 200 零假设为H0：购买电动汽车与性别无关，根据表中数据，得χ2＝＝＝24＞6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购买电动汽车与性别有关. 2.解：（1）因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－36＋1＝20种情况， yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数， 又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，yi＋a≥zi， 即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得a≥44， 又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z， 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有55－44＋1＝12种情况， 所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为＝. （2）由题设可知：xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582， ＝＝， ＝＝， 所以＝＝，＝－＝－×＝11， 所以成功次数y关于序号x的经验回归方程为＝x＋11. 当x＝7时，＝×7＋11＝38， 估计小明第7天成功次数a的值为38. 3.解：（1）由题中数据可得2×2列联表为 性别 血液指标 合计 正常 偏高 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计 28 12 40 χ2＝≈1.905＜6.635＝x0.01，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关联. （2）由样本数据可知，男性此项血液指标正常的概率为，女性此项血液指标正常的概率为.抽取的人中此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0，1，2，3，4. P（X＝0）＝（1－）2×（1－）2＝， P（X＝1）＝××（1－）×（1－）2＋（1－）2×××（1－）＝， P（X＝2）＝（）2×（1－）2＋××（1－）×××（1－）＋（1－）2×（）2＝， P（X＝3）＝××（1－）×（）2＋（）2×××（1－）＝， P（X＝4）＝（）2×（）2＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝， 因此此项血液指标为正常的人数X的数学期望为. 4.解：（1）2×2列联表如下： 更换厨师前后 订单评价 合计 好评 非好评 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1 600 400 2 000 合计 2 200 600 2 800 零假设为H0：该餐馆订单的好评率与更换厨师无关联. 根据列联表中数据，经计算得到χ2＝≈8.485＞6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有8×＝6个，非好评有2个， 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数ξ的可能值有1，2，3， 则P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 数学期望E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝. （3）依题意，更换厨师后好评率为＝0.8， 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则η～B（100，0.8）， 于是P（η＝r）＝0.8r×0.2100－r，r≤100，r∈N， 则＝＝， 由＞1，解得r＜79，而r∈N，则当0≤r≤79时，P（η＝r）单调递增； 由≤1，解得r≥79，则当r≥80时，P（η＝r）单调递减， 所以使事件“η＝r”的概率最大时r的值为80. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $