8.2 第1课时 回归分析及非线性回归模型 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能为(　　) A．＝1.5x＋2 B．＝－1.5x＋2 C．＝1.5x－2 D．＝－1.5x－2 解析：选B.设经验回归方程为＝x＋，由题中散点图可知变量x，y之间负相关，经验回归直线在y轴上的截距为正数，所以＜0，＞0，因此方程可能为＝－1.5x＋2. 2．用最小二乘法得到一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)的经验回归方程为＝2x＋3，若i＝30，则i＝(　　) A．11 B．13 C．63 D．78 解析：选D.依题意，因为i＝30，所以＝＝5，因为经验回归直线＝2x＋3一定过点(，)，所以＝2＋3＝2×5＋3＝13，所以i＝6×13＝78.故选D. 3．下列有关一元线性回归分析的命题正确的是(　　) A．若经验回归方程为＝5＋2x，则变量y与x负相关 B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C．在经验回归方程＝2－0.5x中，若x增加1个单位，则平均减少0.5个单位 D．任一组数据都有线性经验回归方程 解析：选C.A错误，2＞0，所以变量y与x正相关；B错误，确定经验回归直线的依据是随机误差最小，并不是经过的样本点最多；C正确，－0.5的含义就是x每增加1个单位，就平均减少0.5个单位；D错误，只有线性相关的数据才有线性经验回归方程． 4．已知某种商品的广告费投入x与销售额y之间有如下对应数据．根据表中数据可得经验回归方程＝x＋中＝7，则当投入为6时，销售额的预测值为(　　) x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 A.50 B．60 C．57 D．85 解析：选C.由题意可得，＝＝5，＝＝50，因为经验回归直线＝x＋过样本点的中心(5，50)，且＝7，则50＝7×5＋，解得＝15，可知＝7x＋15.令x＝6，可得＝7×6＋15＝57，即此时销售额的预测值为57. 5．已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为＝x＋，并计算出变量x ，y之间的样本相关系数为－0.96，i＝－8，i＝－15，则经验回归直线经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 解析：选B.由样本相关系数为－0.96，知x，y负相关，所以＜0，又i＝－8，i＝－15，求得样本点的中心为(－0.8，－1.5)，由于(－0.8，－1.5)在经验回归直线上，且点(－0.8，－1.5)在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限． 6．(多选)已知在最小二乘法原理下，具有线性相关关系的变量x，y之间的经验回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法错误的是(　　) x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间呈正相关关系 B．当x＝20时，＝3.7 C．m＝4.7 D．该经验回归直线必过点(9，4) 解析：选ABC.对于A，由x与y的经验回归方程可知，＝－0.7＜0，所以变量x，y之间呈负相关关系，故A错误；对于B，当x＝20时，＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B错误；对于C，由题表数据可知＝9，＝＝，由点(，)必在经验回归直线上，得＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C错误；对于D，因为m＝5，所以＝＝4，所以经验回归直线必过点(9，4)，故D正确．故选ABC. 7．已知一个经验回归方程为＝1.5x＋45，x∈{1，5，7，13，19}，则＝________． 解析：因为＝＝9，且＝1.5x＋45，所以＝1.5×9＋45＝58.5. 答案：58.5 8．某市大力发展科技创新，其科技创新投入资金x(单位：百万元)与回报资金y(单位：百万元)满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，已知投入200万元时，回报450万元，且每多投入100万元，回报资金多130万元．若2026年该市计划科技创新投入350万元，则预估回报资金为________万元． 解析：由题可知投入资金x与回报资金y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，而当x＝2时，y＝4.5，故4.5＝2b＋a＋e.又每多投入100万元，回报资金多130万元，故b＝1.3，所以a＋e＝1.9.所以y＝1.3x＋1.9.当x＝3.5时，y＝6.45.故预估回报资金为645万元． 答案：645 9．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据(个数x，加工时间为y)为：(10，62)，(20，a)，(30，75)，(40，81)，(50，89).若用最小二乘法求得其经验回归方程＝0.67x＋54.9，则a的值为________． 解析：根据题意，可得， ＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30， ＝×(62＋75＋81＋89＋a)＝61.4＋. 又经验回归直线经过点(，)， 故可得61.4＋＝0.67×30＋54.9， 解得a＝68. 答案：68 10．(13分)某种产品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)具有较强的线性相关性，且两者之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 28 36 52 56 78 (1)求y关于x的经验回归方程＝＋x；(8分) (2)根据(1)中的经验回归方程，预测当广告费支出为10万元时，销售额是多少？(5分) 参考公式：＝，参考数据：＝145，iyi＝1 420. 解：(1)根据题表数据，得 ＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5， ＝×(28＋36＋52＋56＋78)＝50， 所以＝＝＝8.5，＝－　＝50－8.5×5＝7.5， 所以y关于x的经验回归方程为＝8.5x＋7.5. (2)当x＝10时，＝8.5×10＋7.5＝92.5，所以当广告费支出为10万元时，预测销售额是92.5万元． 11．在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如表数据： x 4 m 8 10 12 y 1 2 3 5 6 由表中数据求得y关于x的经验回归方程为＝0.65x－1.8，则(4，1)，(m，2)，(8，3)这三个样本点中与经验回归直线的竖直距离最近的点是(　　) A．(4，1) B．(m，2) C．(8，3) D．(4，1)和(m，2) 解析：选B.由题表中的数据，得＝×(4＋m＋8＋10＋12)＝，＝×(1＋2＋3＋5＋6)＝3.4，将(，3.4)代入经验回归方程，得3.4＝0.65×－1.8，解得m＝6.所以当x＝4时，＝0.65×4－1.8＝0.8，|1－0.8|＝0.2；当x＝6时，＝0.65×6－1.8＝2.1，|2－2.1|＝0.1；当x＝8时，＝0.65×8－1.8＝3.4，|3－3.4|＝0.4. 综上，(4，1)，(m，2)，(8，3)三个样本点中，与经验回归直线竖直距离最近的点是(m，2). 12．(多选)已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次试验．试验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的经验回归方程为＝3x＋4.5，且＝4，又增加了2次试验，得到2个数据点(2，11)，(6，22)，根据这10个数据点重新求得经验回归方程为＝mx＋n(其中m，n∈R)，则(　　) A．变量y与x正相关 B．m＜3 C．n＜4.5 D．经验回归直线＝mx＋n经过点(4，16.5) 解析：选ABD.设A(2，11)，B(6，22)，由kAB＝＜3，而8个数据点的经验回归方程中＝3， 所以0＜m＜3，A，B正确； 而10个数据点的′＝＝4， ＝＝16.5， 所以经验回归直线＝mx＋n过定点(4，16.5)， 则16.5＝4m＋n，n＝16.5－4m， 0＜m＜3，0＜4m＜12，－12＜－4m＜0， 4．5＜16.5－4m＜16.5， 即4.5＜n＜16.5.所以D正确，C错误． 13．(多选)已知具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，由此得到的经验回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　) A．经验回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点 B．若＝i，＝i则经验回归直线＝x＋一定经过点(，) C．若点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在直线x－y＋2＝0上，则变量x，y的样本相关系数r＝1 D．变量x增加一个单位时，变量y平均增加或减少||个单位 解析：选BCD.对于A，B，经验回归直线＝x＋一定经过样本点的中心(，)，而(，)并不一定是(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个，故A错误，B正确；对于C，所有样本点都在直线上，故样本相关系数为1，故C正确；对于D，根据经验回归方程可知，变量x增加一个单位时，变量y平均增加或减少||个单位，故D正确．故选BCD. 14．(13分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如表所示． 年份x 2021 2022 2023 2024 2025 储蓄存款额 y/千亿元 5 6 7 8 10 为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 020，z＝y－5，得到下表． t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程；(6分) (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的经验回归方程．(7分) 解：(1)作散点图，直观看z与t具有线性相关关系． ＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， ＝×(0＋1＋2＋3＋5)＝2.2，且izi＝45，＝55， 所以＝＝＝1.2， ＝－＝2.2－1.2×3＝－1.4. 所以z关于t的经验回归方程为＝1.2t－1.4. (2)将z＝y－5和t＝x－2 020代入＝1.2t－1.4， 得－5＝1.2(x－2 020)－1.4， 即＝1.2x－2 420.4. 故y关于x的经验回归方程为＝1.2x－2 420.4.　 学科网（北京）股份有限公司 $