8.2 第2课时 回归分析及非线性回归模型 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．一组数据(xi，yi)，经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模型的残差平方和(yi－i)2的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合效果最好的模型是(　　) A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④ 解析：选C.残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最小，所以模型③的拟合效果最好．故选C. 2．关于线性回归的描述，下列说法错误的是(　　) A．经验回归直线一定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好 C．决定系数R2越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，决定系数R2越小 解析：选D.对于A，经验回归直线一定经过样本点的中心，故A正确；对于B，残差平方和越小，拟合效果越好，故B正确；对于C，决定系数R2越接近1，拟合效果越好，故C正确；对于D，残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数R2越接近1，故D错误．故选D. 3．某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知y关于x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为(　　) A．10万元 B．14万元 C．23万元 D．24万元 解析：选A.当x＝5时，销售额的预测值为＝5×6.5＋17.5＝50，残差为60－50＝10(万元).故选A. 4．已知解释变量x与响应变量y在散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，其样本相关系数为r，决定系数为R2，则(　　) A．r＝0 B．R2＝1 C．r＝1 D．R2＝0 解析：选B.因为|r|越接近于1，线性相关程度越强，决定系数R2越接近于1，拟合效果越好，对于本题散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，即线性相关程度最强，拟合效果最好，所以|r|＝1，R2＝1，故A，C，D错误，B正确．故选B. 5．一种高产新品种水稻单株穗粒数y和土壤锌含量x有关，现整理并收集了6组试验数据，y(单位：粒)与土壤锌含量x(单位：mg/m3)得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)，令zi＝ln yi，并将(xi，zi)绘制成如图所示的散点图．若用方程y＝aebx对y与x的关系进行拟合，则(　　) A．＞1，＞0 B．＞1，＜0 C．0＜＜1，＞0 D．0＜＜1，＜0 解析：选A.因为y＝aebx，ln y＝bx＋ln a，令z＝ln y，则z与x的经验回归方程为＝x＋ln ，根据题图可知z与x正相关，因此＞0，又经验回归直线的纵截距大于0，即ln >0，得>1，所以>1，＞0.故选A. 6．(多选)已知两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得样本点的中心为(，)，经验回归方程为＝x＋，决定系数为R2；若将数据调整为(x1，y1＋1)，(x2，y2＋1)，…，(xn，yn＋1)，求得新的样本点的中心为(′，′)，经验回归方程为′＝′x＋′，决定系数为R′2，则以下说法正确的有(　　) 附：＝，＝－，R2＝1－　 A．＝′ B．＝′ C．＜′ D．R2＜R′2 解析：选BC.对于A，′＝ ＝＋1＝＋1，A错误；对于B，的计算中，xi数据不变，yi－＝(yi＋1)－′也不变，所以不变，B正确；对于C，′＝′－＝＋1－＝＋1＞，C正确；对于D，由于R2＝1－，yi变成了yi＋1，′＝＋1，′i＝′xi＋′＝xi＋＋1＝i＋1，从而yi－i，yi－都不变，所以R2＝R′2，D错误．故选BC. 7．为了对x，y两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型分别计算出甲模型的决定系数为R＝0.910，乙模型的决定系数为R＝0.901，则________(填“甲”或“乙”)模型的拟合效果更好． 解析：决定系数越接近1，表明拟合效果越好，因为R＝0.910＞R＝0.901， 所以甲模型的拟合效果更好． 答案：甲 8．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，其经验回归方程为＝－3.2x＋，且＝10，＝8，则相应于点(10.5，7)的残差为________． 解析：因为经验回归直线＝－3.2x＋过样本点的中心(10，8)，所以8＝－3.2×10＋ ，所以＝40， 所以经验回归方程为＝－3.2x＋40.当x＝10.5时，＝－3.2×10.5＋40＝6.4， 所以残差为7－6.4＝0.6. 答案：0.6 9．为了解某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm2)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y＝cekx(c＞0)去拟合x与y的关系，设z＝ln y，x与z的数据如表格所示： x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 得到x与z的经验回归方程＝1.2x＋，则c＝________． 解析：由已知可得，＝＝5，＝＝4，代入得4＝1.2×5＋，解得＝－2，所以＝1.2x－2，由z＝ln y，得ln y＝1.2x－2，所以y＝e1.2x－2＝e－2·e1.2x，则c＝e－2. 答案：e－2 10．共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①y＝bx＋a；②y＝b＋a分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期 x(天) 1 2 3 4 5 用户y(人) 13 22 45 55 68 模型①的残差值 －1.1 －2.8 －1.2 －1.9 0.4 模型②的残差值 0.3 －5.4 －3.2 －1.6 3.8 (1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； (2)求出(1)中所选模型的经验回归方程． (参考公式：＝，＝－　，参考数据：＝55，iyi＝752) 解：(1)应该选择模型①. 模型①的残差值的绝对值之和为1.1＋2.8＋1.2＋1.9＋0.4＝7.4， 模型②的残差值的绝对值之和为0.3＋5.4＋3.2＋1.6＋3.8＝14.3，因为7.4＜14.3，所以模型①的拟合效果较好，应该选模型①. (2)由题可知，＝＝3，＝＝40.6， iyi＝752，＝55. 所以＝＝ ＝＝14.3， ＝－＝40.6－14.3×3＝－2.3，所以y关于x的经验回归方程为＝14.3x－2.3. 11．用模型y＝menx＋2(m>0)拟合一组数据时，设z＝ln y，将其变换后得到回归方程为＝3x＋2，则n－m＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选D.因为y＝menx＋2(m>0)， 所以ln y＝nx＋2＋ln m. 又z＝ln y，＝3x＋2， 所以解得 所以n－m＝2.故选D. 12．(多选)某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示． 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 根据表中的数据可得经验回归方程＝2.27x＋，R2≈0.96，以下说法正确的是(　　) A．第三个样本点对应的残差3＝－1 B．在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C．该模型拟合效果较好 D．用该经验回归方程可以很准确地预测广告支出费用为20万元时的销售量 解析：选AC.对于A，由题意得 ＝＝4， ＝＝8，代入＝2.27x＋，得＝－1.08，故＝2.27x－1.08，所以3＝7.0－(2.27×4.0－1.08)＝－1，故A项正确； 对于B，C，由于R2≈0.96，所以该回归模型的拟合效果比较好，故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，故B项错误，C项正确； 对于D，由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告支出费用20万元远大于表格中广告支出费用值，故用该经验回归方程预测广告支出费用为20万元时的销售量不一定准确，故D项错误．故选AC. 13．为了反映城市的人口数量x与就业压力指数y之间的变量关系，研究人员选择使用非线性回归模型y＝e－·ex对所测数据进行拟合，并设z＝ln y，得到的数据如表所示，则c＝________． x 4 6 8 10 z 2 c 5 6 解析：＝＝7，＝＝，依题意，z＝ln y＝ln (e－·ex)＝x－，而经验回归方程＝x－过点(7，)，故＝－，解得c＝3. 答案：3 14．某市春节期间7家超市的广告支出费用xi(单位：万元)和销售额yi(单位：万元)数据如下表： 超市 A B C D E F G 广告支出费用xi 1 2 4 6 11 13 19 销售额yi 19 32 40 44 52 53 54 (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程＝－0.17x2＋5x＋20，经过计算二次函数回归模型和线性回归模型的决定系数R2分别约为0.92和0.75，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告支出费用为3万元时的销售额． 参考数据及公式：＝8，＝42，iyi＝2 794，＝708，＝，＝－. 解：(1)由参考数据知＝8，＝42， iyi＝2 794，＝708， 则＝＝＝1.7， 所以＝－＝42－1.7×8＝28.4， 所以y关于x的经验回归方程是＝1.7x＋28.4. (2)因为二次函数回归模型和线性回归模型的决定系数R2分别约为0.92和0.75，且0.92＞0.75，所以二次函数回归模型更合适，用此模型，当x＝3时，＝－0.17×32＋5×3＋20＝33.47，由此预测A超市广告支出费用为3万元时的销售额为33.47万元． 15．据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得经验回归方程为＝1.5x＋0.5，且＝3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则(　　) A．去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快 B．去除两个误差较大的样本点后，新的经验回归直线一定过点(3，4) C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的经验回归方程为＝1.2x＋1.4 D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点(2，3.75)的残差为0.05 解析：选C.对于A，因为1.5＞1.2，所以去除两个误差较大的样本点后y的估计值增加速度变慢，故A错误；对于B，当＝3时，＝3×1.5＋0.5＝5，设去掉两个误差较大的样本点后，横坐标的平均值为′，纵坐标的平均值为′，则′＝＝＝3，′＝＝＝5，故B错误；对于C，因为去除两个误差较大的样本点后，重新求得回归直线l的斜率为1.2，所以5＝3×1.2＋，解得＝1.4，所以去除两个误差较大的样本点后的经验回归方程为＝1.2x＋1.4，故C正确；对于D，因为＝1.2×2＋1.4＝3.8，所以y－＝3.75－3.8＝－0.05，故D错误. 故选C. 16．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y(单位：cm)与父亲身高x(单位：cm)之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表： 父亲身高x 160 170 175 185 190 儿子身高y 170 174 175 180 186 (1)根据表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并利用经验回归方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？ (2)记i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1，2，…，n)，其中yi为观测值，i为预测值，i为对应(xi，yi)的残差．求(1)中儿子身高的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由． 参考数据及公式：i＝880，＝155 450，i＝885，iyi＝156 045.＝，＝－　. 解：(1)由题意得＝＝176，＝＝177， ＝＝ ＝＝0.5， ＝－＝177－0.5×176＝89，所以经验回归方程为＝0.5x＋89， 令0.5x＋89－x＞0，得x＜178，即当父亲身高低于178 cm时，儿子比父亲高； 令0.5x＋89－x＜0，得x＞178，即当父亲身高高于178 cm时，儿子比父亲矮， 可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归到全种群平均高度的趋势． (2)由＝0.5x＋89可得1＝169，2＝174，3＝176.5，4＝181.5，5＝184， 所以i＝885，又i＝885， 所以i＝(yi－i)＝i－i＝0， 结论：对任意具有线性相关关系的变量i＝0，证明：i＝(yi－i)＝(yi－xi－) ＝i－i－n＝n－n－n(－)＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $