第7章 阶段小测(四)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

阶段小测(四) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．同时抛掷2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值是(　　) A． B． C．1 D． 解析：选B.设“同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次，2枚硬币均正面向上”为事件A，则P(A)＝，易知X～B(3，)，所以E(X)＝3×＝. 2．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2).若P(1≤X≤3)＝0.2，则P(X<－1||X|>1)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为P(1≤X≤3)＝0.2，所以P(X<－1)＝P(X>3)＝0.5－0.2＝0.3，又P(|X|>1)＝P(X>1)＋P(X<－1)＝0.5＋0.3＝0.8，所以P(X<－1||X|>1)＝＝＝. 3．已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则p＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为随机变量X～B(6，p)， 所以E(X)＝6p. 因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝， 所以μ＝2，即E(Y)＝2. 又E(X)＝E(Y)， 所以6p＝2，即p＝. 4．某班级准备进行抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，每人从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖，其余情况不获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好有3名同学获奖的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.每次抽奖有C＝10种情况，获奖的情况有(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(3，4，5)，共4种， 所以获奖的概率P＝. 设5名同学中获奖的人数为X， 则X～B(5，)，所以P(X＝3)＝C×()3×()2＝. 5．袋中有大小、质地完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且Y＝2X＋1，则E(Y)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．8 解析：选C.X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 则E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝2， 所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5. 6．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.8 ℃的人时，显示体温X(单位：℃)服从正态分布N(36.8，)，若X的值在[36.6，37.0]内的概率约为0.954 5，则n的值约为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选D.因为显示体温X服从正态分布N(36.8，). 所以μ＝36.8，σ2＝. 因为X的值在[36.6，37.0]内的概率约为0.954 5， 且P(|X－μ| ≤2σ)≈0.954 5， 所以P(36.8－2σ≤X≤36.8＋2σ)≈0.954 5， 所以P(36.8－2σ≤X≤36.8＋2σ)＝P(36.8－0.2≤X≤36.8＋0.2)，则2σ＝0.2，解得σ＝0.1， 所以＝0.12，解得n＝6. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别近似服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 解析：选ABC.由题图可知，甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg，乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg，σ1<σ2，则A，B，C正确，D不正确． 8．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数．若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　) A．P(|Z－6|≤1)＝ B．E(X)>E(Y) C．D(X)＝D(Y) D．E(Z)＝ 解析：选ACD.依题意，X，Y服从超几何分布，且X＋Y＝4，Z＝2X＋Y＝X＋4，故P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)且Z的取值为4，5，6，7，8. 从而P(|Z－6|≤1)＝P(5≤Z≤7) ＝1－P(Z＝4)－P(Z＝8) ＝1－P(X＝0)－P(X＝4) ＝1－－＝，故A正确； E(X)＝4×＝，E(Y)＝4－E(X)＝，D(X)＝D(4－Y)＝D(Y)，故B错误，C正确；E(Z)＝E(X)＋4＝，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．某同学上学路上要经过3个红绿灯，在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是，且在各红绿灯处是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为________． 解析：因为该同学经过每个红绿灯时是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验， 即X～B(3，)， 则X的方差D(X)＝3××(1－)＝， 所以Y的方差D(Y)＝32D(X)＝9×＝6， 所以Y的标准差为＝. 答案： 10．小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若P(X>0)＝3P(X≤0)，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为________． 解析：由P(X>0)＝3P(X≤0)，及P(X>0)＋P(X≤0)＝1，可知该产品每年为正收益的概率P(X>0)＝，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为C×()2×(1－)2＝. 答案： 11．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k(k∈N*)包食品，并测量其质量(单位：g).根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量Y服从正态分布N(μ，σ2).假设生产状态正常，记X表示每天抽取的k包食品中质量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的包数，若X的数学期望E(X)>0.05，则k的最小值为____________． 解析：因为P(μ－3σ ≤Y≤μ＋3σ)≈0.997 3， 所以在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率约为1－0.997 3＝0.002 7， 则X近似服从二项分布B(k，0.002 7)， 故E(X)≈0.002 7k. 因为E(X)>0.05，所以0.002 7k>0.05， 解得k>≈18.52. 因为k∈N*，所以k的最小值为19. 答案：19 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上单调递增，在(80，＋∞)上单调递减，且P(72≤X≤88)≈0.682 7. (1)求参数μ，σ的值；(6分) (2)求P(64≤X<72).(7分) 解：(1)因为正态曲线在(－∞，80)上单调递增，在(80，＋∞)上单调递减，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P(72≤X≤88)≈0.682 7.结合P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，可知σ＝8. (2)因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(64≤X≤96)≈0.954 5，又因为P(X<64)＝P(X>96)，所以P(X<64)≈×(1－0.954 5)＝0.022 75，所以P(X≥64)≈0.977 25.又P(X<72)＝×[1－P(72≤X≤88)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，所以P(X≥72)≈0.841 35，P(64≤X<72)＝P(X≥64)－P(X≥72)≈0.135 9. 13．(本小题满分15分)甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道进行测试，只有选中的4道题均答对才能入选． (1)求甲恰有2道题答对的概率；(4分) (2)求乙答对的题目数X的分布列；(5分) (3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小．(6分) 解：(1)因为在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，记Y为甲答对题目的题目数，故Y服从二项分布B(4，)， 所以选中的4道题中甲恰有2道题答对的概率P(Y＝2)＝C()2()2＝. (2)由题意知，乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，且X服从超几何分布，故 P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 2 3 4 P (3)由(2)知，乙平均答对的题目数 E(X)＝2×＋3×＋4×＝. 因为甲答对的题目数Y～B(4，)， 所以甲平均答对的题目数 E(Y)＝4×＝. 因为E(X)>E(Y)， 所以甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数． 14．(本小题满分15分)为选拔培养对象，某高校在暑假期间从某市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动． (1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的学员中来自该中学的人数，求ξ的分布列和均值；(6分) (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2，且p1＋p2＝，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得胜利的轮数的均值不小于6，那么理论上至少要参加多少轮答题？(9分) 解：(1)由题意可知ξ的可能取值有0，1，2，3， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝(或E(ξ)＝＝). (2)甲、乙所在小组在每轮答题中取得胜利的概率为 P＝Cp1(1－p1)Cp＋CpCp2(1－p2)＋CpCp ＝2p1p2(p1＋p2)－3(p1p2)2 ＝p1p2－3(p1p2)2， 由0<p1≤1，0<p2≤1，p1＋p2＝， 得≤p1≤1， 则p1p2＝p1＝p1－p ＝－＋， 因此p1p2∈[，]， 令t＝p1p2∈[，]，则P＝t－3t2＝－32＋，于是当t＝时，Pmax＝. 要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值. 设甲、乙所在小组在n(n∈N*)轮答题中取得胜利的轮数为X， 则X～B，E(X)＝n， 由E(X)≥6，得n≥6，解得n≥10.125. 而n∈N*，则nmin＝11，所以理论上至少要参加11轮答题． 学科网（北京）股份有限公司 $