7.5 正态分布 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．已知随机变量X～N(0，1)，若P(X≤－1.96)＝0.025，则P(|X|＜1.96)＝(　　) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 解析：选C.因为随机变量X～N(0，1)，所以μ＝0，所以相应的正态曲线关于y轴对称，所以P(|X|＜1.96)＝1－2P(X≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950. 2．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(ξ≤4)＝，P(ξ＞3)＝，则P(3＜ξ＜5)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为P(ξ≤4)＝，所以μ＝4. 又因为P(ξ＞3)＝， 所以P(3＜ξ≤4)＝－＝， 所以 P(3＜ξ＜5)＝2P(3＜ξ≤4)＝. 故选D. 3．函数f(x)＝e－(x∈R，μ＜0)的图象可能为(　　) 解析：选A.函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，且μ＜0，对称轴在y轴左侧；正态曲线位于x轴上方． 4．设随机变量X的正态密度函数是P(x)＝·e，x∈R，则E(2X＋1)的值是(　　) A．5 B．9 C．3 D．2 解析：选C.因为P(x)＝e，x∈R，所以μ＝1，则E(X)＝1， 故E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3. 5．每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X(单位：克)近似服从正态分布N(0，σ2)，若P(X≥2)＝0.02，则X在(－2，2)内的食盐袋数大约为(　　) A．4 B．98 C．50 D．96 解析：选D.由题意知，X～N(0，σ2)，P(X≥2)＝0.02， 则P(0＜X＜2)＝0.48，所以P(－2＜X＜2)＝0.96， 所以X在(－2，2)内的食盐袋数大约为100×0.96＝96. 6．(多选)若X～N(1，σ2)，其正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的有(　　) A.－P(X<0) B．－P(X>2) C．P(X≤2)－P(X<0) D．－P(1≤X≤2) 解析：选ABC.由题意可知，正态密度曲线关于直线x＝1对称．对于A，由对称性可得题图中阴影部分面积为P(0≤X≤1)＝P(X≤1)－P(X<0)＝－P(X<0)，A正确；对于B，由对称性可得P(X<0)＝P(X>2)，所以题图中阴影部分面积为P(0≤X≤1)＝－P(X<0)＝－P(X>2)，B正确；对于C，由对称性可得P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，所以题图中阴影部分面积为P(0≤X≤1)＝[P(X≤2)－P(X<0)]＝P(X≤2)－P(X<0)，C正确；对于D，由对称性可得－P(1≤X≤2)＝P(X>2)＝P(X<0)，D错误． 7．设随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，若P(ξ＜a－5)＝P(ξ＞a＋1)，则实数a＝________． 解析：由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，可得μ＝4，σ2＝3，又P(ξ＜a－5)＝P(ξ＞a＋1)，所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6. 答案：6 8．已知随机变量X服从正态分布N(100，4)，若P(m≤X≤104)≈0.135 9，则m＝________． 解析：因为随机变量X服从正态分布N(100，4)， 所以P(98≤X≤102)≈0.682 7， P(96≤X≤104)≈0.954 5， 所以P(102≤X≤104)≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， 又P(m≤X≤104)≈0.135 9， 所以m＝102. 答案：102 9．某城市每年6月份的平均气温t近似服从正态分布N(28，σ2)，若P(28≤t≤32)＝0.2，则可估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为________． 解析：因为每年6月份的平均气温t近似服从正态分布N(28，σ2)，所以μ＝28，因为P(28≤t≤32)＝0.2，所以P(24≤t≤28)＝0.2，所以P(t<24)＝0.5－0.2＝0.3，所以估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为0.3×30＝9. 答案：9 10．(13分)在一次测试中，测试结果X服从正态分布N(2，σ2)，若X在区间(0，2)内取值的概率为0.2. (1)求X在区间(0，4)内取值的概率；(6分) (2)试求P(X≥4).(7分) 解：(1)由X～N(2，σ2)，知正态曲线的对称轴方程为x＝2，作出正态曲线的大致图象如图所示． 因为P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)， 所以P(0＜X＜4)＝2P(0＜X＜2)＝2×0.2＝0.4. (2)P(X≥4)＝×[1－P(0＜X＜4)]＝×(1－0.4)＝0.3. 11．(多选)李明每天早上7：00从家里出发去学校，有时坐公交，有时骑自行车．他分别记录了50次公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X(单位：min)和骑自行车用时Y(单位：min)都服从正态分布，则(　　) A．P(X＞32)＞P(Y＞32) B．P(X≤36)＝P(Y≤36) C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车 解析：选BCD.对于A，由条件可知X～N(30，62)，Y～N(34，22)，根据正态曲线的对称性可知P(Y＞32)＞0.5＞P(X＞32)，故A错误；对于B，P(X≤36)＝P(X≤μ1＋σ1)，P(Y≤36)＝P(Y≤μ2＋σ2)，所以P(X≤36)＝P(Y≤36)，故B正确；对于C，P(X≤34)＞0.5＝P(Y≤34)，即P(X≤34)＞P(Y≤34)，所以若计划7：34前到校，应选择坐公交车，故C正确；对于D，P(X≤40)＜P(X≤42)＝P(X≤μ1＋2σ1)，P(Y≤40)＝P(Y≤μ2＋3σ2)，即P(X≤40)＜P(Y≤40)，所以若计划7：40前到校，应选择骑自行车，故D正确． 12．已知某正态密度函数为f(x)＝e－，x∈R，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2，3]内的概率约为________．(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5) 解析：由正态密度函数知μ＝1，σ＝1，所以正态密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值． 根据正态密度曲线的特点可知1为f(x)的极大值点． 由X～N(1，1)，知P(2<X≤3)＝[P(－1≤X≤3)－P(0≤X≤2)] ＝[P(1－2×1≤X≤1＋2×1)－P(1－1≤X≤1＋1)] ≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. 答案：1　0.135 9 13．某同学对重力加速度做n次试验，若以每次试验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差Δn～N(0，)，为使误差Δn在[－0.5，0.5]内的概率不小于0.682 7，至少要做________次试验．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7) 解析：因为P(－0.5 ≤Δn≤0.5)≥0.682 7＝P(－≤Δn≤)，所以0.5≥，所以n≥6，至少要做6次试验． 答案：6 14．(13分)已知公司职工年均收入X服从正态分布，其正态密度曲线如图所示． (1)写出该公司职工年均收入的正态密度函数的解析式；(6分) (2)求该公司职工年均收入在[80 000，85 000]内的人数所占的百分比(精确到0.01%).(7分) 解：设该公司职工年均收入X～N(μ，σ2)， 由题图可知μ＝80 000，σ＝5 000. (1)该公司职工年均收入的正态密度函数解析式为 f(x)＝e－＝e－. (2)因为P(75 000≤X≤85 000) ＝P(80 000－5 000≤X≤80 000＋5 000) ≈0.682 7， 所以P(80 000≤X≤85 000)＝P(75 000≤X≤85 000)≈0.341 4. 即该公司职工年均收入在[80 000，85 000]内的人数所占的百分比约为34.14%. 15．(15分)已知某地区运动员50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名运动员的个人平均成绩，得到如下的频数分布表： X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 (1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；(7分) (2)从该地区随机抽取1名运动员，求此运动员的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率．(8分) 参考数据：≈0.9.若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)由题意，得随机抽取的100名运动员的个人平均成绩X的分布列为(用频率估计概率) X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7， 方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8. 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8. (2)由(1)知X～N(7，0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9， 因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， 所以P(7.9<X≤8.8)＝×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， 即从该地区随机抽取1名运动员，此运动员的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]的概率约为0.135 9. 学科网（北京）股份有限公司 $