7.4.2 超几何分布 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．一个袋中有6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个白球，编号为7，8，9，10.这些球除颜色、编号外完全相同．现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的变量是(　　) A．X表示取出的最大号码 B．X表示取出的最小号码 C．若取出的球的编号之和大于20则记1分，否则记0分，X表示取出的4个球的得分 D．X表示取出的黑球个数 解析：选D.对于A，B，最大(小)号码的取值取决于具体抽到的球的编号，不涉及两类物体的抽取数量特征，不服从超几何分布；对于C，得分规则仅与“编号之和”这一数值特征相关，不涉及从两类物体中计数某类次数，不服从超几何分布；对于D，由超几何分布的概念知D符合题意． 2．若一个不透明的袋子中有100个除颜色外其余完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从(　　) A．二项分布，且E(X)＝8 B．两点分布，且E(X)＝12 C．超几何分布，且E(X)＝8 D．超几何分布，且E(X)＝12 解析：选C.由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以X服从超几何分布，其中N＝100，M＝40，n＝20，所以E(X)＝＝＝8. 3．如图是我国古代珠算算具——算盘，每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，梁下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的颗数为X，则P(X≤1)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.方法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 方法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝. 4．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任选2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有(　　) A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 解析：选C.设语文课本有n(n≥2)本， 则数学课本有(7－n)本， 则2本都是语文课本的概率是＝， 所以n2－n－12＝0， 解得n＝4或n＝－3(舍去)， 所以语文课本有4本． 5．已知6件产品中有2件次品、4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则D(X)＝(　　) A. 1 B．2 C． D． 解析：选C.根据题意可知，X的可能取值为1，2，3，且服从超几何分布， 故P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. 6．(多选)在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝2)＝ B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D．E(X)＝ 解析：选ACD.随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X＝k)＝，k∈N，k≤4，因此随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A正确，D正确． 7．袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得________分． 解析：用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，易知X服从超几何分布，且N＝10，M＝3，n＝5，于是E(X)＝＝＝1.5，即平均得1.5分． 答案：1.5 8．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为________． 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧的三个四等分点， 从A，B，C，D，E这5个点任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为C＝10. 其中直角三角形有：△ABC，△ABD，△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7， 由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 因此，所求概率为P＝＝. 答案： 9．在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名替补队员组成代表队参加比赛．如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为____________． 解析：将主力队员上场的人数记为X，则X>5－X，X>，则所求概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋＝. 答案： 10．(13分)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生、4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，用X表示其中的男生人数．求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4， 所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 方法一(直接法)：P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝. 方法二(间接法)：由分布列的性质，得 P(X≥2)＝1－P(X＜2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)] ＝1－(＋)＝. 11．河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数， 若任取的3个数中有0个阴数， 则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数， 则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率P＝＋＝. 12．(多选)为调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在某市中小学中随机抽取了10所学校，其中各校了解这个项目的人数如图所示． 若从这10所学校中随机选取2所学校进行冰壶项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则(　　) A．X的所有可能取值为1，2 B．P(X＝0)＝ C．P(X＝1)＝ D．E(X)＝ 解析：选BC.易知X的所有可能取值为0，1，2，故A错误； 又了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 因此E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故B，C正确，D错误． 13．已知口袋中装有质地、大小相同的n(n＞1)个红球和2个黄球，从中任取2个球(取到每个球都是等可能的)，用随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列如下表所示，则X的数学期望为________． X 0 1 2 P a b 解析：方法一：由P(X＝1)＝＝＝，解得n＝2或 n＝1(舍去)，则a＝P(X＝0)＝＝，b＝P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 方法二：由方法一知n＝2，又因为X服从超几何分布，n＝2，M＝2，N＝4，所以E(X)＝＝1. 答案：1 14．(13分)一个不透明的袋子中有7个质地、大小相同的球，其中有2个红球、3个黄球、2个蓝球，从中任取3个球． (1)求红、黄、蓝三种颜色的球各取1个的概率；(4分) (2)设X表示取到的蓝球的个数，求X的分布列和数学期望．(9分) 解：(1)P＝＝. (2)X服从超几何分布，且N＝7，M＝2，n＝3，X可能的取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝＋＝(或E(X)＝n·＝3×＝). 15．(15分)为提高生态环境的保护意识，某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人，从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛． (1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生中文、理科都有”，求事件A发生的概率；(5分) (2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列及方差．(10分) 解：(1)由题意可得，抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，所以P(A)＝＝. (2)X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝(或E(X)＝＝).所以D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $