7.4.1 二项分布 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次伯努利试验中发生的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.设事件A在1次伯努利试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，p＝. 2．若ξ～B，且η＝2ξ＋3，则D(η)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意知D(ξ)＝4××＝. 因为η＝2ξ＋3， 所以D(η)＝4×D(ξ)＝4×＝. 3．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次伯努利试验中发生的概率p的取值范围是(　　) A．[0.4，1) B．(0，0.4] C．(0，0.6] D．[0.6，1] 解析：选A.由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，又0＜p＜1，所以0.4≤p＜1. 4．已知随机变量X1，X2，且X1～B(n1，)，X2～B(n2，)，则“n1＞n2”是“D(X1)＞D(X2)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为X1～B(n1，)， X2～B(n2，)， 所以D(X1)＝n1··(1－)＝n1，D(X2)＝n2··(1－)＝n2. 若n1＞n2，则D(X1)＞D(X2)； 若D(X1)＞D(X2)，则n1＞n2. 所以“n1＞n2”是“D(X1)＞D(X2)”的充要条件． 5．(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是(　　) A．P1＝P2＝P3＝P4 B．P3＝2P1 C．P1＋P2＋P3＋P4＝1 D．P4＝3P2 解析：选CD.由题意知，P1＝＝， P2＝＝， P3＝C××＝， P4＝C××＝， 所以P1＝P2＜P3＝P4，且P3＝3P1，则A，B不正确； 易知P1＋P2＋P3＋P4＝1，P4＝3P2，则C，D正确． 6．(多选)为了防止受到污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的有(　　) A．该产品能销售的概率为 B．若Y表示一箱产品中可以销售的件数，则Y～B(4，) C．若Y表示一箱产品中可以销售的件数，则P(Y＝3)＝ D．P(X＝－80)＝ 解析：选ABD.对于A，该产品能销售的概率为(1－)×(1－)＝，故A正确；对于B，由A可得每件产品能销售的概率为，一箱中有4件产品，Y表示一箱产品中可以销售的件数，则Y～B(4，)，故B正确；对于C，由题意P(Y＝3)＝C×()3×＝，故C不正确；对于D，由题意，X＝－80，即4件产品中有2件能销售，有2件不能销售，所以P(X＝－80)＝C×()2×()2＝，故D正确． 7．已知随机变量X～B(n，p)(0<p<1)，若E(X)＝2D(X)，则p＝________． 解析：因为X～B(n，p)， 则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)， 所以np＝2np(1－p)，解得p＝. 答案： 8．从装有大小、质地完全相同的m个白球、n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若E(X)＝1，则n＝________，P(X≤1)＝________． 解析：由题可得X服从二项分布， 即X～B(3，)，因为E(X)＝3×＝1， 所以m＝2，n＝1，所以X～B(3，)， P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C×()0×()3＋C×()1×()2＝. 答案：1　 9．甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为1－p，0＜p＜1，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取五局三胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行6局比赛，设甲胜的局数为X，则D(X)＝________． 解析：当比赛采取五局三胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为Cp2(1－p)p＝，解得p＝，即每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，由题意知，X～B(6，)，所以D(X)＝6××＝. 答案： 10．(13分)潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中，每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节的任意连续三天内： (1)恰有一天出现大潮的概率；(6分) (2)至少有两天出现大潮的概率．(7分) 解：设事件A＝“出现大潮”，则P(A)＝，用X表示任意连续三天内事件A发生的次数， 则X～B(3，). (1)恰有一天出现大潮等价于X＝1，于是 P(X＝1)＝C××(1－)2＝. (2)至少有两天出现大潮等价于X≥2，于是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×()2×(1－)＋C×()3＝. 11．(多选)某届国际羽联世界锦标赛单打决赛在甲、乙两人之间进行，比赛采用五局三胜制．按以往比赛经验，每一局甲获胜的概率为p(0＜p＜1)，则下列说法正确的是(　　) A．当p＝时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率 B．当p＝时，打三局结束比赛的概率最大 C．当p＝时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率 D．当p＝时，打三局结束比赛的概率最大 解析：选ACD.当p＝时，每一局甲输的概率为， 打四局结束比赛的概率为C()2×＋C·()2×＝， 打五局结束比赛的概率为C()2×()2＝， 打三局结束比赛的概率为()3＋()3＝，所以打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率，且打四局结束比赛的概率最大，故A正确，B错误； 当p＝时，每一局甲输的概率为， 打四局结束比赛的概率为C()2×＋C·()2×＝， 打五局结束比赛的概率为C()2×()2＝. 打三局结束比赛的概率为()3＋()3＝， 所以打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率，且打三局结束比赛的概率最大，故C，D正确． 12．口袋里放有除颜色外其余均相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{an}满足：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为________． 解析：由题意知每次摸球结果互不影响，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 由S7＝3可知，7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，设 7次摸球中，摸到红球的次数为X，则X～B(7，)，所以P(S7＝3)＝P(X＝2)＝C×()2×()5＝. 答案： 13．某超市推出了一项优惠活动，顾客在本店消费每满100元，有一次抽奖的机会，顾客每次抽奖是否中奖相互独立．某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p(0＜p＜1).记中奖2次的概率为f(p)，则f(p)取得最大值时，p的值为________． 解析：由题意知，f(p)＝Cp2(1－p)＝－3p3＋3p2(0＜p＜1)，则f′(p)＝－9p(p－).当p∈(0，)时，f′(p)＞0，则f(p)在区间(0，)上单调递增；当p∈(，1)时，f′(p)＜0，则f(p)在区间(，1)上单调递减．所以当p＝时，f(p)取得最大值． 答案： 14．(13分)纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，它的制作过程大致分为三个环节：第一环节削伞架，第二环节裱伞面，第三环节绘画刷油．已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才能被认为是一件优秀作品． (1)求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；(6分) (2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，求X的分布列．(7分) 解：(1)由题意可知，制作一件优秀作品的概率为××＝， 所以该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率P＝C××()2＝. (2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 且X～B(4，)， P(X＝0)＝C()4＝，P(X＝1)＝C××()3＝， P(X＝2)＝C()2()2＝，P(X＝3)＝C()3×＝，P(X＝4)＝C＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 15．(15分)一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次6点获得15分，出现三次6点获得120分，没有出现6点则扣除12分(即获得－12分). (1)设每盘游戏中出现6点的次数为X，求X的分布列、均值E(X)及方差D(X)；(4分) (2)玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；(5分) (3)玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．(6分) 解：(1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3.每次抛掷骰子，出现6点的概率均为. 即X服从二项分布，且X～B(3，). P(X＝0)＝C×(1－)3＝， P(X＝1)＝C××(1－)2＝， P(X＝2)＝C×()2×(1－)＝， P(X＝3)＝C×()3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝， D(X)＝3××(1－)＝. (2)设“第i盘游戏获得15分”为事件Ai(i＝1，2)，则P(A1)＝P(A2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝. 所以“两盘游戏中至少有一盘获得15分”的概率为1－P(1)P(2)＝. 因此，玩两盘游戏，至少有一盘获得15分的概率为. (3)设每盘游戏得分为Y，则Y的所有可能取值为－12，15，120. 由(1)知，Y的分布列为 Y －12 15 120 P Y的均值E(Y)＝－12×＋15×＋120×＝－. 这表明，得分Y的均值为负值． 因此， 多次游戏之后分数减少的可能性更大． 学科网（北京）股份有限公司 $