7.3.2 离散型随机变量的方差 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．若离散型随机变量X的标准差＝8，则随机变量Y＝2X－1的标准差为(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 解析：选C．＝＝＝2＝2×8＝16.故选C． 2．若X为离散型随机变量，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．由D(aX＋b)＝a2D(X)＝4D(X)，解得a＝±2，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的必要不充分条件．故选B． 3．小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则D(X)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由题意可知，X的可能取值为－2，0，2， 因为P(X＝－2)＝×＝， P(X＝0)＝C××＝， P(X＝2)＝×＝， 所以E(X)＝－2×＋0×＋2×＝， 故D(X)＝(－2－)2×＋(0－)2×＋(2－)2×＝.故选B． 4．已知投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)的分布列分别如下表： 甲种股票收益分布列 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙种股票收益分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是(　　) A．投资甲种股票的均值收益大 B．投资乙种股票的均值收益大 C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高 解析：选C．甲种股票收益的均值E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1， 方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29， 乙种股票收益的均值E(Y)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1， 方差D(Y)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49， 所以E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资甲种、乙种股票的均值收益相等，投资甲种股票的风险比投资乙种股票的风险高．故选C． 5．(多选)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P a 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝3X＋1，则(　　) A．E(X)＝1.6 B．E(Y)＝5.8 C．D(X)＝1.84 D．D(Y)＝7.56 解析：选ABD．由分布列的性质知a＋0.4＋0.3＋0.2＝1，则a＝0.1. 对于A，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.3＋3×0.2＝1.6，故A正确； 对于B，E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝3×1.6＋1＝5.8，故B正确； 对于C，D(X)＝0.1×1.62＋0.4×0.62＋0.3×0.42＋0.2×1.42＝0.84，故C错误； 对于D，D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝9×0.84＝7.56，故D正确． 6．(多选)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则(　　) A．ξ的所有可能取值是1，2，3 B．P(ξ＝1)＝ C．E(ξ)＝1 D．D(ξ)＝1 解析：选BCD．ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ＝1)＝＝；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1. D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.故选BCD． 7．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 且E(X)＝1.1，则D(X)＝________． 解析：由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.又E(X)＝0×＋1×＋x·＝1.1， 解得x＝2. 故D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49. 答案：0.49 8．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)＝________． 解析：X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， 则D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝. 答案： 9．已知盒子中装有n(n>1，n∈N*)个一等品和2个二等品，从中任取2个产品(取到每个产品都是等可能的)，用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如下表所示，则D(X)＝________． X 0 1 2 P a b 解析：由题中分布列可得a＋b＝， P(X＝1)＝＝， 所以n＝2或n＝1(舍去)，又P(X＝0)＝＝＝a，所以b＝，进而可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，故D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 答案： 10．(13分)已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差；(7分) (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y).(6分) 解：(1)因为E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， 所以D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384. (2)因为Y＝2η－E(η)， 所以D(Y)＝D(2η－E(η)) ＝22D(η)＝4×384＝1 536. 11．已知随机变量ξ，η的分布列如下： ξ －2 0 2 P 　　 η 3 5 7 P 下列选项中正确的是(　　) A．E(ξ)＝E(η) B．D(ξ)>D(η) C．当p增大时，E(ξ)增大 D．当p增大时，D(η)减小 解析：选C．对于A，由题意知，E(ξ)＝－2×＋0×＋2×＝－1， E(η)＝3×＋5×＋7×＝＋4，故A错误； 对于B，因为D(ξ)＝×(＋1)2＋×(－1)2＋×(－3)2＝－p2＋2p＋1， D(η)＝×(＋1)2＋×(－1)2＋×(－3)2＝－p2＋2p＋1， 即D(ξ)＝D(η)，故B错误； 对于C，E(ξ)＝－1，所以当p增大时，E(ξ)也增大，故C正确； 对于D，由D(η)＝－p2＋2p＋1＝－(p－4)2＋5， 因为0≤p≤1，所以当p增大时，D(η)增大，故D错误． 12．(多选)甲、乙两位同学玩纸牌游戏(纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别)，他们手里先各持4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机地拿出一张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌数分别为X，Y张，则(　　) A．P(X＝2)＝ B．P(X＝3)＝ C．E(X)＝E(Y) D．D(X)＝D(Y) 解析：选AD．设甲取出一张红牌为事件A，乙取出一张红牌为事件B， 则P(A)＝＝，P(B)＝， 则X的可能取值为1，2，3，且Y＝3－X， 则P(X＝1)＝×＝， P(X＝2)＝×＋×＝， P(X＝3)＝×＝. 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝， 所以E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝， D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝D(X)， 故正确的有A，D． 13．已知0＜p＜1，随机变量X的分布列如下表． X 0 1 2 P 当p＝时，E(X)＝________；在p的变化过程中，D(2X＋1)的最大值为________． 解析：当p＝时， E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 在p的变化过程中， E(X)＝0×＋1×＋2×＝＋p， 则D(X)＝(0－－p)2·＋(1－－p)2×＋(2－－p)2·＝－p2＋p＋＝－(p－)2＋， 所以当p＝时，D(X)最大，最大值为， 所以D(2X＋1)max＝4D(X)max＝2. 答案：　2 14．(15分)甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为 X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (1)求E(X)和E(Y)；(7分) (2)求D(X)和D(Y)，并比较两种品牌手表的性能．(8分) 解：(1)由已知可得，E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0， E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0. (2)由(1)知，E(X)＝0， 所以D(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2. 又E(Y)＝0， 所以D(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. 所以E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)， 所以两种品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定． 15．(15分)甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数． (1)求随机变量X的分布列和均值E(X)；(6分) (2)若0＜p＜，设随机变量X的方差为D(X)，求证：D(X)＜.(9分) 解：(1)随机变量X可能的取值为2，3， 则P(X＝2)＝p2＋(1－p)2＝2p2－2p＋1， P(X＝3)＝2p2(1－p)＋2p(1－p)2＝2p－2p2， 故X的分布列为 X 2 3 P 2p2－2p＋1 2p－2p2 故E(X)＝2×(2p2－2p＋1)＋3×(2p－2p2)＝－2p2＋2p＋2. (2)证明：由(1)知，D(X)＝pi－(E(X))2＝4×(2p2－2p＋1)＋9×(2p－2p2)－(－2p2＋2p＋2)2， 令t＝2p－2p2＝－2(p－)2＋，因为0＜p＜＜，故0＜t＜， 此时D(X)＝4×(2p2－2p＋1)＋9×(2p－2p2)－(－2p2＋2p＋2)2＝4(1－t)＋9t－(t＋2)2＝－t2＋t， 因为二次函数y＝－t2＋t的图象开口向下，且关于直线t＝对称，所以当0＜t＜时，y单调递增，当t＝时，y＝， 所以－t2＋t＜，即D(X)＜. 学科网（北京）股份有限公司 $