7.2 离散型随机变量及其分布列 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是(　　) A．取到球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球或至少取到1个黑球 解析：选B．因为袋中有2 个黑球和6个红球，所以从中任取2个，取到球的个数是一个固定的数字2，不是随机变量，故A不正确；取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；至少取到1个红球表示取到1个红球，或取到2个红球，表示一个随机事件，故C不正确；至少取到1个红球或至少取到1个黑球表示一个随机事件，故D不正确． 2．已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P a b 则P(X＞ 1)＝(　　) A． B． C．1 D． 解析：选A．根据离散型随机变量的分布列的概率和为1，得a＋b＋＝1，所以a＋b＝，所以P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝a＋b＝. 3．若离散型随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝p，4－5P(X＝0)＝p，则p＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．离散型随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝p，所以P(X＝0)＝1－p. 由于4－5P(X＝0)＝p， 所以4－5(1－p)＝p，解得p＝. 4．某花艺园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设任取1盆的编号为随机变量X， 所以X的可能取值为0，1，2，…，9， 且P(X＝0)＝P(X＝1)＝P(X＝2)＝…＝P(X＝9)＝， 所以P(X＞5)＝P(X＝6)＋P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＝＝. 5．(多选)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 4 6 P 0.2 m n 0.1 则下列选项正确的是(　　) A．m＋n＝0.7 B．若m＝0.3，则P(X>3)＝0.5 C．若m＝0.9，则n＝－0.2 D．P(X＝1)＝2P(X＝6) 解析：选ABD．对于A，由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；对于B，若m＝0.3，可得n＝0.4，则P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.5，所以B正确；对于C，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；对于D，由P(X＝1)＝0.2，P(X＝6)＝0.1，则P(X＝1)＝2P(X＝6)，所以D正确． 6．(多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的有(　　) A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5 C．X等于3的概率为 D．X等于4的概率为 解析：选AC．记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N，任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球． M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正确； 又P(X＝3)＝＝，故C正确；P(X＝4)＝＝，故D错误；P(X＝5)＝＝，所以X最有可能的取值是4，故B错误． 7．已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________． 解析：由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝. 答案： 8．一袋中装有6个大小与质地相同的白球，编号为1，2，3，4，5，6，从该袋内随机取出3个球，记被取出球的最大号码数为X，则X的可能取值是__________；P(X＝5)＝________． 解析：由题意，随机变量X的可能取值为3，4，5，6，若X＝5，则取出3个球的最大号码数为5， 则P(X＝5)＝＝. 答案：3，4，5，6　 9．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1－2q q 则P(∈Z)＝________． 解析：由分布列的性质得1－2q≥0，q≥0，且＋1－2q＋q＝1，解得q＝0.3，所以P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋(1－2×0.3)＝0.9. 答案：0.9 10．(13分)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S. (1)设A＝“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”，试列举事件A包含的样本点；(6分) (2)设X＝m2，求X的分布列．(7分) 解：(1)由x2－x－6≤0，解得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0， 所以事件A包含的样本点为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0). (2)由于m的所有可能取值为－2，－1，0，1，2，3，所以X＝m2的所有可能取值为0，1，4，9，且有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝.故X的分布列为 X 0 1 4 9 P 11．同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两枚骰子出现的点数分别为X1，X2，记X＝min{X1，X2}，则P(2≤X≤4)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．依题意，随机变量X满足2≤X≤4的事件是X＝2，X＝3，X＝4，3个互斥事件的和， 而P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以P(2≤X≤4)＝＋＋＝. 12．(多选)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则(　　) A．P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1 B．a＝ C．P(0≤X＜2)＝ D．P(|X|＜1)＝ 解析：选ABC．根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，则P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，解得a＝，故A，B正确；P(0≤X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝，P(|X|＜1)＝P(X＝0)＝，故C正确，D错误． 13．在医学、生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了2只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子随机地、一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以X表示笼内还剩下的果蝇的只数，则P(X≥2)＝________． 解析：根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，只考虑飞出的两只苍蝇，记“笼内还剩下k只果蝇”为事件Ak(k＝0，1，2，3，4，5，6)，当事件Ak发生时，共飞走(6－k)只果蝇，第(8－k)只飞出的是苍蝇，且在前(7－k)只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以P(Ak)＝＝(k＝0，1，2，3，4，5，6)，则P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－－＝. 答案： 14．(15分)甲、乙两名同学参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格． (1)若一次考试中甲答对的题数是X，求X的分布列，并求甲合格的概率；(7分) (2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记Y为乙所得分数，求Y的分布列．(8分) 解：(1)依题意得X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲合格的概率为P(X≥2)＝＋＝. (2)依题意，乙答3题，答对题数可能为1，2，3，即Y的可能取值为－5，5，15，则P(Y＝－5)＝＝，P(Y＝5)＝＝，P(Y＝15)＝＝，所以Y的分布列为 Y －5 5 15 P 15．(15分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和在这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表： 作物产量(kg) 400 500 概率 0.6 0.4 作物市场价格(元/kg) 5 6 概率 0.5 0.5 (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列(利润＝产量×市场价格－成本)；(10分) (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中的利润都在区间(1 200，1 600)的概率．(5分) 解：(1)设A表示事件“作物产量为400kg”，则表示事件“作物产量为500 kg”，B表示事件“作物市场价格为5元/kg”，则表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知，P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P()＝0.4，P()＝0.5，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X的所有可能取值为： 400×5－1 000＝1 000， 400×6－1 000＝1 400， 500×5－1 000＝1 500， 500×6－1 000＝2 000. P(X＝1 000)＝P(A)P(B)＝0.6×0.5＝0.3， P(X＝1 400)＝P(A)P()＝0.6×0.5＝0.3， P(X＝1 500)＝P()P(B)＝0.4×0.5＝0.2， P(X＝2 000)＝P()P()＝0.4×0.5＝0.2. 所以X的分布列为 X 1 000 1 400 1 500 2 000 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)每一季利润都在区间(1 200，1 600)的概率为0.3＋0.2＝0.5. 故3季中的利润都在(1 200，1 600)的概率为0.53＝. 学科网（北京）股份有限公司 $