第6章 阶段小测(二)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

阶段小测(二) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．的展开式中的第7项为(　　) A．104a7b2 B．84a3b3 C．63a3b3 D．36a7b 解析：选B．由题意知展开式中的第7项为Ca3·()6＝84a3b3. 2．(x3－2x2＋x)3的展开式中x6的系数为(　　) A．－1 B．1 C．－20 D．20 解析：选C．(x3－2x2＋x)3＝x3(x－1)6， 因此所求x6的系数，即为(x－1)6的展开式中x3的系数，由二项式定理知系数为C(－1)3＝－20. 3．已知(1＋2x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．512 B．210 C．211 D．212 解析：选A．因为(1＋2x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等， 所以C＝C，解得n＝10， 则各二项式系数之和为210. 因为奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等， 所以(1＋2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29＝512. 4．设n∈N*，则C×1n×80＋C×1n-1×81＋C×1n-2×82＋C×1n-3×83＋…＋C×11×8n-1＋C×10×8n除以9的余数为(　　) A．0 B．8 C．7 D．2 解析：选A．因为C×1n×80＋C×1n-1×81＋C×1n-2×82＋C×1n-3×83＋…＋C×11×8n-1＋C×10×8n＝(1＋8)n＝9n， 所以除以9的余数为0. 5．若(x－1)3＋(x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a2的值为(　　) A．18 B．－18 C．12 D．－12 解析：选C．由题意可知，(x－1)3的展开式的通项为Tr＋1＝Cx3-r(－1)r，r＝0，1，2，3，令3－r＝2，得r＝1，所以(x－1)3的展开式中x2的系数为C·(－1)；(x－1)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k(－1)k，k＝0，1，2，3，4，5，6，令6－k＝2，得k＝4，所以(x－1)6的展开式中x2的系数为C(－1)4.所以a2＝C(－1)＋C(－1)4＝－3＋15＝12. 6．在(x－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　) A．－126 B．－70 C．－56 D．－28 解析：选C．由题意可得n＝8.所以(x－)n的二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx8-k(－)k＝C(－1)kx8-k，要使项的系数C(－1)k最小，则k为奇数，分别取k＝1，3，5，7，经过检验，当k＝3或k＝5时，系数C(－1)k最小，即第4项的系数等于第6项的系数，且最小，所以展开式中系数最小的项的系数为－56. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知(x2－)n的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则(　　) A．n＝10 B．展开式中的常数项为45 C．x5的系数为210 D．展开式中的有理项有5项 解析：选ABC．对于A，(x2－)n的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCx2n－k，因为第3项与第5项的系数之比为＝，所以n＝10，故A正确；对于B，令20－k＝0，得k＝8，所以常数项为T9＝(－1)8C＝45，故B正确；对于C，令20－k＝5，则k＝6，故x5的系数为(－1)6C＝210，故C正确；对于D，若20－k为整数，则k可取0，2，4，6，8，10，共6项，故D错误． 8．已知(2－x)(1＋x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026，则(　　) A．a1＝4 049 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 026＝22 025 C．22 026a0＋22 025a1＋22 024a2＋…＋a2 026＝32 026 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＝2 024×22 024 解析：选AC．(2－x)(1＋x)2 025的展开式中含x的项为2·Cx＋(－x)·C＝(2×2 025－1)x＝4 049x， 所以a1＝4 049，A正确； 由题意，令x＝1，得22 025＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 026， 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 026， 两式相加得，a0＋a2＋a4＋…＋a2 026＝22 024，B错误； 令x＝，得2 026＝a0＋a1·＋a2·()2＋…＋a2 026·2 026， 所以22 026a0＋22 025a1＋22 024a2＋…＋a2 026＝32 026，C正确； 等式两边对x求导得－(1＋x)2 025＋2 025(2－x)(1＋x)2 024＝a1＋2a2x＋…＋2 026a2 026x2 025， 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＝2 023×22 024，D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 解析：由题意，令x＝1，则2n＝32，故n＝5，则二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)5-k＝Cx10-5k，令10－5k＝0，得k＝2.故展开式中的常数项为T3＝C＝10. 答案：10 10．若(2＋ax)n(a≠0)的展开式的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为________． 解析：因为(2＋ax)n(a≠0)的展开式的二项式系数之和为512，所以2n＝512，n＝9，故(2＋ax)9(a≠0)的展开式的通项为Tk＋1＝C29-k(ax)k＝ak29-kCxk， 依题意可知解得2≤a≤3. 答案：[2，3] 11．在(ax－y＋z)7的展开式中，记xmynzk的系数为f(m，n，k)，若f(3，2，2)＝，则a的值为________． 解析：由题意知xmynzk的系数f(m，n，k)＝CamC·(－1)nC， 即f(m，n，k)＝(－1)nCamCC， 由f(3，2，2)＝，可得(－1)2Ca3CC＝，即35×6a3＝，解得a＝. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)若(＋)n展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中含x的项；(6分) (2)展开式中所有的有理项．(7分) 解：(1)(＋)n展开式的通项为Tr＋1＝C(x)n－r·r(x－)r＝Crxn－r， 由题意可得，2C1＝C0＋C2，即n2－9n＋8＝0，解得n＝1或n＝8， 显然n＝1不符合题意，舍去，故n＝8. 令×8－r＝1，解得r＝4，即展开式中含x的项为C4x＝x. (2)由(1)知Tr＋1＝Crx4-r，由题意知4－r∈Z，r∈，r∈N， 令r＝0，4，8得T1＝x4，T5＝x，T9＝x-2为展开式中所有的有理项． 13．(本小题满分15分)已知(2x2－)n(n∈N*)的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(8分) (2)求(2x＋)(2x2－)n展开式中的常数项．(7分) 解：(1)由展开式中所有偶数项的二项式系数和为64，得2n-1＝64，所以n＝7， 所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项．因为(2x2－)7的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x2)7-k(－1)k·()k＝C27-k(－1)kx14-3k， 所以(2x2－)7的展开式中二项式系数最大的项为T4＝－560x5，T5＝280x2. (2)由(1)知n＝7，且(2x2－)7的展开式中含x-1的项为T6＝－，含x2的项为T5＝280x2， 所以(2x＋)(2x2－)n展开式的常数项为2×(－84)＋1×280＝112. 14．(本小题满分15分)设x10－3＝(x－1)2Q(x)＋ax＋b，其中Q(x)是关于x的多项式，a，b∈R. (1)求a，b的值；(7分) (2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余数．(8分) 解：(1)x10－3＝[(x－1)＋1]10－3＝C(x－1)10＋C(x－1)9＋…＋C(x－1)2＋C(x－1)－2＝(x－1)2[C(x－1)8＋C(x－1)7＋…＋C]＋10x－12＝(x－1)2Q(x)＋ax＋b，所以10x－12＝ax＋b，所以a＝10，b＝－12. (2)因为ax＋b＝28， 由(1)可知a＝10，b＝－12，得10x－12＝28，解得x＝4. 所以x10－3＝410－3＝(3＋1)10－3＝C·310＋C·39＋…＋C·3＋C－3＝34(C·36＋C·35＋…＋C)＋C·33＋C·32＋C·3＋1－3＝34(C·36＋C·35＋…＋C)＋40×34＋5×34＋28＝81(C·36＋C·35＋…＋C＋45)＋28.所以x10－3除以81的余数为28. 学科网（北京）股份有限公司 $