第6章 阶段小测(一)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

阶段小测(一) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排的方法数为(　　) A．30 B．60 C．120 D．180 解析：选B．先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，所以安排的方法数为CCA＝60. 2．北京大兴国际机场拥有世界上著名的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向(如图)，则不同的泊车方案有(　　) A．120种 B．240种 C．480种 D．960种 解析：选C．从8个车位里选择5个相邻的车位，共有4种方式．将5辆车相邻停放，有A＝120种方式，则不同的泊车方案有4×120＝480(种). 3．从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为(　　) A．36 B．42 C．45 D．54 解析：选B．当任选2个偶数中含有0时，0可以放在个位或十位，共2种情况，再从3个奇数中选一个，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共CCA＝12种情况，此时共2×12＝24种情况；当任选2个偶数中不含有0时，从3个奇数中选一个，并和2，4进行全排列，共CA＝18种情况，所以组成没有重复数字的三位数的个数为24＋18＝42. 4．现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列的排法总数为(　　) A．1 782 B．1 720 C．2 520 D．1 260 解析：选D．同色球不加以区分可以理解为定序问题，故将这9个球排成一列的排法总数为＝1 260. 5．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人既能当钳工又能当车工，现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，则不同的选法种数为(　　) A．120 B．125 C．180 D．185 解析：选D．按既能当钳工又能当车工的2人分类： 第一类：2个多面手都不入选的情况有CC种； 第二类：只有1个多面手入选且当钳工的情况有CCC种，只有1个多面手入选且当车工的情况有CCC种； 第三类：2个多面手都入选且2人中1人当钳工1人当车工的情况有ACC种，2人都当钳工的情况有CC种，2人都当车工的情况有CC种． 由分类加法计数原理得，选法有CC＋CCC＋CCC＋ACC＋CC＋CC＝185(种). 6．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的5个热点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的不同调查顺序的种数为(　　) A．13 B．24 C．18 D．72 解析：选D．可分3步：第1步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有C种不同的选法；第2步，在调查时，“住房”安排的顺序有A种可能情况；第3步，其余3个热点调查的顺序有A种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为CAA＝72. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．某校的高一和高二年级各有10个班级，从中选出5个班级参加活动，下列结论正确的是(　　) A．高二(6)班一定参加的选法有C种 B．高一年级恰有2个班级参加的选法有CC种 C．高一年级最多有2个班级参加的选法有C种 D．高一年级最多有2个班级参加的选法有CC＋CC＋C种 解析：选BCD．对于A，高二(6)班一定参加的选法有C种，故A错误；对于B，高一年级恰有2个班级参加的选法有CC种，故B正确；对于C，D，从20个班级中选出5个班级参加活动的选法共有C种，其中高一年级没有班级参加，高二年级有5个班级参加的选法有C种，高一年级有1个班级参加，高二年级有4个班级参加的选法有CC种，高一年级有2个班级参加，高二年级有3个班级参加的选法有CC种，高一年级有3个班级参加，高二年级有2个班级参加的选法有CC种，高一年级有4个班级参加，高二年级有1个班级参加的选法有CC种，高一年级有5个班级参加，高二年级没有班级参加的选法有C种，则C＋CC＋CC＋CC＋CC＋C＝C，所以高一年级最多有2个班级参加的选法有CC＋CC＋C＝C(种)，故C，D正确． 8．用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，则(　　) A．可组成360个四位数 B．可组成108个是5的倍数的四位数 C．可组成各位数字之和为偶数的四位数有180个 D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第88个数为2 310 解析：选BCD．A选项，先安排千位上的数字，有5种；再安排百位、十位和个位上的数字，有A种；根据分步乘法计数原理可得，共组成5A＝300个四位数，故选项A错误；B选项，因为5的倍数的四位数个位上为0或5，所以分为两类：当个位是0时，有A＝60(个)；当个位是5时，有4A＝48(个)，所以共有60＋48＝108(个)，故选项B正确；C选项，先把数字之和为偶数的数字组合列举出来，有(0，1，2，3)，(0，1，2，5)，(0，1，3，4)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(0，3，4，5)，(1，2，3，4)，(1，2，4，5)，(2，3，4，5)；再将每个组合中的四个数字排列组成一个四位数共3A×6＋A×3＝180(个)，故选项C正确；D选项，因为千位为1的四位数有A＝60(个)；千位为2，百位为0的四位数有A＝12(个)；千位为2，百位为1的四位数有A＝12(个)；共60＋12＋12＝84；而千位为2，百位为3的四位数从小到大排列有：2 301，2 304，2 305，2 310，…，所以第88个数为2 310，故选项D正确．故选BCD． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素排在前排，某1个元素排在后排，不同的排法有________种． 解析：看成一排，某2个元素排在前半段的四个位置中，有A种排法，某1个元素排在后半段的四个位置中，有A种排法，其余5个元素任排在5个位置上，有A种排法，故共有AAA＝5 760种排法． 答案：5 760 10．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法有______种． 解析：取4个球中的2个为一组，另两组各一个球的方法有C种，在4个不同的盒中放3个有A种放法， 故共有CA＝144种放法． 答案：144 11．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________． 解析：问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为C＝165. 答案：165 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)3男4女共7名同学照相留念． (1)站成两排，前排3名男同学，后排4名女同学，共有多少种不同的排法？(5分) (2)站成一排，男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？(8分) 解：(1)根据分步乘法计数原理，共有AA＝144种排法． (2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式可分为以下两种情况： ①甲站在两端，有2CA＝960种站队方式； ②甲不站在两端，先选出2名女生站在甲两边，共有CA＝12种方法，再把这3人看成一个整体，和剩下的4名同学全排列，所以有12A＝1 440种站队方式． 故男生甲不与其他男生相邻的站队方式有960＋1 440＝2 400(种). 13．(本小题满分15分)为弘扬我国古代的六艺文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；(7分) (2)甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排种数．(8分) 解：(1)分两种情况讨论， ①“射”排在最后一周时，则有A＝120种排法； ②“射”不排在最后一周时，则先排“射”有4种排法，再排“数”也有4种排法，剩下的4门课程全排列，有4×4×A＝384种排法， 所以共有120＋384＝504种不同的排法． (2)分两种情况讨论， 当甲教两门时，则有CA＝240种安排方法； 当甲教一门时，则有CCA＝1 200种安排方法． 所以共有240＋1 200＝1 440种安排方法． 14．(本小题满分15分)已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们进行测试，目的是找到所有次品． (1)若在第5次测试时测试出最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(6分) (2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？(9分) 解：(1)若在第5次测试出最后一件次品，则前4次中有2件次品、2件正品，第5次为次品，则不同的测试方法共有CCA＝720(种). (2)检测3次找到3件次品，不同的测试方法有A＝6(种)； 检测4次找到3件次品，不同的测试方法有CCA＝90(种)； 检测5次找到3件次品，分为两类： 一类是恰好第5次测到第3件次品，一类是前5次测到的都是正品，则剩余的全为次品，不同的测试方法共有CCA＋A＝840(种). 所以共有6＋90＋840＝936种测试方法． 学科网（北京）股份有限公司 $