8.2 第2课时 回归分析及非线性回归模型 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和(　　) A．越大 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均错 解析：选B.因为R2＝1－， 所以当R2越大时，(yi－i)2越小，即残差平方和越小． 2．已知解释变量x与响应变量y在散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，其样本相关系数为r，决定系数为R2，则(　　) A．r＝0 B．R2＝1 C．r＝1 D．R2＝0 解析：选B.因为|r|越接近于1，线性相关程度越强，决定系数R2越接近于1，拟合效果越好，对于本题散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，即线性相关程度最强，拟合效果最好，所以|r|＝1，R2＝1，故A，C，D错误，B正确．故选B. 3．以模型y＝cekx(c＞0)去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程z＝2x－1，则k，c的值分别是(　　) A．－2，e B．2， C．－2， D．2，e 解析：选B.由题意得ln y＝ln (cekx)＝ln c＋kx，由z＝ln y，可得z＝ ln c＋kx. 又经验回归方程为z＝2x－1， 所以ln c＝－1，k＝2，故c＝，k＝2. 4．(多选)某种产品的价格x(单位：元/kg)与日需求量y(单位：kg)之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据可得经验回归方程＝x＋14.4，则以下说法正确的是(　　) A．样本相关系数r＞0 B．＝－0.32 C．若该产品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg D．第四个样本点对应的残差为－0.4 解析：选BCD.对于A，由题表中的数据，可知两变量负相关，故A错误；对于B，由题表中的数据可得＝＝20，＝＝8， 由＝＋14.4，得＝－0.32，故B正确；对于C，将x＝35代入＝－0.32x＋14.4，得＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，故C正确；对于D，第四个样本点对应的残差为6－(－0.32×25＋14.4)＝－0.4，故D正确．故选BCD. 5．为了对x，y两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型分别计算出甲模型的决定系数为R＝0.910，乙模型的决定系数为R＝0.901，则________(填“甲”或“乙”)模型的拟合效果更好． 解析：决定系数越接近1，表明拟合效果越好，因为R＝0.910＞R＝0.901， 所以甲模型的拟合效果更好． 答案：甲 6．已知x，y之间的一组数据如表： x 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y＝x＋1与y＝x＋，则根据残差平方和(yi－i)2的大小，直线________的拟合效果更好． 解析：当用y＝x＋1作为拟合直线时， 残差平方和为s1＝(1－)2＋(2－2)2＋(3－3)2＋(4－)2＋(5－)2＝. 当用y＝x＋作为拟合直线时， 残差平方和为s2＝(1－1)2＋(2－2)2＋(3－)2＋(4－4)2＋(5－)2＝， 因此s1＞s2， 故用直线y＝x＋的拟合效果更好． 答案：y＝x＋ 7．(13分)某市春节期间7家超市的广告支出费用xi(单位：万元)和销售额yi(单位：万元)数据如下表： 超市 A B C D E F G 广告支出费用xi 1 2 4 6 11 13 19 销售额yi 19 32 40 44 52 53 54 (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；(6分) (2)用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程＝－0.17x2＋5x＋20，经过计算二次函数回归模型和线性回归模型的决定系数R2分别约为0.92和0.75，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告支出费用为3万元时的销售额．(7分) 参考数据及公式：＝8，＝42，iyi＝2 794，＝708，＝，＝－. 解：(1)由参考数据知＝＝＝1.7， 所以＝－　＝42－1.7×8＝28.4， 所以y关于x的经验回归方程是＝1.7x＋28.4. (2)因为二次函数回归模型和线性回归模型的决定系数R2分别约为0.92和0.75，且0.92＞0.75，所以二次函数回归模型更合适，用此模型，当x＝3时，＝－0.17×32＋5×3＋20＝33.47，由此预测A超市广告支出费用为3万元时的销售额为33.47万元． 8．(多选)已知两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得样本点的中心为(，)，经验回归方程为＝x＋，决定系数为R2；若将数据调整为(x1，y1＋1)，(x2，y2＋1)，…，(xn，yn＋1)，求得新的样本点的中心为(′，′)，经验回归方程为′＝′x＋′，决定系数为R′2，则以下说法正确的有(　　) 附：＝，＝－，R2＝1－. A．＝′ B．＝′ C．＜′ D．R2＜R′2 解析：选BC.对于A，′＝ ＝＋1＝＋1，A错误；对于B，的计算中，xi数据不变，yi－＝(yi＋1)－′也不变，所以不变，B正确；对于C，′＝′－＝＋1－＝＋1＞，C正确；对于D，由于R2＝1－，yi变成了yi＋1，′＝＋1，′i＝′xi＋′＝xi＋＋1＝i＋1，从而yi－i，yi－都不变，所以R2＝R′2，D错误．故选BC. 9．(15分)某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，对10年期间年研发资金投入额xi和年盈利额yi(i＝1，2，…，10)数据进行分析，建立了两个函数模型：y＝α＋βx2，y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1，2，…，10)，经计算得如下数据： ＝26 ＝215 ＝680 ＝5.36 (xi－)2 ＝100 (ui－)2 ＝22 500 (ui－)· (yi－) ＝260 (yi－)2 ＝4 (vi－)2 ＝4 (xi－)· (vi－)＝18 (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合效果更好；(7分) (2)选择拟合效果更好的模型，建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01).(8分) 解：(1)设模型y＝α＋βx2的样本相关系数为r1，模型y＝eλx＋t的样本相关系数为r2. 对于模型y＝α＋βx2，因为u＝x2，所以y＝α＋βu， 所以r1＝＝≈0.87. 对于模型y＝eλx＋t，有ln y＝ln eλx＋t＝λx＋t，因为v＝ln y，所以v＝λx＋t，所以r2＝＝＝0.9. 因为r1＜r2，所以模型y＝eλx＋t的拟合效果更好． (2)因为＝＝＝0.18，＝－＝5.36－0.18×26＝0.68， 所以＝0.18x＋0.68， 所以y关于x的经验回归方程为＝e0.18x+0.68. 学科网（北京）股份有限公司 $