6.3.2 二项式系数的性质 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　　)

A．8    B．9  

C．10    D．11

解析：选C．由题意得展开式共有11项，所以n＝10.

2．在(－)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数之和为(　　)

A．1    B．－32  

C．0    D．32

解析：选D．依题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，则(－)5＝(3－1)5＝25＝32，所以展开式中所有项的系数之和为32.

3．在(2x＋)n的展开式中，若第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　)

A．212    B．312  

C．310    D．210

解析：选C．在(2x＋)n的展开式中，因为第3项与第9项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，令x＝1，可得所有项的系数之和为(2＋1)10＝310.

4．已知n∈N*，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为(　　)

A．81    B．64  

C．27    D．32

解析：选D．a1＝C×2＝2n，a2＝C×22＝4C，所以4×2n＋4C＝80，解得n＝5或n＝－8(舍去)，所以该展开式各项的二项式系数和为25＝32.

5．(多选)若(x2＋)6的展开式中x3的系数是－160，则(　　)

A．a＝－

B．展开式的所有项的系数之和为1

C．展开式的二项式系数之和为64

D．展开式中的常数项为－320

解析：选ABC．的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)6-k·＝Cx12-3k.令12－3k＝3，得k＝3，所以C＝－160，解得a＝－，故A正确；由A知(x2＋)6＝(x2－)6，令x＝1，得展开式的所有项的系数之和为(1－2)6＝1，故B正确；展开式的二项式系数之和为26＝64，故C正确；由A知，Tk＋1＝Cx12-3k＝(－2)kCx12-3k，令12－3k＝0，得k＝4，所以(x2－)6展开式的常数项为(－2)4C＝240，故D错误．

6．(多选)已知二项式(－)n的展开式的各项系数的和为－128，则(　　)

A．n＝8

B．展开式的二项式系数之和为128

C．展开式中x的系数为21

D．展开式中有3项为有理项

解析：选BD．由(－)n，令x＝1，得(1－3)n＝－128，所以n＝7，故A错误；展开式的二项式系数之和为27＝128，故B正确；展开式的通项为Tr＋1＝C()7-r·(－)r＝(－3)rCx(r＝0，1，2，…，7)，令＝1，解得r＝1，所以展开式中x的系数为C×(－3)1＝－21，故C错误；由展开式的通项可知，

当r＝1，4，7时，∈Z，即第2项，第5项，第8项为有理项，故D正确．

7．二项式(2x＋1)6的展开式中，最大的二项式系数为________．

解析：因为n＝6，所以二项式系数的最大值为C＝20.

答案：20

8．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．

解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝310，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.

答案：

9．若二项式(＋)n(m∈R，n∈N*)展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则m＋n＝________；二项式系数最大的项的系数是________．

解析：因为二项式(＋)n展开式的二项式系数之和为32，所以2n＝32，n＝5，(＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C()5-r()r＝mrCx，令＝0，得r＝1，故常数项为T2＝mC＝10，得m＝2，则m＋n＝2＋5＝7；当r＝2或r＝3时，对应项的二项式系数最大，则其系数为22C＝40或23C＝80.

答案：7　40或80

10．(13分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于(x2＋)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的二项展开式的系数最大的项等于54，求a的值．

解：(x2＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5-r·()r＝()5-rCx，

令＝0，得r＝4，所以常数项为T5＝C×＝16.