6.3.2 二项式系数的性质 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选C．由题意得展开式共有11项，所以n＝10. 2．在(－)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数之和为(　　) A．1 B．－32 C．0 D．32 解析：选D．依题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，则(－)5＝(3－1)5＝25＝32，所以展开式中所有项的系数之和为32. 3．在(2x＋)n的展开式中，若第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A．212 B．312 C．310 D．210 解析：选C．在(2x＋)n的展开式中，因为第3项与第9项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，令x＝1，可得所有项的系数之和为(2＋1)10＝310. 4．已知n∈N*，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为(　　) A．81 B．64 C．27 D．32 解析：选D．a1＝C×2＝2n，a2＝C×22＝4C，所以4×2n＋4C＝80，解得n＝5或n＝－8(舍去)，所以该展开式各项的二项式系数和为25＝32. 5．(多选)若(x2＋)6的展开式中x3的系数是－160，则(　　) A．a＝－ B．展开式的所有项的系数之和为1 C．展开式的二项式系数之和为64 D．展开式中的常数项为－320 解析：选ABC．的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)6-k·＝Cx12-3k.令12－3k＝3，得k＝3，所以C＝－160，解得a＝－，故A正确；由A知(x2＋)6＝(x2－)6，令x＝1，得展开式的所有项的系数之和为(1－2)6＝1，故B正确；展开式的二项式系数之和为26＝64，故C正确；由A知，Tk＋1＝Cx12-3k＝(－2)kCx12-3k，令12－3k＝0，得k＝4，所以(x2－)6展开式的常数项为(－2)4C＝240，故D错误． 6．(多选)已知二项式(－)n的展开式的各项系数的和为－128，则(　　) A．n＝8 B．展开式的二项式系数之和为128 C．展开式中x的系数为21 D．展开式中有3项为有理项 解析：选BD．由(－)n，令x＝1，得(1－3)n＝－128，所以n＝7，故A错误；展开式的二项式系数之和为27＝128，故B正确；展开式的通项为Tr＋1＝C()7-r·(－)r＝(－3)rCx(r＝0，1，2，…，7)，令＝1，解得r＝1，所以展开式中x的系数为C×(－3)1＝－21，故C错误；由展开式的通项可知，当r＝1，4，7时，∈Z，即第2项，第5项，第8项为有理项，故D正确． 7．二项式(2x＋1)6的展开式中，最大的二项式系数为________． 解析：因为n＝6，所以二项式系数的最大值为C＝20. 答案：20 8．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝310，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝. 答案： 9．若二项式(＋)n(m∈R，n∈N*)展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则m＋n＝________；二项式系数最大的项的系数是________． 解析：因为二项式(＋)n展开式的二项式系数之和为32，所以2n＝32，n＝5，(＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C()5-r()r＝mrCx，令＝0，得r＝1，故常数项为T2＝mC＝10，得m＝2，则m＋n＝2＋5＝7；当r＝2或r＝3时，对应项的二项式系数最大，则其系数为22C＝40或23C＝80. 答案：7　40或80 10．(13分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于(x2＋)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的二项展开式的系数最大的项等于54，求a的值． 解：(x2＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5-r·()r＝()5-rCx， 令＝0，得r＝4，所以常数项为T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，则2n＝16，n＝4. 所以(a2＋1)4的二项展开式中系数最大的项是中间项T3＝Ca4＝54，则a4＝9，解得a＝±. 11．已知(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．－54 B．－52 C．－50 D．－48 解析：选A．(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－1)3－(1＋2)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝－80； 令x＝－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝－28； 由两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝－108，所以a0＋a2＋a4＝－54. 12．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析：选B．由杨辉三角可知， 第1行：C，C， 第2行：C，C，C， 第3行：C，C，C，C， 第4行：C，C，C，C，C， 由此可得第n行，第r(1≤r≤n＋1)个数为C， 所以第15行第15个数是C＝C＝15. 13．(多选)已知f(x)＝(2x－3)n(n∈N*)展开式的二项式系数和为512，f(x)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，下列结论中正确的是(　　) A．a1＋a2＋…＋an＝1 B．a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝18 C．a2＝144 D．|a0|＋|a1|＋…＋|an|＝39 解析：选BD．由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，解得n＝9，所以f(x)＝(2x－3)9. 对于A，在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中， 令x＝1，得a0＝－1，令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2，故A错误； 对于B，(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，等式两边同时求导，得18 (2x－3)8＝a1＋2a2(x－1)＋…＋9a9(x－1)8，令x＝2，得a1＋2a2＋…＋9a9＝18，故B正确； 对于C，因为(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，所以a2＝C(－1)7·22＝－144，故C错误； 对于D，由题意可得 两式相加得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，两式相减得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝. 又(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9展开式的通项为C(－1)9-r·2r(x－1)r＝(－1)9-r·2rC(x－1)r(0≤r≤9，r∈Z)，则当r为奇数时，a1，a3，a5，a7，a9为正数，当r为偶数时，a0，a2，a4，a6，a8为负数， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)－(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝－＝39，故D正确． 14．(15分)设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a1＋a2＋a3＋a4；(5分) (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；(5分) (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.(5分) 解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1， 令x＝0，得(0－3)4＝a0＝81， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝1－81＝－80. (2)由题中等式，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.① 令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.② 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2 ＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4) ＝(－2－3)4×(2－3)4 ＝54×1＝625. (3)由(2x－3)4的展开式知a0，a2，a4为正数，a1，a3为负数， 由(2)中①＋②得a0＋a2＋a4＝313， 由(2)中①－②得a1＋a3＝－312， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4| ＝－a1＋a2－a3＋a4 ＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0 ＝313＋312－81＝544. 15．(15分)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数；(6分) (2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．(9分) 解：(1)C＝1 140. (2)C＋C＋C＋…＋C＝C.证明如下：左边＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝右边． 学科网（北京）股份有限公司 $