6.3.2 二项式系数的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6.3.2　二项式系数的性质 1.B　第6项的二项式系数为，又＝，所以第16项符合条件. 2.C　由题意2n＝64，解得n＝6.展开式通项为Tr＋1＝（）6－r（－2x）r＝（－2）r·，由r－3＝0，解得r＝2，∴常数项为T3＝（－2）2·x0＝60.故选C. 3.C　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以（x2－）n的展开式的通项为Tk＋1＝（x2）6－k（－）k＝（－1）kx12－3k.令12－3k＝0，得k＝4，所以展开式中的常数项是（－1）4＝15.故选C. 4.B　因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 035. 5.B　（＋）n的展开式的通项为Tk＋1＝（）n－k·（）k＝·2k·，第3项为T3＝·22·，其系数为·22，倒数第3项为Tn－1＝·2n－2·，其系数为·2n－2，由题意得，＝24－n＝＝2－2，所以n＝6，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 6.AC　（x－1）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确.故选A、C. 7.ACD　在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，含x2的项的二项式系数为＝＝21，即n2－n－42＝0，∵n∈N*，∴n＝7，A正确；展开式中常数项为T8＝27＝128，B错误；展开式中二项式系数的最大值是＝＝35，C正确；令x＝1可得展开式中各项系数的和是37＝2 187，D正确.故选A、C、D. 8.－1　3　解析：在（2x－）4的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通项可知Tk＋1＝（2x）4－k（－）k＝·24－k·（－a）k·，所以当k＝3时为常数项，代入可得·24－3·（－a）3＝8，解得a＝－1，由二项式定理可知展开式共有5项，则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大. 9.－256　解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. 10.解：二项式（－）n的展开式的通项为Tk＋1＝（）n－k（－）k ＝（－2）k， ∵（－2）3∶（－2）6＝－1∶14， ∴n＝10. （1）＋＋…＋＝210＝1 024. （2）令x＝1，得各项系数之和为（－1）10＝1. 11.D　（1－2x）2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025，令x＝0，得a0＝1，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1. 12.ACD　对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－1）]9，所以a2＝－×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D正确. 13.255　解析：设（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an（－1）n＝（－3）n，即（a0＋a2＋a4＋a6＋…）－（a1＋a3＋a5＋a7＋…）＝（－3）n，即B－A＝（－3）n.∴（－3）n＝38＝（－3）8，∴n＝8.由二项式系数的性质，可得＋＋＋…＋＝2n－＝28－1＝255. 14.解：（1）由题意可得2n＝256，解得n＝8， ∴展开式的通项为Tk＋1＝mk， ∴含x项的系数为m2＝112， 解得m＝2或m＝－2（舍去）. 故m，n的值分别为2，8. （2）展开式中偶数项的二项式系数之和为＋＋＋＝＝128. （3）∵（1＋2）8（1－x）＝（1＋2）8－x（1＋2）8， ∴含x2项的系数为24－22＝1 008. 15.解：（1）由题意得，＋＋＝16， 即1＋n＋＝16. 解得n＝5，或n＝－6（舍去）， 所以n＝5. 因为所有项的系数之和为1，令x＝1， 所以（a－1）5＝1，解得a＝2. （2）不存在.理由如下： 因为（ax－）n＝（2x－）5， 所以Tk＋1＝（2x）5－k（－）k＝（－1）k25－k（k∈N*）. 令5－＝0，解得k＝∉N，所以展开式中不存在常数项. （3）由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2·25－2x5－3＝80x2，T4＝（－1）3·25－3＝－40. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2　二项式系数的性质 1.在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是（　　） A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2.若（－2x）n的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（　　） A.－240 B.－60 C.60 D.240 3.（x2－）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是（　　） A.－15 B.－20 C.15 D.20 4.在（x－）2 024的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S＝（　　） A.23 035 B.－23 035 C.23 030 D.－23 030 5.已知（＋）n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为1∶4，则展开式中二项式系数最大的项为（　　） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 6.〔多选〕下列关于（x－1）11的说法正确的是（　　） A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最大 7.〔多选〕在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，若含x2的项的二项式系数为21，则下列结论正确的是（　　） A.n＝7 B.展开式中的常数项是64 C.展开式中二项式系数的最大值是35 D.展开式中各项系数的和是2 187 8.在（2x－）4的二项展开式中，常数项是8，则实数a＝　　　　，第　　　　项的二项式系数最大. 9.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝　　　　. 10.在二项式（－）n的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为－1∶14，求： （1）二项展开式中的各项的二项式系数之和； （2）二项展开式中的各项的系数之和. 11.若（1－2x）2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025（x∈R），则＋＋…＋＝（　　） A.2 B.0 C.－2 D.－1 12.〔多选〕对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是（　　） A.a2＝－144 B.a0＝1 C.a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 13.已知（2x－1）n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋＝　　　　. 14.已知（1＋m）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112. （1）求m，n的值； （2）求展开式中偶数项的二项式系数之和； （3）求（1＋m）n（1－x）的展开式中含x2项的系数. 15.已知（ax－）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值； （2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $