6.3.1 二项式定理 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．(x＋2)n的二项展开式共有12项，则n＝(　　)

A．9    B．10

C．11    D．8

解析：选C．因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝12，得n＝11.

2．在二项式(1＋2x)4的展开式中，x3的系数为(　　)

A．32    B．16  

C．8    D．4

解析：选A．二项式(1＋2x)4的展开式的通项为Tk＋1＝C·2k·xk，令k＝3，得展开式中含x3的项为T4＝C×23×x3＝32x3，故x3的系数为32.

3．已知(1－)6＝a＋b(a，b均为有理数)，则a的值为(　　)

A．90    B．91

C．98    D．99

解析：选D．因为二项式(1－)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(－)k，又(1－)6＝a＋b，所以a是展开式中所有不含的项的和，即a＝C＋C×(－)2＋C×(－)4＋C×(－)6＝99.

4．二项式(2＋)6的展开式中无理项的项数为(　　)

A．2    B．3  

C．4    D．5

解析：选B．Tk＋1＝C(2)6-k(x-1)k

＝C26-kx，

当k＝1，3，5时为无理项，故无理项的项数为3.

5．(多选)若二项式(x＋)6的展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为(　　)

A．1    B．－1  

C．2    D．－2

解析：选AB．(x＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k·()k＝Cx6-kmk.令6－k＝0，得k＝4，常数项为Cm4＝15，则m4＝1，解得m＝±1.

6．(多选)对于二项式(2x－)6的展开式，下列说法正确的是(　　)

A．展开式共有6项

B．展开式中的常数项是240

C．展开式中x-3的系数为－160

D．展开式中x-6的系数为60

解析：选BCD．因为n＝6，故(2x－)6的展开式共有7项，故A错误；(2x－)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6-k·(－1)k(x-2)k＝(－1)kC26-kx6-3k，令6－3k＝0，得k＝2，即展开式的常数项为(－1)2C24＝240，故B正确；令6－3k＝－3，得k＝3，展开式中x-3的系数为(－1)3C23＝－160，故C正确；令6－3k＝－6，得k＝4，展开式中x-6的系数为(－1)4C22＝60，故D正确．

7．(x2－)9的展开式的中间项为____________．

解析：(x2－)9的展开式共有10项，中间项有两项，为第五项和第六项，

T5＝C(x2)5(－)4＝126x6，

T6＝C(x2)4(－)5＝－126x3.

答案：126x6和－126x3

8．已知(x2－)n展开式中第5项为常数项，则n＝____________．

解析：由题设，Tk＋1＝C(x2)n－k(－)k＝(－3)kCx2n－，由第5项为常数项，得当k＝4时，2n－＝0，可得n＝5.

答案：5

9．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是________．

解析：因为(1－x)5中x3的系数为C(－1)3＝－10，(1－x)6中x3的系数为C(－1)3＝－20，

因此(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数为－10－(－20)＝10.

答案：10

10．(13分)在(2－)6的二项展开式中，求：

(1)第3项的二项式系数及系数；(6分)

(2)含x2的项．(7分)

解：(1)在(2－)6的展开式中，第3项的二项式系数为C＝15，

第3项为T3＝C(2)4(－)2＝15×24x＝240x，所以第3项的二项式系数为15，系数为240.

(2)二项式(2－)6展开式的通项是Tk＋1＝C(2)6-k·(－)k＝(－1)k·26-kCx3-k，k∈N，k≤6，

由3－k＝2，得k＝1，T2＝(－1)1·25Cx2＝－192x2，

所以含x2的项是－192x2.

11．使(3x＋)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A．4    B．5  

C．6    D．7

解析：选B．由题意得，该二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(3x)n－k·＝C·3n－k·xn－k(k∈N且k≤n)，若展开式中含有常数项，则n－k＝0，即n＝k，又因为