6.3.1 二项式定理 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．(x＋2)n的二项展开式共有12项，则n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．8 解析：选C．因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝12，得n＝11. 2．在二项式(1＋2x)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．32 B．16 C．8 D．4 解析：选A．二项式(1＋2x)4的展开式的通项为Tk＋1＝C·2k·xk，令k＝3，得展开式中含x3的项为T4＝C×23×x3＝32x3，故x3的系数为32. 3．已知(1－)6＝a＋b(a，b均为有理数)，则a的值为(　　) A．90 B．91 C．98 D．99 解析：选D．因为二项式(1－)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(－)k，又(1－)6＝a＋b，所以a是展开式中所有不含的项的和，即a＝C＋C×(－)2＋C×(－)4＋C×(－)6＝99. 4．二项式(2＋)6的展开式中无理项的项数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B．Tk＋1＝C(2)6-k(x-1)k ＝C26-kx， 当k＝1，3，5时为无理项，故无理项的项数为3. 5．(多选)若二项式(x＋)6的展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选AB．(x＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k·()k＝Cx6-kmk.令6－k＝0，得k＝4，常数项为Cm4＝15，则m4＝1，解得m＝±1. 6．(多选)对于二项式(2x－)6的展开式，下列说法正确的是(　　) A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是240 C．展开式中x-3的系数为－160 D．展开式中x-6的系数为60 解析：选BCD．因为n＝6，故(2x－)6的展开式共有7项，故A错误；(2x－)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6-k·(－1)k(x-2)k＝(－1)kC26-kx6-3k，令6－3k＝0，得k＝2，即展开式的常数项为(－1)2C24＝240，故B正确；令6－3k＝－3，得k＝3，展开式中x-3的系数为(－1)3C23＝－160，故C正确；令6－3k＝－6，得k＝4，展开式中x-6的系数为(－1)4C22＝60，故D正确． 7．(x2－)9的展开式的中间项为____________． 解析：(x2－)9的展开式共有10项，中间项有两项，为第五项和第六项， T5＝C(x2)5(－)4＝126x6， T6＝C(x2)4(－)5＝－126x3. 答案：126x6和－126x3 8．已知(x2－)n展开式中第5项为常数项，则n＝____________． 解析：由题设，Tk＋1＝C(x2)n－k(－)k＝(－3)kCx2n－，由第5项为常数项，得当k＝4时，2n－＝0，可得n＝5. 答案：5 9．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是________． 解析：因为(1－x)5中x3的系数为C(－1)3＝－10，(1－x)6中x3的系数为C(－1)3＝－20， 因此(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数为－10－(－20)＝10. 答案：10 10．(13分)在(2－)6的二项展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(6分) (2)含x2的项．(7分) 解：(1)在(2－)6的展开式中，第3项的二项式系数为C＝15， 第3项为T3＝C(2)4(－)2＝15×24x＝240x，所以第3项的二项式系数为15，系数为240. (2)二项式(2－)6展开式的通项是Tk＋1＝C(2)6-k·(－)k＝(－1)k·26-kCx3-k，k∈N，k≤6， 由3－k＝2，得k＝1，T2＝(－1)1·25Cx2＝－192x2， 所以含x2的项是－192x2. 11．使(3x＋)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B．由题意得，该二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(3x)n－k·＝C·3n－k·xn－k(k∈N且k≤n)，若展开式中含有常数项，则n－k＝0，即n＝k，又因为n∈N*，所以n最小值为5. 12．(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：选C．因为(x＋y)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cx5-kyk，所以(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15. 13．(多选)已知在(－)n的二项展开式中，第6项为常数项，则(　　) A．n＝10 B．展开式中项数共有13项 C．含x2的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 解析：选ACD．依题意，(－)n展开式的通项为Tr＋1＝C·()n－r·(－)r ＝C·(－)r·x， 因为第6项为常数项，所以当r＝5时，有＝0，解得n＝10，故A正确； 由n＝10，得(－)10展开式中项数共有10＋1＝11项，故B错误； 令＝2，得r＝2， 所以含x2的项的系数为C×(－)2＝，故C正确； 由令＝k(k∈Z)， 得10－2r＝3k，即r＝5－k， 因为r∈N，所以k应为偶数，所以k可取2，0，－2，即r可以取2，5，8，所以第3项，第6项，第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确． 14．(15分)已知(＋)n(n＜15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍． (1)求n的值；(7分) (2)写出它展开式中的所有有理项．(8分) 解：(1)(＋)n(n＜15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别是C，C，C. 依题意得，C＋C＝2C，即＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 则n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23. 因为n＜15，所以n＝14. (2)展开式的通项为 Tk＋1＝Cx·x＝Cx7- ， 当且仅当k是6的倍数时，展开式中的项是有理项， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项， 当k＝0时，T1＝Cx7＝x7； 当k＝6时，T7＝Cx6＝3 003x6； 当k＝12时，T13＝Cx5＝91x5. 15．(15分)已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列． (1)求和：a1C－a2C＋a3C，a1C－a2C＋a3C－a4C；(6分) (2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．(9分) 解：(1)a1C－a2C＋a3C＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，a1C－a2C＋a3C－a4C＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3. (2)归纳概括的结论为 若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C＝a1(1－q)n，n为正整数． 证明：a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C＝a1C－a1qC＋a1q2C－a1q3C＋…＋(－1)na1qnC＝a1[C－qC＋q2C－q3C＋…＋(－1)nqnC]＝a1(1－q)n. 学科网（北京）股份有限公司 $