强化课 二项式定理的综合问题 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

一、选择题

1．(2＋)(1－x)7的展开式中x2的系数为(　　)

A．－7     B．7   

C．77     D．－77

解析：选B． (1－x)7的展开式通项为Tr＋1＝C·(－x)r＝(－1)rCxr，故(2＋)(1－x)7的展开式中x2的系数为2×(－1)2C＋(－1)3C＝7.故选B．

2．1.957的计算结果精确到个位的近似值为(　　)

A．106     B．107   

C．108     D．109

解析：选B．因为1.957＝(2－0.05)7＝27－C×26×0.05＋C×25×0.052－…－C×0.057≈107.28≈107.故选B．

3．已知二项式(1－x＋)5的展开式中含的项的系数为－40，则a＝(　　)

A．1     B．2   

C．3     D．4

解析：选B．5表示有5个1－x＋因式相乘，的来源如下：有1个1－x＋提供，有3个1－x＋提供－x，有1个1－x＋提供1，此时的系数是CC·(－1)3a＝－40，解得a＝2.

4．已知(ax＋1)(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝(　　)

A．1     B．－1   

C．2     D．－2

解析：选A.二项式(2x－1)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·(－1)r＝C·26－r·(－1)r·x6－r，所以(ax＋1)·(2x－1)6的展开式中，x5的系数为aC24×(－1)2＋1×C25×(－1)＝15×16a－32×6＝48，解得a＝1.故选A.

5．设的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝(　　)

A．1     B．2   

C．3     D．4

解析：选B．由5＝>>＝4，得的整数部分为4，则＝x＋4，所以(x＋4)4＝258，即Cx4＋4Cx3＋16Cx2＋64Cx＋256C＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋16x3＋96x2＋256x＝2.故选B．

6．已知(2＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为25，则展开式中x的偶次方的系数和为(　　)

A．24     B．48   

C．32     D．16

解析：选B．(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，r＝0，1，…，5，令r＝2，则T3＝Cx2＝10x2；令r＝1，则T2＝Cx＝5x，所以(2＋ax)·(1＋x)5的展开式中含x2的项为10x2×2＋5x×ax＝(5a＋20)x2，即5a＋20＝25，解得a＝1，故(2＋ax)·(1＋x)5＝(2＋x)·(1＋x)5.设(2＋x)·(1＋x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，令x＝－1，则0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，令x＝1，则3×25＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，两式相加得a0＋a2＋a4＋a6＝3×24＝48.故选B．

7．数学家波利亚说过，为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系．这就是算两次原理(富比尼原理).由等式(1＋x)n·(1＋x)n＝(1＋x)2n利用算两次原理可得CC＋CC＋CC＋…＋CC＝(　　)

A．C     B．C

C．C     D．C

解析：选D．依题意(1＋x)n(1＋x)n＝(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)，故CC＋CC＋CC＋…＋CC是(1＋x)n(1＋x)n展开式中xn的系数，而(1＋x)2n展开式中xn的系数为C，所以CC＋CC＋CC＋…＋CC＝C.故选D．

8．(多选)在(1－2x3)(－a)5的展开式中，各项系数的和为1，则(　　)

A．a＝3

B．展开式中的常数项为－32

C．展开式中x4的系数为160

D．展开式中无理项的系数之和为－242

解析：选BC.根据题意令x＝1，得(1－2x3)·(－a)5的展开式中各项系数和为－(1－a)5＝1，则a＝2，A错误；

则(1－2x3)(－a)5＝(1－2x3)(－2)5，又(－2)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－2)kCx，令＝0，解得k＝5，所以展开式中的常数项为1×(－2)5C＝－32，B正确；

含x4的项为－2x3·(－2)3Cx＝160x4，其系数为160，C正确；

展开式中无理项的系数之和为(1－2)×[(－2)0C＋(－2)2C＋(－2)4C]＝－(1＋40＋80)＝－121，D错误．故选BC.

9．(多选)若(2x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，x∈R，则(　　)

A．a0＝1

B．a1＋a2＋…＋a10＝310

C．a2＝180

D．a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×39