6.2.2 第2课时 排列中的综合应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．有5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法为(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 解析：选C．选1人站在甲、乙之间，将三人捆绑看成一个整体有AA种排法．这个整体与其余2人有A种排法．由分步乘法计数原理，得共有AAA＝36种不同站法． 2．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则排放方法一共有(　　) A．42种 B．60种 C．30种 D．36种 解析：选B．由题意得5个编号任意排列，有A种排法，其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目是一样的，所以a排放在b的左边一共有＝60种排法． 3．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　) A．120个 B．80个 C．40个 D．20个 解析：选C．由题意知，可按十位数字的取值进行分类： 第一类，十位数字取9，“伞数”有A个； 第二类，十位数字取6，“伞数”有A个； 第三类，十位数字取5，“伞数”有A个； 第四类，十位数字取4，“伞数”有A个． 所以“伞数”有A＋A＋A＋A＝40(个). 4．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它有红黑两种阵营，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有(　　) A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 解析：选D．先将2个黑色的“将”“车”棋子进行全排列，有A种方法，2个黑色的“将”“车”棋子全排列后形成3个空，将3个红色的棋子插入这3个空中，则有A种方法，则同色棋子不相邻的排列方式有AA＝12(种). 5．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第一名至第五名(没有并列名次).己知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况有(　　) A．27种 B．48种 C．54种 D．72种 解析：选C．由题意，知乙的限制最多，故先排乙，有3种名次排列情况；再排甲，也有3种名次排列情况；余下的3人有A种名次排列情况．故共有3×3×A＝54种不同的名次排列情况． 6．(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　) A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲、乙不相邻的排法有72种 D．甲在乙左边的排法有30种 解析：选BC．如果甲、乙必须相邻，那么将甲、乙捆绑并排序，有A种排法，再将甲、乙捆绑并排序后的整体和剩下的人全排列，有A种排法，则不同的排法共有AA＝2×24＝48(种)，故A错误．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则甲、乙有特殊要求，则不同的排法分为两类，第一类：甲排最左端，则排法有AA＝24(种)；第二类：乙排最左端，且甲不能在最右端，则排法有AAA＝18(种)，所以不同排法共有24＋18＝42(种)，故B正确．甲、乙不相邻的排法有AA＝72(种)，故C正确．甲在乙左边，则二者顺序固定，则不同的排法有＝60(种)，故D错误． 7．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有________个． 解析：满足数字之和为5的两个数字为1和4，2和3，故千位和百位上的数字排列有2A＝4种情况，再考虑个位数，有3种选择，最后考虑十位，有6种选择，故这样的偶数共有4×3×6＝72(个). 答案：72 8．一排6个座位坐了2个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为________．(用数字作答) 解析：由题可知，同一家人座位相邻，将6个座位分成两组，每组3个座位，同一家人相邻的不同坐法种数为2AA＝72. 答案：72 9．航天员在空间站进行某个科学实验，要先后实施A，B，C，D，E，F共6个步骤，其中步骤A只能在第一步或最后一步进行，步骤B，C要求相邻，则不同的实验顺序安排方案有________种．(用数字作答) 解析：首先将步骤B和C捆绑在一起并排列，再和除步骤A之外的3个步骤进行全排列，最后将步骤A排在第一步或最后一步，根据分步乘法计数原理可得AAA＝96(种). 答案：96 10．(13分)7名班委有7种不同的职务，甲、乙、丙为7名班委中的三人，现对7名班委进行具体职务分工． (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任，有多少种不同的分工方案？(6分) (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任，有多少种不同的分工方案？(7分) 解：(1)先安排正、副班长，有A种方案，再安排其余职务有A种方案，由分步乘法计数原理，知共有AA＝720种不同的分工方案． (2)7人中任意分工，有A种不同的分工方案．甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有AA种，因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有A－AA＝3 600(种). 11．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，上午三节，下午三节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　) A．36种 B．72种 C．108种 D．144种 解析：选B．“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，故“数”有A种排法；“射、御”捆绑成一个整体，排到下午，有2A种排法；其余“三艺”全排列有A种排法．故“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有A×2A×A＝72(种). 12．如图，四根绳子上共挂有10个气球，绳子上球的个数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一个气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法数是(　　) A．12 600 B．6 000 C．8 200 D．12 000 解析：选A．根据题意，将10个气球进行编号1～10，如图， 原问题可以转化为编号为1～10的10个气球的排列问题，其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是按从下到上的编号顺序打破的，则有＝12 600种不同打法． 13．由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各位上的数字之和为288，则x＝________． 解析：当x＝0时，千位数不能是0，有A种不同排法，后三位数去掉千位数之外任意排列，所以这四个数字组成没有重复数字的四位数的个数为AA＝3×(1×2×3)＝18，此时所有这些四位数各位上的数字之和为18×(1＋4＋5＋0)＝180，不合题意，舍去； 当x≠0时，这四个数字组成没有重复数字的四位数的个数为A＝1×2×3×4＝24，此时所有这些四位数各位上的数字之和为24×(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2. 答案：2 14．(15分)有4名男同学和3名女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排． (1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(5分) (2)任何两名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(5分) (3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5分) 解：(1)3名女同学是特殊元素，共有A种排法； 由于3名女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4名男同学排队，应有A种排法．由分步乘法计数原理得，有AA＝720种不同的排法． (2)先将男同学排好，共有A种排法，再在这4名男同学排好后形成的5个空当中插入3名女同学，则有A种方法．故符合条件的排法共有AA＝1 440(种). (3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人形成的5个空当中，则有A种排法．所以共有AAA＝960种不同的排法． 15．(15分)从2，3，4，7，9这五个数字中任取3个，组成没有重复数字的三位数． (1)这样的三位数一共有多少个？(5分) (2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？(5分) (3)所有这些三位数的和是多少？(5分) 解：(1)根据题意，从2，3，4，7，9这五个数字中任取3个组成三位数，有A＝60种情况，即有60个符合题意的三位数． (2)根据题意，个位数字为2的三位数有A＝12个，同理，个位数字为3，4，7，9的三位数都有12个，则所有这些三位数的个位上的数字之和为(2＋3＋4＋7＋9)×12＝25×12＝300. (3)根据题意，由(2)的结论，所有这些三位数的个位上的数字之和为300，同理，这些三位数的十位、百位上的数字之和都为300，故所有这些三位数的和为300×100＋300×10＋300＝33 300. 学科网（北京）股份有限公司 $