6.2.4 第1课时 组合数公式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．C×3！的值为(　　) A．10 B．30 C．60 D．180 解析：选C．根据组合数公式，由题意得C×3！＝×3×2×1＝60. 2．从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排种数为(　　) A．A B．C C．2C D．A 解析：选B．由于从5名学生中选出3名学生值日，是一个组合问题，故不同的安排有C种． 3．若A＝C·A，则正整数n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C．因为A＝C·A， 所以n(n－1)(n－2)(n－3) ＝×4×3×2且n≥4，n∈N*， 解得n＝－1(舍去)或n＝6. 4．某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　) A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 解析：选D．从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1(种)，故4人中既有男生又有女生的选法共有35－1＝34(种). 5．用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取一个样本容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．已知该校高二年级共有学生300人，则不同的抽样结果共有(　　) A．C·C·C种 B．C·C·C种 C．A·A·A种 D．A·A·A种 解析：选A．由题意得，高二年级抽45－20－10＝15(人). 因为该校高二年级共有学生300人，所以抽样比为＝＝0.05. 所以高一年级学生共有＝400人，高三年级学生共有＝200人． 所以不同的抽样结果有C·C·C种． 6．(多选)下列等式正确的是(　　) A．C＝ B．C＝C C．C＝C＋C D．nC＝mC 解析：选AB．A是组合数公式，B是组合数性质，所以A，B正确；C＝C＋C，所以C错误； nC＝n·， mC＝m· ＝·， 两者不一定相等，故D错误． 7．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，从正中间到左右两边均由高到低排列，则这样的排法种数是________． 解析：最高的同学站中间，从余下6人中选3人，有C种不同的方法，这3名同学由高到低的排列次序唯一，剩下的3名同学由高到低的排列次序也唯一，所以排法有C＝20(种). 答案：20 8．某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种． 解析：需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有C种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有C种选法．根据分步乘法计数原理，此人有CC＝20×5＝100种不同的投资方式． 答案：100 9．计算：C＋C＝________． 解析：因为 所以≤n≤5.因为n∈N*，所以n＝5， 所以C＋C＝C＋C＝1＋6＝7. 答案：7 10．(13分)(1)计算：C＋C－C；(6分) (2)若C＞3C，求m.(7分) 解：(1)由组合数的性质可得C＋C－C＝C－C＝C－C＝0. (2)根据组合数的定义，得0≤m－1≤8且0≤m≤8， 所以1≤m≤8，由C＞3C，可得＞， 即＞，解得6.75＜m≤8，又因为m∈N*，所以m＝7或m＝8. 11．组合数C＋2C＋C(n≥m≥2，m，n∈N*)恒等于(　　) A．C B．C C．C D．C 解析：选A．组合数C＋2C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＝C. 12．已知C，C，C成等差数列，则C的值为________． 解析：由已知得2C＝C＋C，所以2·＝＋， 整理得n2－21n＋98＝0， 解得n＝7或n＝14， 由于C有意义，所以n≥12， 所以n＝14， 所以C＝C＝＝91. 答案：91 13．男、女学生共有8人，若从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，则其中女生有________人． 解析：设男生有x人，则女生有(8－x)人．因为从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，所以CC＝30，所以x(x－1)(8－x)＝30×2＝6×5×2或x(x－1)(8－x)＝5×4×3，所以x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.所以女生有2人或3人． 答案：2或3 14．(13分)如图，平行直线a，b上分别有4个和5个不同的点． (1)任取这9个点中的2个连一条线段，则一共可以连多少条不同的线段？(4分) (2)任取这9个点中的2个连一条直线，则一共可以连多少条不同的直线？(4分) (3)任取这9个点中的3个首尾相连，则一共可以组成多少个不同的三角形？(5分) 解：(1)因为任意2个不同的点都能连成一条线段，所以一共可以连C＝36条不同的线段． (2)分为两类情况，第一类，当任取的两点同在直线a或直线b上时，共能确定2条不同直线；第二类，当任取的两点，一点在直线a上，一点在直线b上时，共能确定不同直线CC＝20条，因此共能确定不同直线2＋20＝22(条). (3)分两类情况，第一类，在直线a上任取一点，在直线b上任取两点，则能组成CC＝40个不同的三角形；第二类，在直线a上任取两点，在直线b上任取一点，则能组成CC＝30个不同的三角形，因此一共可以组成40＋30＝70个不同的三角形． 15．(15分)规定C＝，其中x∈R，m∈N，且C＝1，这是组合数C(n∈N*，m∈N且m≤n)的一种推广． (1)求C的值；(5分) (2)组合数具有两个性质：①C＝C；②C＋C＝C.这两个性质是否都能推广到C(x∈R，m∈N)？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由．(10分) 解：(1)由题意得C ＝＝－84. (2)性质①不能推广，如当x＝时，C有意义，但C无意义； 性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C(x∈R，m∈N). 证明如下： 当m＝0时，有C＋C＝1＋x＝C； 当m≥1时，有C＋C＝ ＋＝ ＝＝C. 综上，性质②的推广得证． 学科网（北京）股份有限公司 $