6.2.2 第1课时 排列数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.2.2 第1课时 排列数 [课时跟踪检测] 1.×3!= （　　） A.30 B.60 C.90 D.120 解析：选D　×3!=×3!=5!=5×4×3×2×1=120. 2.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为 （　　） A.120 B.86 C.72 D.60 解析：选D　依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为=60. 3.-55-6= （　　） A.0 B.56 C.1 D.42 解析：选A　由题意得-55-6=8×7×6-55×6-6=0×=0. 4.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 （　　） A.36 B.72 C.144 D.240 解析：选B　分步完成：甲不担任四辩，共有3种选择，又因为乙也不担任四辩，共有2种选择，从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有=12种，所以一共有3×2×12=72种. 5.[多选]下列等式正确的是 （　　） A.（n+1）= B.=（n-2）! C.= D.= 解析：选ABD　对于A，（n+1）=（n+1）·===，故A正确；对于B，==（n-2）!，故B正确；对于C，=m!，=，显然≠，故C错误；对于D，=·==，故D正确. 6.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （　　） A.120个 B.80个 C.40个 D.20个 解析：选C　由题意知，可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有个；第二类，十位数字取6，有个；第三类，十位数字取5，有个；第四类，十位数字取4，有个.所以“伞数”的个数为+++=40. 7.（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 （　　） A. B. C. D. 解析：选B　甲、乙、丙、丁四人排成一列共有=24（种）排法.丙不在排头，甲或乙在排尾，则丙在中间两个位置中选一个，有2种选法，甲或乙两人中选一个在排尾也有2种选法，余下2人全排列，有=2（种）排法，故共有2×2×2=8（种）排法，所以所求概率为=. 8.已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）.比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名.”对乙说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为 （　　） A.450 B.480 C.504 D.618 解析：选C　由题意，若甲是最后一名，有=120种不同的方法；若甲不是第一名也不是最后一名，则有=384种不同的方法，所以6人的名次排列的不同方法的种数为120+384=504. 9.用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有 （　　） A.384种 B.168种 C.108种 D.192种 解析：选D　先给2，5染色，有种方法，若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则1，4有2×1=2种涂法.因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有×（2+2）2=192种. 10.（5分）不等式3+12≤11，其中x∈N*的解集为　　　　.  解析：由题知，x≥2，且x∈N*， 又3+12≤11⇔3（x+2）（x+1）+12x（x-1）≤11（x+1）x， 即2x2-7x+3≤0， 解得≤x≤3，故x=2或x=3， 所以原不等式的解集为{2，3}. 答案：{2，3} 11.（5分）一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m（m>1）个车站，客运车票增加了58种，则n=　　　　，m=　　　　.  解析：由题意可得-=（n+m）（n+m-1）-n（n-1）=m（2n+m-1）=58， 因为m，n均为正整数，所以2n+m-1也为正整数， 且2n+m-1>m>1，所以 解得 答案：14　2 12.（5分）甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是　　　　.（用数字作答）  解析：以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有种情况，其中乙在甲左边或右边，即甲与乙能牵手有2种情况，所以所求概率为P===. 答案： 13.（10分）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序. （1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案?（5分） （2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案?（5分） 解：（1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则从其余四件艺术作品中选一件排在第一个展出，剩下的四件全排列，则共有=96种不同的安排方案. （2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则将这两件艺术作品捆绑在一起，看作一件作品，再与其余三件艺术作品全排列，故有=48种不同的安排方案（注意捆绑的组内还需全排列）. 14.（10分）（1）化简：1!+2·2!+3·3!+…+n·n!.（5分） （2）设n∈N*，且n≥3，证明：+++…+<.（5分） 解：（1）原式=1+（3-1）·2!+（4-1）·3!+…+（n+1-1）·n!=（2!-1）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+[（n+1）!-n!]=（n+1）!-1. （2）证明：因为= =，所以左边 ===<=，故原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $