7.3.1 离散型随机变量的均值（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，涵盖定义、两点分布均值、性质及应用。课堂导入以商场混合糖果定价问题引发思考，通过西瓜重量实例构建分布列，逐步抽象出均值概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动，如粽子选取、零件购买等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过推导均值性质的逻辑推理发展数学思维，总结求均值四步法帮助学生用数学语言表达问题，提升应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 1 新课导入 学习目标 　　某商场举办一场销售活动，将单价为18元/千克、24元/千克、36元/千克的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，以此满足顾客的需求．则该糖果的价格定为多少元才合理？这就是今天我们要学习的内容． 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及均值的概念． 2．会根据离散型随机变量的分布列求均值． 3．掌握两点分布的均值． 4．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　离散型随机变量的均值 已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个． 思考1　若任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列． 返回导航 思考2　如何求西瓜的平均重量？ 返回导航 [知识梳理] 1．均值的定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 返回导航 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 3．均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的________． 平均水平 返回导航 [例1] (对接教材例2)端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中装有除口味外其余完全相同的10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，从中任意选取3个．设X表示取到豆沙粽的个数，求X的分布列与均值． 返回导航 返回导航 求离散型随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k). (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X). 返回导航 [跟踪训练1] 盒中装有5节同品牌的5号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． 返回导航 二　离散型随机变量均值的性质 思考　如果X是一个离散型随机变量，E(X＋b)和E(aX)(其中a，b为常数)分别与E(X)有怎样的关系？ X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 提示：设离散型随机变量X的分布列为     则E(X＋b)＝(x1＋b)p1＋(x2＋b)p2＋…＋(xn＋b)pn＝(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)＝E(X)＋b.类似地，可得E(aX)＝aE(X). 返回导航 [知识梳理] 如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝______________． aE(X)＋b 返回导航 返回导航 (2)若Y＝2X－3，求E(Y). 返回导航 返回导航 返回导航 母题探究2　本例条件不变，求E(X－E(X))的值． 方法二：E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0. 返回导航 求随机变量Y＝aX＋b的均值的方法 (1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解即可． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 (1)求对于这道多选题，可能的答案有几种情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率； 返回导航 (2)从这道题得分的均值来看，小明应该只选一个选项，还是选两个选项，还是选三个选项？ 返回导航 返回导航 返回导航 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化． (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值． (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断． 返回导航 [跟踪训练3] 某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案： ①以100箱为基准，每多50箱送5箱； ②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4. 某单位需要这种零件650箱，以购买总价的均值为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？ 返回导航 解：若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120 000(元). 若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X的可能取值为184，188. 返回导航 X的分布列为     则在折扣优惠中每箱零件价格的均值E(X)＝184×0.6＋188×0.4＝185.6. 则购买总价的均值为185.6×650＝120 640(元). 因为120 640＞120 000，所以选择方案①更划算． X 184 188 P 0.6 0.4 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 32 1．已知随机变量X服从两点分布，E(X)＝0.6，则其成功概率为(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 解析：因为随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，所以E(X)＝p＝0.6.故选D． √ 返回导航 2．已知随机变量X的分布列为     若随机变量Y＝3X－1，则E(Y)＝(　　) A．4.2 B．18.9 C．5.3 D．随m变化而变化 √ X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 返回导航 解析：由0.2＋0.5＋m＝1， 解得m＝0.3， 所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1. 又Y＝3X－1， 所以E(Y)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3. 返回导航 3．掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为________． 返回导航 4．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元的价格处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(单位：束)的统计(如表)，计算在今年节日期间进这种鲜花500束的利润的均值． X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 返回导航 解：节日期间这种鲜花需求量的均值为 E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340. 设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450， 所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706. 所以在今年节日期间进这种鲜花500束的利润的均值为706元． 返回导航 1．已学习：(1)离散型随机变量的均值；(2)离散型随机变量均值的性质；(3)离散型随机变量的均值的实际应用． 2．须贯通：定义法求离散型随机变量X的均值的四个步骤：写出X所有可能的取值；求出X取每个值时的概率P；写出分布列；利用定义求E(X)并回答均值所表示的结论． 3．应注意：不会应用均值对实际问题作出正确分析． 返回导航 提示：X的分布列为 X 5 6 7 P 【解】　由题意，得X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 解：X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝，所以抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. [例2] 已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m (1)求E(X)； 方法二：因为Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝－7×－5×－3×－1×＋1×＝－. [跟踪训练2] 已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝，X的分布列为 X －1 0 1 P a b 则(　　) A．a＝，b＝　　　 B．a＝，b＝ C．a＝，b＝ D．a＝，b＝ 【解】　如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0，2.小明得2分，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有C种，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有C种，于是P(X＝2)＝＝，P(X＝0)＝1－P(X＝2)＝，则X的分布列为 X 0 2 P E(X)＝0×＋2×＝.如果小明选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，Y＝5的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，Y＝2的事件是有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有C种，P(Y＝5)＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝0)＝1－P(Y＝2)－P(Y＝5)＝， 则Y的分布列为 Y 0 2 5 P E(Y)＝0×＋2×＋5×＝.如果小明选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0，5，且P(Z＝5)＝，P(Z＝0)＝1－P(Z＝5)＝， 故Z的分布列为 Z 0 5 P E(Z)＝0×＋5×＝. 因为E(X)＞E(Y)＞E(Z)，所以从这道题得分的均值来看，小明应该只选一个选项． $