7.3.1 离散型随机变量的均值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“离散型随机变量的均值”核心知识点，通过课前预习学案奠定基础，课堂互动学案衔接前后知识，构建从预习到课堂探究的完整学习支架，帮助学生逐步理解随机变量数字特征的概念与应用。 其亮点在于分课前、课堂、课后三阶段设计，融入数学思维与数学语言素养。课堂互动通过问题链引导逻辑推理，课后素养提升与课时作业结合真实情境，既培养学生的理性思维，又增强应用意识，助力教师高效教学，促进学生深度学习。

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 第七章 随机变量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课后 素养提升 03 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 课程标准 素养解读 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值 2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题 1.通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养 2.借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养 [情境引入] 某人从家乘汽车到单位，途中有三个交通岗亭，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，且概率都为0.4，你能求出此人上班途中遇红灯次数的期望值吗？ [知识梳理] [知识点一]　离散型随机变量的均值 1．定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X X1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝＝ 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)． 2．意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的　平均水平　. 3．性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝　aE(X)＋b　. 随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系？ 提示：随机变量的均值是常数，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值． [知识点二]　两点分布的均值 若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝　p　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( × ) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．( × ) (3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( √ ) 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(3,5) eq \f(3,10) eq \f(1,10) 则X的均值E(X)＝(　　) A.eq \f(3,2)　　 B．2　　　 C.eq \f(5,2)　 　　 D．3 解析：A　[E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).] 3．已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,6) A 设Y＝6X＋1，则Y的均值E(Y)＝　________　. 解析：由已知得eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＋a＝1，解得a＝eq \f(1,3)， 则E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,3)＝－eq \f(1,6). 则E(Y)＝6E(X)＋1＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝0. 答案：0 离散型随机变量的均值公式及性质 [例1]　(1)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： ①甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； ②甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值． [思路点拨]　①可先求“甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率； ②先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值． 解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数． ①设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则eq \x\to(A)表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(eq \x\to(A))＝1－eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5). ②ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 P(ξ＝0)＝eq \f(5,C\o\al(2,6))＝eq \f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq \f(4,C\o\al(2,6))＝eq \f(4,15)， P(ξ＝2)＝eq \f(3,C\o\al(2,6))＝eq \f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq \f(2,C\o\al(2,6))＝eq \f(2,15)， P(ξ＝4)＝eq \f(1,C\o\al(2,6))＝eq \f(1,15).从而知ξ的分布列为 Ξ 0 1 2 3 4 P eq \f(1,3) eq \f(4,15) eq \f(1,5) eq \f(2,15) eq \f(1,15) 所以E(ξ)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(4,15)＋2×eq \f(1,5)＋3×eq \f(2,15)＋4×eq \f(1,15)＝eq \f(4,3). (2)已知随机变量X的分布列如表： X －2 －1 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) m eq \f(1,20) ①求m的值； ②求E(X)； ③若Y＝2X－3，求E(Y)． [思路点拨]　直接利用公式求解． 解：①由随机变量分布列的性质，得 eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，解得m＝eq \f(1,6). ②E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30). ③由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得 E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq \f(62,15). 1．求离散型随机变量X的均值的一般步骤 2．对于aX＋b型的随机变量的求均值的方法 (1)利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解． [变式训练] 1．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＋b等于　________　. 解析：易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.① 由分布列的性质，得(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1.②由①②得a＝eq \f(1,10)，b＝0.所以a＋b＝eq \f(1,10). 答案：eq \f(1,10) 两点分布的均值 [例2] (多选)已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为Xi(i＝1,2,3)(甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应i＝1,2,3)，则 (　　) A．X1，X2，X3的所有取值分别为0,1 B．X1，X2，X3服从两点分布 C．E(X1)<E(X3)<E(X2) D．E(X1)>E(X3)>E(X2) [思路点拨]　先判断是否服从两点分布再直接利用公式求解． ABD　[依题意，X1的所有取值为0,1.其中P(X1＝0)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，P(X1＝1)＝eq \f(1,3)×1＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，所以随机变量X1的分布列为： X1 0 1 P eq \f(1,3) eq \f(2,3) X1服从两点分布，所以E(X1)＝eq \f(2,3)；同理，X2的所有取值为0,1.P(X2＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，P(X2＝0)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×1＝eq \f(2,3)，所以随机变量X2的分布列为： X2 0 1 P eq \f(2,3) eq \f(1,3) X2服从两点分布，所以E(X2)＝eq \f(1,3)；X3的所有取值为0,1，P(X3＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(2,3)＋\f(1,3)×\f(1,3)))×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×1＝eq \f(1,2)，P(X3＝1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(2,3)＋\f(1,3)×\f(1,3)))×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×1＝eq \f(1,2)，所以随机变量X3的分布列为： X3 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,2) X3服从两点分布，所以E(X3)＝eq \f(1,2)，所以E(X1)>E(X3)>E(X2)．] 如果随机变量服从两点分布，则直接利用两点分布的均值公式计算． [变式训练] 2．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 解：由已知，X服从两点分布，且 P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2 所以E(X)＝0.8. 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. [当堂达标] 1．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0　　　 B.eq \f(1,2)　　　 C．1　　　 D．－1 解析：A　[因为P(X＝1)＝eq \f(1,2)，P(X＝－1)＝eq \f(1,2)，所以由均值的定义得E(X)＝1×eq \f(1,2)＋(－1)×eq \f(1,2)＝0.] 2．若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,6) eq \f(1,3) 则E(X)＝(　　) A．0　 B．－1　　 C．－eq \f(1,6)　　 D．－eq \f(1,2) 解析：C　[E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,3)＝－eq \f(1,6).] 3．某射手射击所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P X 0.1 0.3 y 已知E(X)＝8.9，则y＝　________. 解析：由题意知 解得. 答案：0.4 4．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则E(X)＝　________　，a＝　________　. 解析：E(X)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3). 因为Y＝aX＋3，所以E(Y)＝aE(X)＋3＝eq \f(5,3)a＋3＝－2.解得a＝－3. 答案：eq \f(5,3)　－3 5．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望． 解：X可取的值为1,2,3， 则P(X＝1)＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)， 则P(X＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×1＝eq \f(1,10). 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(3,5) eq \f(3,10) eq \f(1,10) E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2). $