第8章 阶段提升(五) 成对数据的统计分析(范围：8.1～8.3)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦成对数据的统计分析，系统梳理线性回归分析（含散点图、残差图及经验回归方程求解）、非线性回归模型（如对数变换线性化）、独立性检验（列联表与χ²检验）及概率统计综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料以现实情境例题（如水果人均占有量、工厂产品质量）引导学生用数学眼光观察，通过残差分析、模型转换培养数学思维，借助列联表和数据计算强化数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后学生可依详细解析查漏补缺。

阶段提升(五)　成对数据的统计分析(范围：8.1～8.3) 题型一　线性回归分析 [例1] 根据某地2018年～2024年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和残差图(2018年～2024年的年份代码x分别为1～7)，如图所示． (1)根据散点图分析y与x之间的相关关系； (2)根据散点图相应数据计算得i＝1 074，iyi＝4 517，求y关于x的经验回归方程；(精确到0.01) (3)根据残差图，分析经验回归方程的拟合效果． 【解】　(1)根据题中散点图可知，散点均匀分布在一条直线附近，且随着x的增大，y增大，故y与x具有线性相关关系，且为正相关． (2)依题意得，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， ＝i＝×1 074≈153.43， ＝＝≈7.89， ＝－≈153.43－7.89×4＝121.87， 所以y关于x的经验回归方程为＝7.89x＋121.87. (3)由题中残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，经验回归方程的预测精度较高． 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．其基本步骤为通过散点图和经验选择经验回归方程的类型，然后通过一定的规则确定出相应的经验回归方程，通过一定的方法进行检验，最后应用于实际或对响应变量进行预测． 题型二　非线性回归模型 [例2] 某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(单位：g)与尺寸x(单位：mm)之间近似满足关系式y＝axb(a，b均为大于0的常数)，现随机抽取6件合格产品，测得数据如下表： 尺寸/mm 38 48 58 68 78 88 质量/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 对数据作了处理，相关统计量的值如下表： (ln xi·ln yi) (ln xi) (ln yi) (ln xi)2 75.4 24.6 18.3 101.5 根据所给数据，求y关于x的经验回归方程．(结果保留2位小数．提示：由已知，ln y与ln x呈线性相关关系) 【解】　对y＝axb(a＞0，b＞0)两边取自然对数得ln y＝b ln x＋ln a， 令vi＝ln xi，ui＝ln yi(i＝1，2，3，4，5，6)，得u＝bv＋ln a，所以＝(ln xi)＝＝4.1，＝(ln yi)＝＝3.05.因为＝＝≈0.58，所以ln ＝－＝3.05－×4.1≈0.68，得＝e0.68， 故所求经验回归方程为＝e0.68x0.58. 在实际问题中，并非所有的变量关系均满足线性关系，故要选择适当的函数模型去拟合样本数据，再通过代数变换，把非线性问题线性化． 题型三　独立性检验 [例3] (2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别　　 　　　　　 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解】　(1)根据题表数据可知，超声波检查结果不正常的有200人，其中患该疾病的有180人，因此估计超声波检查结果不正常者患该疾病的概率p＝＝. (2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关． 根据题中列联表数据，计算得χ2＝＝765.625＞10.828. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. 独立性检验研究的问题是依据小概率值分析两个分类变量之间是否有关系，为此需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变量是否有关系．另外等高堆积条形图能更直观地反映两个分类变量之间的情况．独立性检验的思想是：可以先假设二者无关系，求随机变量χ2的值，若χ2不小于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设． 题型四　概率与统计的综合 [例4] “支付宝捐步”已经成为当下热门的健身方式之一.55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关． 第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 步数y 4 000 4 200 4 300 5 000 5 500 (1)根据上表数据，建立y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)记由(1)中经验回归方程得到的预测步数为y′，若从5天中任取3天，记y′＜y的天数为Z，求Z的分布列及均值． 附：＝，＝－. 【解】　(1)＝＝3， ＝＝4 600， iyi＝1×4 000＋2×4 200＋3×4 300＋4×5 000＋5×5 500＝72 800， ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， 故＝＝ ＝＝380， ＝－＝4 600－380×3＝3 460. 所以y关于x的经验回归方程为＝380x＋3 460. (2)把x＝1，2，3，4，5分别代入经验回归方程中，求出每天的预测步数，如表， 第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 步数y 4 000 4 200 4 300 5 000 5 500 预测 步数y′ 3 840 4 220 4 600 4 980 5 360 所以y′＜y的天数为3， 所以Z的可能取值为1，2，3， P(Z＝1)＝＝， P(Z＝2)＝＝， P(Z＝3)＝＝， 所以Z的分布列为 Z 1 2 3 P E(Z)＝1×＋2×＋3×＝. [例5] 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人． (1)完成下面的列联表，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为平均车速与性别有关； 单位：人 性别 平均车速 合计 超过100 km/h 不超过100 km/h 男 女 合计 (2)用上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且平均车速超过100 km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和均值． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 【解】　(1)完成列联表如下： 单位：人 性别 平均车速 合计 超过100 km/h 不超过100 km/h 男 40 15 55 女 20 25 45 合计 60 40 100 零假设为H0：平均车速与性别无关． 由表中数据计算得χ2＝≈8.249＞6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为平均车速与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. (2)根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且平均车速超过100 km/h的概率为＝. X的可能取值为0，1，2，3，且X～B， P(X＝0)＝C××＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝. 概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点，它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性． 学科网（北京）股份有限公司 $