8.1 成对数据的统计相关性（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦成对数据的统计相关性，系统梳理相关关系的概念、散点图判断线性相关及样本相关系数的统计含义与应用，构建从实际问题导入到定性分析再到定量计算的学习支架。 以生活实例（如水稻产量与施肥量）导入，培养数学眼光观察现实世界，通过思考问题和即时练发展数学思维，结合散点图绘制和相关系数计算强化数学语言表达。课中例题解析助力理解，课后练习题帮助查漏补缺，提升教学效果。

8．1　成对数据的统计相关性 新课导入 学习目标 　　有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系．我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量．这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 1.了解变量间的相关关系，会画散点图． 2．会用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系和线性相关关系． 3．结合实例，了解样本相关系数的统计含义． 4．会通过样本相关系数判断多组成对样本数据的相关性． 一　相关关系的概念 (1)正方体的体积与棱长； (2)一块农田的水稻产量与施肥量； (3)人的身高与年龄； (4)角度和它的余弦值． 思考1　上述两个变量是否都存在关系？ 提示：都存在． 思考2　它们是否是函数关系？ 提示：(1)(4)是函数关系；(2)(3)不是函数关系． [知识梳理] 相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． [即时练] 1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是(　　) A．等边三角形的边长a与其面积S B．匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间t C．杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r D．某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x 解析：选C.A错，因为S＝a2，所以等边三角形的边长a与面积S是确定的函数关系；B错，设匀速直线行驶的汽车的速度为v，则s＝vt，所以位移s与行驶时间t是确定的函数关系；C对，杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r具有相关关系，通常情况下，土壤湿润度r在一定程度上会影响杂交水稻植株的高度h；D错，因为班级某次数学考试的平均分x等于班级总分除以学生人数n，所以当某班总分确定的情况下，班级的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x是一种确定关系． 2．(多选)下列两个变量存在相关关系的为(　　) A．扇形的半径与面积之间的关系 B．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C．人的身高与体重之间的关系 D．家庭的支出与收入之间的关系 解析：选BCD.扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系． 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 二　散点图及线性相关 [知识梳理] 1．散点图：把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． 2．正相关与负相关：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关． 3．线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． [例1] 某商场五天内某种T恤衫的销售情况如下表： 第x天 1 2 3 4 5 销售量y/件 19 39 59 79 104 (1)画出散点图； (2)判断y与x两个变量之间是否存在相关关系，如果存在，请指出是正相关还是负相关． 【解】　(1)根据题表中的数据，作出散点图，如图所示． (2)由散点图可知，散点落在一条直线附近，所以y与x具有线性相关关系，且当x的值增加时，y的值也呈现增加的趋势，所以y与x正相关． 由散点图判断线性相关的方法 (1)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在平面直角坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论． (2)利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现． [跟踪训练1] (1)下列图中，能反映出相应两个变量之间具有线性相关关系的是(　　) 解析：选B.A错，由题图可知，两个变量间是确定的函数关系，不是相关关系；B对，由散点图可知，散点落在一条直线附近，所以两个变量具有线性相关关系；C错，由散点图可知，散点分布没有什么规律，故两个变量没有相关关系；D错，由散点图可知，散点分布在一条曲线附近，所以两个变量具有相关关系，但不是线性相关关系． (2)(多选)某校地理学兴趣小组在某座山上测得不同位置的海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．沸点与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与气压呈负相关 解析：选BC.由题图1知气压随海拔高度的增加而减小，由题图2知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，故B，C正确，A，D错误． 三　样本相关系数 [知识梳理] 1．样本相关系数计算公式 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和，则r＝＝ .称r为变量x和变量y的样本相关系数. 2．样本相关系数的性质 (1)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]； (2)当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，称成对样本数据负相关； (3)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． [例2] (多选)变量x，y的样本相关系数为r1，变量m，n的样本相关系数为r2，下列说法正确的有(　　) A．若|r1|＝0.96，则说明变量x，y之间线性相关程度强 B．若r1＞r2，则说明变量x，y之间的线性相关程度比变量m，n之间的线性相关程度强 C．若0＜r1＜1，则说明变量x，y之间的相关性为正相关 D．若r1＝0，则说明变量x，y之间没有线性相关关系 【解析】　若r1＝0.2，r2＝－0.3，满足r1＞r2，但是不能说明变量x，y之间的线性相关程度比变量m，n之间的线性相关程度强，故B选项错误，其余选项均正确． 【答案】　ACD 关于样本相关系数的性质 (1)关注三个关键点，0＜r＜1时正相关；－1＜r＜0时负相关；|r|越大线性相关程度越强． (2)明确三种特例：r＝0时没有相关关系；r＝±1时变量为函数关系． [跟踪训练2] (1)对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量样本相关系数的比较，正确的是(　　) A．r1＞r2＞r3 B．r2＞r3＞r1 C．r1＞r3＞r2 D．r3＞r2＞r1 解析：选C.题图1中两个变量正相关，故r1＞0；题图2，3中两个变量负相关，且题图2中两变量的相关程度更强，故r2＜r3＜0.综上，r1＞r3＞r2.故选C. (2)两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.785 9，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　) A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关程度较强 B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关程度较强 C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关程度较强 D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关程度较强 解析：选C.由样本相关系数r1＝0.785 9＞0知x与y正相关，由样本相关系数r2＝－0.956 8＜0知u与v负相关．又|r1|＜|r2|，所以变量u与v的线性相关程度比x与y的线性相关程度强． 应用点　相关系数的实际应用 [例3] (对接教材例1)为了对某校月考成绩进行分析，从数学与物理成绩在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如表所示： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩x 68 72 78 81 85 88 91 93 物理成绩y 70 66 81 83 79 80 92 89 用变量y与x的样本相关系数r(精确到0.01)说明物理成绩y与数学成绩x的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征． 参考数据：iyi＝52 957，·≈545.82. 【解】　＝＝82， ＝＝80， r＝≈≈0.87＞0. 所以，由样本估计总体，可知物理成绩y与数学成绩x的线性相关程度较强，且呈正相关，它们的变化趋势相同． 样本相关系数的计算步骤 第一步：求出，的值； 第二步：求出(xi－)(yi－)，(xi－)2， (yi－)2(或iyi，，)的值 第三步：代入公式计算得结果 [跟踪训练3] 近年来，网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数xi，yi(i＝1，2，3，4，5)，数据如下表： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A指标数x 2 4 5 6 8 B指标数y 3 4 4 4 5 经计算，＝2，＝， 试求y与x之间的样本相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关程度？ 参考数据：≈0.55，≈0.95. 解：由题表中的数据，可得＝＝5，＝＝4，且(xi－)(yi－)＝6， 则r＝＝＝≈0.95， 因为r≈0.95，所以可以推断y与x正线性相关，且线性相关程度较强． 1．下列各关系中不属于相关关系的是(　　) A．产品的成本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．空气污染指数与汽车保有量 D．人的年龄与体重 解析：选B.因为S球＝4πR2，所以V球＝πR3＝S球，是函数关系．故选B. 2．(2025·天津卷)已知r为相关系数，则下列说法中错误的是(　　) A．若X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ) B．若X～N(1，22)，Y～N(2，22)，则P(X＜1)＜P(Y＜2) C．|r|越接近1，线性相关程度越强 D．|r|越接近0，线性相关程度越弱 解析：选B.A选项，由X～N(μ，σ2)，可知正态曲线关于直线x＝μ对称，故有P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)，A正确；B选项，由X～N(1，22)，可知P(X<1)＝0.5，由Y～N(2，22)，可知P(Y<2)＝0.5，故P(X<1)＝P(Y<2)，B错误；C选项，样本相关系数r的范围是[－1，1]，|r|越接近于1，则两个变量之间线性相关程度越强，C正确；D选项，样本相关系数r接近于0时，两个变量之间几乎没有线性相关性，D正确．故选B. 3．如图，有6组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的5组数据的线性相关程度变强(　　) A．A B．B C．C D．D 解析：选C.根据题中散点图知去掉C后，剩下的五组数据的线性相关程度变强． 4．某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 5 6 7 8 y 10 8 7 3 试计算x，y之间的样本相关系数r(结果保留4位小数)，并刻画它们的线性相关程度． 参考数据：(xi－)(yi－)＝－11，(xi－)2＝5, (yi－)2＝26，≈11.401 8. 解：由题意知，样本相关系数 r＝＝ ≈－0.964 8. 因为|r|≈0.964 8接近1， 所以y与x之间的线性相关程度很强． 1．已学习：(1)相关关系的概念；(2)散点图与变量的相关关系；(3)样本相关系数及其实际应用． 2．须贯通：判断变量x和y是否具有线性相关关系的两种方法：(1)散点图法：直观观察散点是否分布在一条直线的附近；(2)样本相关系数法：|r|越接近1，说明变量间的线性相关程度越强． 3．应注意：相关关系的非确定性；样本相关系数的计算公式记错记混． 学科网（北京）股份有限公司 $