第7章 阶段提升(四) 二项分布与超几何分布、正态分布（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

阶段提升(四)　二项分布与超几何分布、正态分布

(范围：7.4～7.5)

题型一　二项分布

1．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑落，从最下面的六个出口出来，规定猜中珠子出口者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口4出来，那么你取胜的概率为(　　)

A．　　　　　　 B．

C．    D．以上都不对

解析：选C.从入口到出口4共有C＝10种走法，其中每一岔口的概率都是，所以珠子从出口4出来的概率为C×()5＝.

2．(多选)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C()k()n－k，k＝0，1，2，…，n，且E(X)＝24，则下列结论正确的是(　　)

A．n＝36    B．n＝40

C．D(X)＝8    D．D(X)＝16

解析：选AC.由题意可知X～B(n，)，所以n＝E(X)＝24，所以n＝36.所以D(X)＝n××(1－)＝×36＝8.

3．学校组织某种知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分．已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．

(1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率；

(2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？

解：(1)设小华和小夏答对的题目个数分别为a1和a2，

则所求的概率p＝P(a1＝2，a2＝3)＋P(a1＝3，a2＝2)＋P(a1＝3，a2＝3)

＝C×()2××()3＋()3×C×()2×＋()3×()3＝，

故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为.

(2)依题意知“华夏组合”在竞赛中得20分的轮数X满足X～B(n，p)，

由(1)得p＝，

由np≥5⇒n≥5⇒n≥≈8.4.

所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛．

(1)解题的关键是判定随机变量X服从二项分布，确定参数n和p的值．

(2)根据二项分布的概率列出分布列．

(3)利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差．

题型二　超几何分布

1．某校为全体高中生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门．学校要求每位高中生在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中生中随机抽取一名学生，设该学生选择了X门人文社科类的校本课程，则下列概率中等于的是(　　)

A．P(X≤3)    B．P(X＝3)

C．P(X≤5)    D．P(X＝5)

解析：选D.从15门校本课程中选8门，共有C种选法．CC表示从6门人文社科类的校本课程中选5门，从其他9门校本课程中选3门，所以P(X＝5)＝.

2．近几年，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段．某汽车厂为把好质量关，对送来的某批汽车零部件进行检测．

(1)若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率；

(2)若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数X的分布列及均值．

解：(1)记“至少有1个零部件合格”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－(1－0.9)3＝0.999.

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝；

P(X＝2)＝＝.

所以随机变量X的分布列为