第7章 阶段提升(四) 二项分布与超几何分布、正态分布（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦二项分布、超几何分布、正态分布核心知识点，系统梳理二项分布的参数确定与均值方差计算，超几何分布的模型特征，两者在放回与不放回抽样中的区别，以及正态分布的对称性和3σ原则，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过游戏出口概率、知识竞赛得分等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实问题中的概率模型，通过对比分析培养逻辑推理思维，以分布列、概率计算等数学语言表达解决过程。课中辅助教师系统授课，课后借助跟踪训练和方法总结，助力学生查漏补缺，提升应用意识。

阶段提升(四)　二项分布与超几何分布、正态分布 (范围：7.4～7.5) 题型一　二项分布 1．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑落，从最下面的六个出口出来，规定猜中珠子出口者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口4出来，那么你取胜的概率为(　　) A．　　　　　　 B． C． D．以上都不对 解析：选C.从入口到出口4共有C＝10种走法，其中每一岔口的概率都是，所以珠子从出口4出来的概率为C×()5＝. 2．(多选)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C()k()n－k，k＝0，1，2，…，n，且E(X)＝24，则下列结论正确的是(　　) A．n＝36 B．n＝40 C．D(X)＝8 D．D(X)＝16 解析：选AC.由题意可知X～B(n，)，所以n＝E(X)＝24，所以n＝36.所以D(X)＝n××(1－)＝×36＝8. 3．学校组织某种知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分．已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率； (2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？ 解：(1)设小华和小夏答对的题目个数分别为a1和a2， 则所求的概率p＝P(a1＝2，a2＝3)＋P(a1＝3，a2＝2)＋P(a1＝3，a2＝3) ＝C×()2××()3＋()3×C×()2×＋()3×()3＝， 故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为. (2)依题意知“华夏组合”在竞赛中得20分的轮数X满足X～B(n，p)， 由(1)得p＝， 由np≥5⇒n≥5⇒n≥≈8.4. 所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛． (1)解题的关键是判定随机变量X服从二项分布，确定参数n和p的值． (2)根据二项分布的概率列出分布列． (3)利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差． 题型二　超几何分布 1．某校为全体高中生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门．学校要求每位高中生在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中生中随机抽取一名学生，设该学生选择了X门人文社科类的校本课程，则下列概率中等于的是(　　) A．P(X≤3) B．P(X＝3) C．P(X≤5) D．P(X＝5) 解析：选D.从15门校本课程中选8门，共有C种选法．CC表示从6门人文社科类的校本课程中选5门，从其他9门校本课程中选3门，所以P(X＝5)＝. 2．近几年，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段．某汽车厂为把好质量关，对送来的某批汽车零部件进行检测． (1)若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率； (2)若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数X的分布列及均值． 解：(1)记“至少有1个零部件合格”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－(1－0.9)3＝0.999. (2)由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k值的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差． 题型三　二项分布与超几何分布的区别与联系 [典例] 高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球、20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回， ①求中一等奖的概率； ②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【解】　(1)若摸出后放回，设摸到白球的个数为ξ，则ξ～B， 中一等奖的概率为P(ξ＝1)＝C14＝. (2)设X表示取到的红球个数，则X服从超几何分布，且N＝30，M＝10，n＝5， ①由公式得，P(X＝4)＝＝， 所以中一等奖的概率为. ②X的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 P＝P＋P＋P＝＋＋＝， 故中奖的概率为. 区别二项分布与超几何分布的方法 一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“伯努利试验”，对于抽样，则是有放回抽样．当产品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布．解题时应从本质上给予区分，切忌混淆． [跟踪训练] 某企业举行“猜灯谜”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0<p<1)，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围． 解：(1)设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的可能取值为2，3，4. P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝＝， 故小张猜中谜语道数的分布列为 X 2 3 4 P 设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y～B(4，p)，Y的可能取值为0，1，2，3，4， P(Y＝0)＝(1－p)4， P(Y＝1)＝Cp(1－p)3＝4p(1－p)3， P(Y＝2)＝Cp2(1－p)2＝6p2(1－p)2， P(Y＝3)＝Cp3(1－p)＝4p3(1－p)， P(Y＝4)＝p4. 故小王猜中谜语道数的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P (1－p)4 4p· (1－p)3 6p2· (1－p)2 4p3· (1－p) p4 (2)由(1)可知E(X)＝2×＋3×＋4×＝3，E(Y)＝4p，若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3>4p，可得0<p<. 题型四　正态分布 1．已知X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)，如图所示的是X，Y，Z的正态密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别为(　　) A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 答案：A 2．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析：选BC.依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.8>0.5，C正确，D错误；因为X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)，因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)<0.2<0.5，B正确，A错误，故选BC. 3．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩X～N(100，a2)(a>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在[80，120]的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩高于120分的学生约有______________人． 解析：因为成绩X～N(100，a2)，所以其正态曲线关于直线x＝100对称，又成绩在[80，120]的人数约为总人数的，由对称性知，成绩在(120，150]分的人数约为总人数的×(1－)＝，所以此次数学考试成绩高于120分的学生约有×600＝120(人). 答案：120 (1)正态分布是连续型随机变量服从的一种概率分布，其正态密度曲线具有完美的对称性． (2)正态分布在三个特殊区间的概率值及3σ原则． 学科网（北京）股份有限公司 $