第7章 阶段提升(三) 随机变量及其分布列(范围：7.1～7.3)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

阶段提升(三)　随机变量及其分布列(范围：7.1～7.3)

题型一　条件概率与全概率公式

[例1] 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件．

(1)求抽到不合格品的概率是多少？

(2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少？

【解】　(1)设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，

Bk表示“任取一件产品，结果是第k条流水线生产的产品”，k＝1，2，3，4，

由题意，P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，

且P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，

P(A|B4)＝0.02，

从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是

P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)

＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.031 5.

(2)结合第(1)问知P(B2|A)＝＝＝＝.

(1)计算条件概率时，应明白是在谁的条件下，计算谁的概率；明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．

(2)理解全概率公式P(B)＝中化整为零的计算思想．

[跟踪训练1] (1)若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球(球除颜色外完全相同)，现从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于或等于，则x的最大值为(　　)

A．4    B．5   

C．6    D．7

解析：选C.设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝·＋·＋·＝≥， 解得x≤6，则x的最大值为6.

(2)已知A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________．

解析：由题意知，甲选到A的概率P＝＝.记乙选择A活动为事件M，乙选择B活动为事件N，则P(M)＝＝，P(MN)＝＝，所以P(N|M)＝＝＝.

答案：　

题型二　与均值和方差有关的最值

[例2] 甲、乙、丙三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为p1，p2，p3，且0＜p3＜p2＜p1＜1，现

需要他们三人制作一次，如果有一个人制作失败，则换下一个人重新制作，陶器制作成功则结束．按甲、乙、丙的顺序制作陶器，若p1p2＝，p1∈，求制作陶器人数X的均值的最大值．

【解】　由题意知，X的可能取值为1，2，3.于是P(X＝1)＝p1，P(X＝2)＝(1－p1)p2，P(X＝3)＝(1－p1)(1－p2)，则随机变量X的分布列为

E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝3－2p1－p2＋p1p2，又p1p2＝，

所以E(X)＝3－2p1－p2＋＝－(2p1＋).

设h(x)＝2x＋，x∈[，1)，由对勾函数的性质可知，函数h(x)在[，1)上单调递增，所以h(x)min＝h()＝，

所以E(X)≤－＝，故当p1＝时，E(X)取得最大值，最大值为.

处理均值与方差的最值问题，主要是利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立函数模型，利用函数的单调性或基本不等式解决．

[跟踪训练2] (多选)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，若0＜x＜，则(　　)

A．E(ξ)有最大值    B．E(ξ)无最小值

C．D(ξ)有最大值    D．D(ξ)无最小值

解析：选BD.由题意可得，E(ξ)＝0×＋1×x＋2×(－x)＝－x，

因为f(x)＝－x在(0，)上单调递减，