第7章 阶段提升(三) 随机变量及其分布列(范围：7.1～7.3)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦随机变量及其分布列核心知识点，系统梳理条件概率与全概率公式的应用，均值和方差的最值求解，以及均值方差在决策中的作用，构建从概率计算到随机变量分析再到实际应用的完整知识链条，为学生提供递进式学习支架。 资料以工厂生产、竞标决策等现实情境为载体，通过例题解析与跟踪训练，引导学生用数学眼光抽象问题，用数学思维推导公式和计算均值方差，用数学语言分析决策。课中助力教师高效授课，课后学生可通过实例巩固知识，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

阶段提升(三)　随机变量及其分布列(范围：7.1～7.3) 题型一　条件概率与全概率公式 [例1] 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件． (1)求抽到不合格品的概率是多少？ (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少？ 【解】　(1)设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”， Bk表示“任取一件产品，结果是第k条流水线生产的产品”，k＝1，2，3，4， 由题意，P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35， 且P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03， P(A|B4)＝0.02， 从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4) ＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.031 5. (2)结合第(1)问知P(B2|A)＝＝＝＝. (1)计算条件概率时，应明白是在谁的条件下，计算谁的概率；明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化． (2)理解全概率公式P(B)＝中化整为零的计算思想． [跟踪训练1] (1)若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球(球除颜色外完全相同)，现从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于或等于，则x的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝·＋·＋·＝≥， 解得x≤6，则x的最大值为6. (2)已知A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 解析：由题意知，甲选到A的概率P＝＝.记乙选择A活动为事件M，乙选择B活动为事件N，则P(M)＝＝，P(MN)＝＝，所以P(N|M)＝＝＝. 答案：　 题型二　与均值和方差有关的最值 [例2] 甲、乙、丙三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为p1，p2，p3，且0＜p3＜p2＜p1＜1，现需要他们三人制作一次，如果有一个人制作失败，则换下一个人重新制作，陶器制作成功则结束．按甲、乙、丙的顺序制作陶器，若p1p2＝，p1∈，求制作陶器人数X的均值的最大值． 【解】　由题意知，X的可能取值为1，2，3.于是P(X＝1)＝p1，P(X＝2)＝(1－p1)p2，P(X＝3)＝(1－p1)(1－p2)，则随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P p1 (1－p1)p2 (1－p1)(1－p2) E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝3－2p1－p2＋p1p2，又p1p2＝， 所以E(X)＝3－2p1－p2＋＝－(2p1＋). 设h(x)＝2x＋，x∈[，1)，由对勾函数的性质可知，函数h(x)在[，1)上单调递增，所以h(x)min＝h()＝， 所以E(X)≤－＝，故当p1＝时，E(X)取得最大值，最大值为. 处理均值与方差的最值问题，主要是利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立函数模型，利用函数的单调性或基本不等式解决． [跟踪训练2] (多选)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，若0＜x＜，则(　　) A．E(ξ)有最大值 B．E(ξ)无最小值 C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)无最小值 解析：选BD.由题意可得，E(ξ)＝0×＋1×x＋2×(－x)＝－x， 因为f(x)＝－x在(0，)上单调递减， 所以当0＜x＜时，E(ξ)无最大值和最小值，故A错误，B正确； D(ξ)＝(0－＋x)2×＋(1－＋x)2×x＋(2－＋x)2×(－x)＝－x2－x＋，因为f(x)＝－x2－x＋＝－(x＋)2＋在(0，)上单调递减， 所以当0＜x＜时，D(ξ)无最大值和最小值，故C错误，D正确． 题型三　均值与方差在决策中的作用 [例3] 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取招标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立的． (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题目个数为X，求X的分布列、均值和方差； (3)请从均值和方差的角度分析，甲、乙两家公司哪家公司竞标成功的可能性更大． 【解】　(1)记事件A为“甲、乙两家公司共答对2道题目”，可分为两种情况：“甲、乙各答对1道题目”和“甲答对2道题目，乙答对0道题目”， 则P(A)＝×C×()1×(1－)2＋×(1－)3＝，所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是. (2)X的可能取值为1，2，3. P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 则X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. (3)设乙公司答对题目个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3. P(Y＝0)＝()3＝， P(Y＝1)＝C××()2＝， P(Y＝2)＝C×()2×＝， P(Y＝3)＝()3＝， 则Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，D(Y)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以甲公司竞标成功的可能性更大． 均值、方差在决策中的作用 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高； (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定； (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断． [跟踪训练3] 某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放平台广告，据市场调研，其收益为X万元，X的可能取值为0，20，40，且P(X＝20)＝0.3，均值E(X)＝30. 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益为Y万元，Y的可能取值为10，20，30，其概率依次为0.3，0.4，0.3. (1)请写出方案一中X的分布列，并求方差D(X)； (2)请你根据所学的知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 解：(1)设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b， 依题意得a＋b＋0.3＝1，① 又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40×b＝30，② 由①②解得a＝0.1，b＝0.6. 所以X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180. (2)由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20， D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60. 由E(X)>E(Y)可知投放平台广告的收益均值较大，又D(X)>D(Y)，说明投放平台广告的风险较高． 综上所述，如果公司期望高收益，选择投放平台广告；如果公司期望收益稳定，选择投放传统广告． 学科网（北京）股份有限公司 $