7.4.2 超几何分布（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦超几何分布核心知识点，通过对比有放回与不放回抽样引出概念，系统梳理其“不放回抽样、两类个体、古典概型”的特征，构建从概率分布列到均值计算的完整学习支架。 资料以问题情境驱动，通过“思考”引导学生用数学眼光观察抽样差异，对比二项分布培养逻辑推理的数学思维，结合例题与跟踪训练帮助学生用数学语言表达概率问题。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固应用，有效查漏补缺。

7．4.2　超几何分布 新课导入 学习目标 　　超几何分布是统计学上的一种离散型分布．它描述了从有限N个物件中抽出n个物件(n≤N)，成功抽出该指定种类的物件次数的概率分布．因其形式与“超几何函数”的级数展开式的系数有关，故称为超几何分布． 1.理解超几何分布的概念及特征． 2．掌握超几何分布的均值的计算． 3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题． 一　超几何分布的概念 已知在10件产品中有4件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X. 思考1　抽取产品中次品数X服从二项分布吗？ 提示：若采用有放回抽样，X服从二项分布；若采用不放回抽样，X不服从二项分布． 思考2　若采用不放回抽样，试写出X的分布列． 提示：若采用不放回抽样，“X＝k，k＝0，1，2，3”表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出3－k件，共有CC种取法，故X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. [知识梳理] 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max {0，n－N＋M}，r＝min {n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 提醒　超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)超几何分布是不放回抽样．(　　) (2)超几何分布的总体只有两类个体．(　　) (3)对于同一个摸球模型，超几何分布与二项分布的均值相同．(　　) (4)超几何分布与二项分布没有任何联系．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 解析：选B.选项A，C中样本没有分类，不是超几何分布问题；选项D，随机变量不是样本中某一类个体的个数，不是超几何分布问题；选项B中的随机变量X服从超几何分布． 3．在15个村庄中，有7个村庄交通不便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7 C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10 答案：A 判断一个随机变量是否服从超几何分布 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 二　超几何分布的概率 [例1] (对接教材例4、例5)一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列； (2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列． 【解】　(1)由题意可知η的可能取值为0，1，P(η＝1)＝＝，P(η＝0)＝1－P(η＝1)＝，所以η的分布列为 η 0 1 P (2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 求超几何分布的分布列的步骤 [跟踪训练1] (1)一个不透明的盒中有4个白球，5个红球，这些球除颜色外完全相同，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是________． 解析：设取出红球的个数为X，则X服从超几何分布， 且N＝9，M＝5，n＝3， X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. 所以恰好取出2个红球的概率为P(X＝2)＝＝. 答案： (2)一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为________． 解析：设有白球x个，因为从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，所以＝＝1－，解得x＝5或x＝14(舍去)，所以白球的个数为5. 答案：5 三　超几何分布的均值 思考　若随机变量X服从超几何分布，那么X的均值是什么？ 提示：因为随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E()＝p，即E(X)＝np. 实际上，令m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，由随机变量均值的定义： 当m＞0时， E(X)＝＝M.(1) 因为CC＝C，所以 E(X)＝CC＝＝＝np. 当m＝0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立． [例2] 为了统计智算中心的算力，某市从n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干个机房进行算力分析，已知随机抽取2个机房，全是小型机房的概率为. (1)求n的值； (2)若随机抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列、均值和方差． 【解】　(1)设事件A为“随机抽取2个机房，全是小型机房”，则P(A)＝＝＝， 解得n＝5(负值已舍去). (2)X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝(或E(X)＝＝＝)， 所以D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 求超几何分布的均值可以先利用超几何分布的概率公式分别求出各事件的概率，写出分布列再求均值，也可以直接套用公式E(X)＝求解，但要注意对应的n，N，M的取值． [跟踪训练2] 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值． 解：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， 则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4). 故P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以E(X)＝＝＝(或E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝). 1．下列随机变量中，不服从超几何分布的是(　　) A．在10件产品中有3件次品，不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 解析：选C.依据超几何分布的定义可知，试验必须是不放回地抽取n次，A，B，D中随机变量X服从超几何分布，而C中的随机变量X显然不能看作一个不放回抽样问题，故不服从超几何分布． 2．设袋中有8个红球、4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多有3个红球的概率为(　　) A． B． C．1－ D．1－ 解析：选D.从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为P＝1－P＝1－. 3．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为X，则P(X≤1)＝________． 解析：由题意知X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 答案： 4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为学校迎新会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则E(ξ)＝ ________． 解析：方法一：由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， 因此，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 方法二：由题意可知，随机变量ξ服从超几何分布，其中N＝7，M＝2，n＝2， 所以E(ξ)＝＝＝. 答案： 1．已学习：(1)超几何分布的概念及特征；(2)超几何分布的概率、分布列、均值． 2．须贯通：(1)算概率：可借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合等知识求解． (2)活学巧记 E(X)＝可以记为. 3．应注意：(1)超几何分布与二项分布的区别：前者是不放回抽样，后者是有放回抽样；(2)超几何分布中各个参数的含义． 学科网（北京）股份有限公司 $